Lektsiyi_7-15

Лекція 7

ОБ'ЄМНИЙ НАПРУЖЕНИЙ СТАН

7.1 Компоненти напруженого стану. Тензор напружень

Для дослідження напруженого стану в точці навколо неї виділяється нескінченно малий паралелепіпед. У загальному випадку навантаження тіла і при довільному розташуванні паралелепіпеда на всіх його гранях діють як нормальні, так і дотичні напруження.

Нормальні напруження позначимо індексами осей, у напрямі яких вони діють: , . Дотичним напруженням дамо два індекси: перший з них вказує на напрям осі, вздовж якої діє дана складова дотичного напруження, другий — напрям зовнішньої нормалі до площини, на якій дана складова виникає (рис. 7.1).

Можна показати, що напруження на довільній площинці залежить від дев'яти компонентів напружень: . Аналогічно як для плоского, так і для об'ємного напруженого стану справедливий закон парності дотичних напружень:

. (7.1)

Отже, з дев'яти компонентів напружень залишається шість різних. їх можна записати у таблицю (матрицю), на головній діагоналі якої розташовані нормальні напруження, а точки вказують на те, що дотичні напруження, замість яких вони поставлені, дорівнюють дотичним напруженням, розташованим симетрично відносно головної діагоналі:

{}

Симетричну квадратну матрицю (7.2) називають тензором напружень. Компоненти тензора напружень є свого роду координатами, які визначають напружений стан у точці тіла. Тому напружений стан у точці тіла повністю означений, якщо відомий тензор напружень для цієї

точки.

7.2 Визначення головнях напружень

Головні напруження визначаються з кубічного рівняння

(7.3)

де

Рівняння (7.3) розв'язують за допомогою ЕОМ або графічно. Можна показати, що всі три корені рівняння (7.3) є дійсні числа. Вони дають три значення головних напружень.

У загальному випадку . Це об'ємний напружений стан. Найбільше (в алгебраїчному смислі) головне напруження позначають ах, наступне по величині ог, а найменше о*3 s

(7.5)

Зрозуміло, що головні напруження, тобто корені рівняння (73) визначаються характером напруженого стану і не залежать від того, яка система осей була початковою. Значить при повороті осей х, у, z коефіцієнти І1, І2,13 рівняння (7.3) повинні залишатися незмінними.

Вони називаються інваріантами напруженого стану.

У деяких випадках інваріанти можуть дорівнювати нулю. Наприклад, якщо I3 =0, то один з коренів рівняння (7.3) також дорівнює нулю. В цьому випадку напружений стан є плоским. Якщо I2=I3=0, тоді рівняння (73) має два нульових корені і тільки одне з головних напружень відмінне від нуля. Це – лінійний напружений стан.

перерізі виберемо так, щоб область розтягу була в 1-й чверті. Згинальний

Користуючись принципом незалежності дії сил, зведемо косий згин до двох прямих згинів у двох взаємно перпендикулярних площинах. Напруження у точці А знаходиться згідно з принципом суперпозиції як алгебраїчну суму напружень від моментів Мz і Му. За формулою (3.16)

для якої визначаються напруження, підставляються з врахуванням знаків.

8.2 Розрахунок на міцність при косому згині

Для визначення небезпечних точок у даному перерізі треба знайти положення нейтральної лінії. Її рівняння визначається з умови (z, у)= 0, тобто

(8.3)

звідки

(8.4)

Кут нахилу нейтральної лінії до осі z знаходиться з виразу для кутового коефіцієнта k прямої (8.4)

(8.5)

З (8.5) видно, що на відміну від прямого згину при косому згині нейтральна лінія (нл.) і силова лінія (р.р.) в загальному випадку (коли ) не будуть взаємно перпендикулярні (рис. 8.3). Для перевірки на міцність слід спочатку побудувати епюри згинальних моментів Мz і Му . З цих епюр вибрати небезпечний переріз, де Мz і Му по модулю одночасно великі. Таких перерізів може бути декілька. Далі в небезпечному перерізі слід знайти небезпечні точки — це точки, які найбільш віддалені від нейтральної лінії — точки В і D (рис. 8.3). У точці В діє найбільше розтягуюче, а в точці D — найбільше стискаюче на-

пруження. Умова міцності для небезпечних точок має вид

[ ]

(8.6)

Відмітимо, що якщо поперечний переріз балки має дві осі симетрії (наприклад, прямокутник, двотавр), то небезпечними будуть завжди кутові точки В і D (рис. 8.3). Умова міцності записується у вигляді

Для визначення прогину також використовуємо принцип незалежності дії сил і обчислюємо прогин в кожній з головних площин.

Позначимо прогин в напрямку осі у через а в напрямку осі г через V. Тоді диференціальні рівняння прогинів у площинах хz і уz запишуться у вигляді

8.3 Поза центровий розтяг або стиск стержня.

Визначення нормальних напружень

Позацентровий розтяг або стиск викликається навантаженням, рівнодійна якого Р проходить паралельно до осі стержня з ексцентриситетом е.

Нехай на стержень довільного перерізу діє одна сила Р, яка паралельна до осі стержня і перетинає будь-який поперечний переріз у точці р (рис. 8.4). Координати точки р в системі головних центральних осей позначимо zр і yp . В будь-якому поперечному перерізі внутрішній

На основі принципу суперпозиції нормальне напруження а в довільній точці перерізу дорівнює сумі напружень від кожного силового фактору

Підставляючи (8.10) в (8.11), одержимо

Винесемо Р/А і врахуємо, що

де іz , iy — головні радіуси інерції поперечного перерізу стержня. Tоді

( ) ( ) . (8.13)

Формула (8.13) дає можливість знайти нормальні напруження в довільній точці поперечного перерізу стержня.

Тут z, у — координати довільної точки, а осі z, у вибирають так, щоб точка р лежала в 1-ій чверті.

Ми розглянули випадок, коли сила Р — розтягуюча. Якщо ж сила Р

— стискаюча, то в формулі (8.13) перед Р треба записати знак мінус.

8.4 Розрахунок на міцність при позацентровому розтягу-стиску

Для визначення в даному перерізі небезпечних точок, треба знайти положення нейтральної лінії. Для цього прирівняємо (8.13) до нуля і, скорочуючи на Р/ А, одержимо

(8.14)

Отже, нейтральна лінія є прямою, що не проходить через початок координат. Її положення доцільно визначати через відрізки, що відсікаються нею на координатних осях. Позначимо ці відрізки через zн і ун

(рис. 8.5).

Підставляючи у формулу (8.14) по черзі у = 0 та z= 0, одержимо для них вирази

З співвідношення (8.15) видно, що нейтральна лінія перетинає координатні осі в точках, які належать квадранту, протилежному до того, в якому знаходиться точка р.

Якщо провести паралельно до нейтральної лінії дотичні до контуру перерізу, то знайдемо найбільш небезпечні точки В і D (рис. 8.5), які найбільш віддалені від нейтральної лінії. Напруження в цих точках і умова міцності запишуться у вигляді

(8.16)

Де zB, уB і ZD , yD — координати точок В і D відповідно. Епюра напружень показана на рис. 8.5.

Лекція 9

УЗГИН З КРУЧЕННЯМ

9.1 Побудова епюр згинальних і крутних моментів

Нехай на раму (рис. 9.1) діє сила F.