§ 3.2. Қарапайым фигуралардың инерция моменттері

Қарапайым фигураларға тіктөртбұрыш, дөңгелек, сақина,үшбұрыш жатады.

1. Тіктөртбұрыш

(3.6)

2.Дөңгелек

(3.7)

3. Сақина

(3.8)

4. Үшбұрыш

(3.9)

§ 3.3. Өзара параллель өстерге қатысты инерция моменттерінің тәуелдігі

Есеп шарты: Жазық фигураның x және y координат өстеріне қатысты геометриялық сипаттамалары J_x, J_y, J_xy S_x, S_y, J_xy, А белгілі. х, у өстеріне параллель х¢, у¢, өстеріне қатысты геометриялық сипаттамаларын анықтау керек.

3.8суреті.

Берілгені: J_x, J_y, J_xy

S_x, S_y, S_xy

a, b

––––––––––––––

J_x¢, J_y¢, J_x¢y¢ – ?

(3.3) және (3.5)-ті пайдалана отырып, келесі нәтижеге келеміз:

(3.10)

(3.10) өзара параллель өстерге қатысты инерция моменттері арасында тәуелдікті көрсетеді.

Егер алғашқы өстер х, у орталық өстер болса,онда S_x = S_y = 0,ал (3.10) өрнектері келесі түрге келеді:

(3.11)

§ 3.4. Координат өстері бұрылған кездегі инерция моменттерінің өзгеруі

Есеп шарты: Жазық фигураның x және y координат өстеріне қатысты геометриялық сипаттамалары J_x, J_y, J_xy белгілі. х, у өстері координат басына қатысты a бұрышына бұрылған кезде пайда болған u және v өстерге қатысты геометриялық сипаттамаларын анықтау керек.

3.9суреті.

Берілгені:

J_x, J_y, J_xy.

a

–––––––––––

J_u, J_v, J_uv – ?

Элементарлық dA ауданның ескі және координат жүйелеріндегі координаттары келесі тәуелдікпен байланысты

u = x cosa + y sina,

v = -x sina + y cosa

(3.3) және (3.5)-ке сүйеніп, (*)-пайдаланып,келесі нәтижеге келеміз:

J_u­ = J_x cos²a + J_y sin²a - J_xy sin2a,

J_v­ = J_x sin²a + J_ycos²a + J_xy sin2a, (3.12)

J_uv­ = ( J_x - J_y)sin2a + J_xy sin2a.

(3.12) – координат өстері бұрылған кездегі,инерция моменттерінің өзгеруі.

(3.12) – О центрінен өтетін өстер түйініне қатысты инерция моменттерін анықтайды.

§ 3.5. Инерция бас өстері,бас инерция моменттері.Бас инерция радиусы

О центрінен өтетін координат өстерінің жиынтығының арасында өзара перпендикуляр екі өс бөлінеді.Ол өстердің жеке қасиеттері бар:

1⁰. Өстерге қатысты центрдентепкіш инерция моменті нолге тең.

2⁰. Өстердің біріншісіне қатысты инерция моменті максималды,ал екіншісіне қатысты– минималды мәніне жетеді.

Аталған ерекшілігі бар өстер инерция бас өстері деп,ал сол өстерге қатысты инерция моменттері инерция бас моменттері деп аталады.

Инерция бас өстерінің орналасу жағдайын аталған қасиеттеріне сүйене отырып анықтаймыз:

(3.13)

(3.13) өрнегінен екі бұрыш және=+ 90 анықталады.жәнебұрыштардың мәндерін (3.12)-дегіJ_u, J_v-ке қойып ,инерция бас моменттерін табамыз

(3.14)

«+» таңбасы J_max-қа сәйкес,ал «–»таңбасы – J_min.

Көзге көрінер келесі:

1. Симметриялық фигуралардың симметрия өсі инерция бас орталық өстерінің біреуі болады,ал екіншісі салмақ центрінен симметрия өсіне перпендикуляр болады.

2. Егер жазық фигураның екі симметрия өсі бар болса,онда аталған өстер инерция орталық бас өстері болады.

3. Егер жазық фигураның екі инерция орталық бас моментті бір біріне тең болса,ондай фигураның кез келген орталық өсі инерция бас өсі болып келеді және барлық орталық бас инерция моменттері бір біріне тең (дөңгелек, квадрат, дұрыс алтыбұрыштық, теңқабырғалы үшбұрыш).

Жазық фигураның өске қатысты инерция моментін инерция радиусы деп аталатын сызықты шаманың квадраты арқылы көрсетуге болады.Инерция бас өстеріне сәйкес инерция радиустары бас инерция радиустары деп аталады.

(3.15)

Таптау(илемделген темір бұйымдар) кескіндердің негізгі геометриялық сипаттамалары сұрыптама кестелерінде келтіріледі.