1. Понятия множества. Логические символы

Определение 1. Множества A и B называются равными, если каждый элемент множества A является элементом

множества B и наоборот, каждый элемент множества B является элементом множества A.

Равенство множеств A и B обозначают A = B. Равные множества состоят из одних и тех же элементов.

Равенство множеств обладает следующими свойствами:

1) A = A (рефлексивность);

2) A = B, B = C ⇒ A = C (транзитивность);

3) A = B ⇒ B = A (симметричность).

Если множество A не равно множеству B, то пишут A <= B.

Определение 2. Множество A (A <= ∅) называется подмножеством множества B (B <= ∅), если каждый элемент

множества A является элементом множества B, и обозначают A ⊂ B.

2. Операции над множествами. Отображение множеств

1Объединением множеств A и B называется множество A ∪ B, содержащее те и только те элементы,

которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B (или обоим одновременно):

A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B или (x ∈ A и x ∈ B)}

2 Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, состоящее из всех тех и только тех

элементов, каждый из которых принадлежит обоим множествам одновременно:

A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}.

3. Разностью двух множеств B и A называется множество B \ A, состоящее из всех тех и только тех

элементов, которые принадлежат B, но не принадлежат A:

B \ A = {x | x ∈ B и x ∈/ A}.

4 Два элемента x и y называются упорядоченной парой, если указано, какой из этих элементов первый,

какой второй и обозначают (x, y), при этом считается (x1, y1) = (x2, y2) ⇔ (x1 = x2, y1 = y2).

5. Декартовым произведением двух множеств A и B называется множество, обозначаемое A Ч B,

состоящее из всевозможных упорядоченных пар (x,y):

A х B = {(x,y) | ∀x ∈ A, ∀y ∈ B}.

1.1 Отображение f : A → B называют взаимно однозначным или биективным, если каждый элемент

b ∈ B является образом только одного элемента a ∈ A.

1.2 Отображение f^(-1) называют обратным к отображению f, если a→b, b→ a, т.е. элементу b ∈ B

ставится в соответствие тот элемент a ∈ A, образом которого при отображении f является b:

1.3 Два множества A и B называются эквивалентными (равномощными), если существует хотя бы одно

взаимно однозначное отображение одного множества на другое, и обозначаются A ∼ B.

3. Аксиоматика множества действительных чисел.

Определение 1. Множество R называется множеством действительных чисел, а его элементы действительными чис-

лами, если выполняется следующая система аксиом:

I. Аксиомы сложения.

I1. ∀x,y ∈ R : x + y = y + x (коммутативный закон).

I2. ∀x,y,z ∈ R : (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативный закон).

I3. ∃0 ∈ R : ∀x ∈ R ⇒ x + 0 = x (существование в R нуля).

I4. ∀x ∈ R ∃(−x) ∈ R : x + (−x) = 0 (существование в R противоположного элемента).

II. Аксиомы умножения.

II1. ∀x, y ∈ R \ {0} : x · y = y · x (коммутативный закон).

II2. ∀x, y, z ∈ R \ {0} : x · (y · z) = (x · y) · z (ассоциативный закон).

II3. ∃1 ∈ R : 1 · x = x ∀x ∈ R (существование нейтрального элемента).

II4. ∀x ∈ R \ {0} ∃x−1 : x · x−1 = 1 (существование обратного элемента).

II5. ∀x,y, z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (дистрибутивный закон относительно сложения).

III. Аксиомы порядка.

III1. ∀x,y ∈ R : x =/ y ⇒ x < y или y < x.

III2. ∀x,y ∈ R : x <= y и y <= x ⇒ x = y.

III3. ∀x,y,z ∈ R : x<= y и y <= z ⇒ x ꯈ z.

IV. Аксиомы полноты (непрерывности).

IV1. Если непустые множества X,Y ⊂ R таковы, что ∀x ∈ X и ∀y ∈ Y выполняется неравенство x <= y, то ∃c ∈ R,такое, что x <= c <= y.

3. Лемма о верхней грани числового множества.

Всякое ограниченное сверху непустое подмножество действительных чисел X имеет единственную точ-

ную верхнюю грань.

Доказательство. Единственность верхней грани для множества X обеспечивается аксиомой III2.

Докажем существование верхней грани для множества X. Обозначим через Y множество всех чисел, ограничива-

ющих сверху множество X. Множество X ограничено сверху, поэтому множество Y не пусто. Каждый элемент y ∈ Y

ограничивает сверху множество X, следовательно, для любого элемента x ∈ X выполняется неравенство x <= y. Элемен-

ты x и y являются произвольными элементами соответственно множеств X и Y , поэтому, в силу свойства непрерывности

множества действительных чисел, существует такое число β, что для любых x ∈ X и y ∈ Y имеет место неравенство

x <= β <= y. Выполнение неравенства x <= y β для всех x ∈ X означает, что число β ограничивает сверху множество X,

а выполнение неравенства β <= y для всех y ∈ Y , т.е. всех чисел, ограничивающих сверху множество X, означает, что число β является наименьшим среди всех таких, т.е. верхней гранью множества X.