8. Предел числовой последовательности и общие свойства предела

Число a называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число n0 = n0(ε), что для всех n > n0 выполняется неравенство

|xn − a| < ε.

Определение 1. Если существует число A и номер n0 ∈ N такие, что xn = A при любом n > n0, то последовательность {xn} будем называть финально постоянной.

Определение 2. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует число M > 0 такое, что |xn| <= M

при любом n ∈ N.

Теорема 1.

а) Финально постоянная последовательность сходится;

б) Если последовательность имеет предел, то он единственный;

в) Сходящаяся последовательность ограничена.

9. Предельный переход и арифметические операции

Теорема 2.Если {xn}, {yn} - две числовые последовательности, то их суммой, произведением и частным на-

зываются соответственно последовательности {xn + yn}, {xnyn}, {xn/yn} (при делении предполагается, что все члены

последовательности {yn} отличны то нуля).

а) lim(xn ± yn) = limxn ± limyn = a ± b; n→∞

б) limcxn = c · limxn = c · a, c ∈ R \ {0};

в) limxnyn = limxn · limyn = a · b;

г) lim(xn/yn)=limxn/limyn= a/b (yn =/ 0, ∀n ∈ N; b =/ 0).

Определение 3. Если {xn}, {yn} - две числовые последовательности, то их суммой, произведением и частным на-

зываются соответственно последовательности {xn + yn}, {xnyn}, {xn/yn} (при делении предполагается, что все члены

последовательности {yn} отличны то нуля).

10. Предельный переход и неравенства.

а) Пусть {xn}, {yn} - две сходящиеся последовательности, причем limxn = a, limyn = b n→∞. Если a < b, то найдется номер N ∈ N такой, что при любом n > N выполнено неравенство xn < yn.

б) Пусть последовательности {xn}, {yn}, {zn} таковы, что при любом n > N ∈ N имеет место соотношение

xn <= yn <= zn. Если при этом последовательности {xn}, {zn} сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность {yn} также сходится к этому пределу.

Доказательство.

а) Возьмем произвольное число c такое, что a < c < b. По определению предела найдем числа N1 ∈ N и N2 ∈ N так, чтобы при любом n > N1 иметь |xn −a| < ε1 = c−a или −c+2a < xn < c и при любом n > N2 иметь

|yn −b| < ε2 = b−c или c < yn < 2b − c. Тогда при n > N = max{N1,N2} получим xn < a + (c − a) = c = b − (b − c) < yn.

б) Пусть limxn = limzn = a. По ε > 0 найдем числа N1 ∈ N и N2 ∈ N так, чтобы при любом n > N1 иметь

|xn − a| < ε или a − ε < xn и при любом n > N2 иметь |zn − a| < ε или zn < a + ε. Тогда при n > N = max{N1,N2}

получим a − ε < xn <= yn <= zn < a + ε или |yn − a| < ε т.е. limyn = a.

11. Критерий Коши существования предела числовой последовательности

Определение 1. Последовательность {xn} называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для

любого числа ε > 0 найдется такой номер N ∈ N, что из n > N и m > N следует |xn − xm| < ε.

Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательности). Числовая последовательность сходится тогда и только

тогда, когда она фундаментальна.

Доказательство.

Необходимость. Пусть limxn = a n→∞. Тогда, согласно определения, ε > 0 ∃N ∈ N : ∀e > N ⇒ |xe− a| < ε/2. Если теперь m > N и n > N, то

|xm − xn| = |xm − a + a − xn| <= |xm − a| + |xn −a| <ε/2+ε/2= ε, т.е. сходящаяся последовательность фундаментальна.

Достаточность. Пусть теперь {xn} фундаментальная последовательность. Согласно определению, по заданному ε > 0 найдем номер N ∈ N такой, что из m >= N и k >= N следует |xm − xk| < ε/3. Фиксировав m = N получаем, что при любом k > N xN –ε/3< xk < xN +ε/3, но поскольку имеется всего конечное число членов последовательности {xn} с номерами меньшими N, то доказали, что фундаментальная последовательность ограничена.