5. Лемма о вложенных отрезках.

Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, принадлежащее всем отрезкам

данной системы.

Доказательство. Пусть задана система вложенных отрезков.

a1 <= a2 <=. . . <=an <=. . . <=bn <=. . . <=b2 <=b1

Обозначим через A множество всех левых концов an - отрезков этой системы, а через B - множество их правых концов bn. Для любых номеров m и n выполняется неравенство am <= bn. Поэтому из неравенства в силу свойства непрерывности множества действительных чисел, следует, что существует такое число ξ, для которого при всех номерах m и n выполняется неравенство am <= ξ <=bn, а, в частности, и неравенство an <= ξ <= bn, n = 1, 2, . . . Последнее и означает, что число ξ принадлежит всем отрезкам [an, bn].

6. Лемма о конечном покрытии.

Из всякой системы интервалов, покрывающей данный отрезок, можно выделить конечную подсистему

интервалов, покрывающих этот отрезок.

Доказательство. Пусть S = {U} - система интервалов, покрывающая отрезок [a,b] = I1. Если бы отрезок I1 не допускал

покрытия конечным набором интервалов системы S, то поделив I1 пополам, мы получили бы, что по крайней мере одна

из его половинок, которую мы обозначим через I2, тоже не допускает конечного покрытия. С отрезком I2 проделаем ту

же процедуру деления пополам, получим отрезок I3 и т.д.

Таким образом, возникает последовательность I1 ⊃ I2 ⊃ ... ⊃ In ⊃ ... вложенных отрезков, не допускающих ко-

нечного покрытия интервалами системы S. Поскольку длина отрезка, полученного на n-м шаге, по построению равна

|In| = |I1|/2n−1, то в последовательности {In} есть отрезки сколь угодно такой длины. По лемме о вложенных отрез-

ках существует точка C, принадлежащая всем отрезкам In, n ∈ N. Поскольку C ∈ I1 = [a,b], то найдется интервал

(α,β) = U ∈ S системы S, содержащий точку C, т.е α < C < β. Пусть ε = min{C − α,β − C}. Найдем в построенной

последовательности такой отрезок In, что |In| < ε. Поскольку C ∈ In и |In| < ε, заключаем, что In ⊂ U = (α,β). Но это

противоречит тому, что отрезок In нельзя покрыть конечным набором интервалов системы.

7. Лемма о предельной точке числового множества.

Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

Доказательство. Пусть X-данное подмножество R. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке [a,b] = I ⊂ R. Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка I является предельной

для X.

Если бы это было не так, то каждая точка x ∈ I имела бы окрестность V (x), в которой либо вообще нет точек множества X, либо их там конечное число. Совокупность {V (x)} таких окрестностей, построенных для каждой точки x ∈ I, образует покрытие отрезка I интервалами V (x), из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему V (x1),...,V (xn) интервалов, покрывающую отрезок I. Но поскольку X ⊂ I, то эта же система покрывает все множество X. Однако в каждом интервале V (xi) только конечное число точек множества X, значит, и в их объединении тоже конечное число точек X, т.е. X-конечное множество. Полученное противоречие завершает доказательство.