Lektsiyi_7-15
.pdf
14.4 Крутильний удар
Крутильний удар може виникнути, наприклад, під час раптового гальмування обертового руху валів із закріпленими на них маховиками, шківами тощо. Нехай вал довжиною l, на кінці якого закріплений маховик з масою m, обертається з кутовою швидкістю . При раптовому гальмуванні кінця А парою сил з моментом М на його другому кінці виникне пара сил з моментом такої ж величини і зворотного напрямку, викликана силою інерції маховика. Ці пари сил раптово закручують вал
(рис. 14.3).
Умова збереження енергії
T0=Uд |
(14.12) |
Для обертового руху маємо
Т0= |
|
(14.13) |
|
де — динамічний момент інерції маховика (масою вала нехтуємо).
Потенціальна енергія деформації кручення для вала круглого перерізу
(14.14)
де GIр — жорсткість вала при крученні.
Підставляючи (14.13) і (14.14) в (14.12), одержуємо рівняння для визначення Мд
|
√ |
|
(14.15) |
|
Якщо маховик має вигляд циліндра з масою m і радіусом R, то
За відомим динамічним крутним моментом Мд можна знайти максимальне дотичне напруження та динамічний кут закручування
. |
|
(14.16) |
Лекція 15
РОЗРАХУНОК НА МІЦНІСТЬ ПРИ ПОВТОРНО-ЗМІННИХ
НАПРУЖЕННЯХ
15.1 Фізична природа руйнування матеріалів при повторно-змінних напруженнях
У частинах багатьох машин і споруд у процесі їх експлуатації напруження періодично змінюються. Наприклад, нормальне напруження згину в будь-якій точці поперечного перерізку вагонної осі безперервно змінюється під час оберту. Змінність напруження в часі показані кривими на рис. 15.1. Час T, протягом якого напруження повторює своє найбільше або найменше значення, є періодом (рис. 15.1, а). Послідовність значень напруження за один період називається циклом напруження.
З практики відомо, що при напруженнях, які циклічно змінюються, в конструкціях може виникнути процес руйнування, що називається втомним руйнуванням. Суть втомного руйнування полягає в утворенні мікротріщин, які при певних умовах розвиваються в макротріщину. Остання поступово розростається і процес закінчується руйнуванням конструкції. Досліди показують, що розвиткові мікротріщини в макротріщину сприяють внутрішні дефекти структури, а також зовнішні концентратори напружень.
15.2Типи циклів напружень. Границя витривалості і криві витривалості
Змінність напруження в часі можна зобразити кривими в координатах час-напруження (рис. 15.1). Час T, протягом якого напруження повторює своє найбільше або найменше значення, є періодом (рис. 15.1, а). Послідовність значень напруження за один період називається циклом напруження.
Найбільше (в алгебраїчному смислі) нормальне напруження циклу називається максимальним і позначається σmax ( або τmax – якщо розглядається зміна дотичного напруження), а найменше — мінімальним
σmin (або τmin).
Алгебраїчна півсума максимального і мінімального напруження
циклу називається його середнім напруженням |
|
|
( |
) |
(15.1) |
Алгебраїчна піврізниця |
і |
називається амплітудою циклу |
і
( |
) |
(15.2) |
Легко помітити, що ці величини пов'язані між собою рівностями
(15.3)
Для характеристики циклу користуються коефіцієнтом асиметрії r
|
|
|
(15.4) |
|
|
|
|
Цикл напружень називається симетричним, якщо |
. У |
||
цьому випадку коефіцієнт асиметрії r = -1. Цикли, для яких r ≠ -1 називаються
асиметричними. Окремим видом |
асиметричного |
циклу |
є віднульовий |
(пульсаційний цикл), для якого |
0 (або |
= 0). |
Для віднульового |
циклу напруження не змінює свого напрямку. Коефіцієнт асиметрії такого циклу r = 0.
На рис. 15.1 графічно показані деякі випадки циклічної зміни напружень. Крива а зображає симетричний цикл, крива δ — довільний асиметричний цикл, крива b — віднульовий цикл.
Опір матеріалів повторно-змінним напруженням досліджується шліхом випробувань на спеціальних випробувальних машинах.
Найбільш поширені випробування на згин з симетричним циклом. Зразок закріплюється в патроні шпінделя машини і обертається з великим числом обертів (3000-6000 об/хв). Кожен оберт відповідає одному циклові напруження. Виготовляється кілька однакових стандартних зразків круглого перерізу з полірованою поверхнею і діаметром 8-10 мм.
Перший зразок навантажується досить великим напруженням σ1, що приводить до руйнування при невеликій кількості циклів N1. Для другого зразка навантаження знижується, тому його руйнування настає при σ2 < σ1 але після більшого числа циклів N2, Поступове зниження напружень проводиться і для наступних зразків. Значення циклів і відповідних руйнівних напружень зображені на рис. 15.2 точками з координатами N, σтах. З'єднавши одержані точки плавною кривою, одержуємо криву витривалості (криву Велера) для симетричних циклів (r = -1). Аналогічно можна одержати криві витривалості і для асиметричних циклів.
Крива витривалості для маловуглецевої і середньовуглецевої сталі має горизонтальну асимптоту (рис. 15.2). Найбільше циклічне напруження σr (індекс r — коефіцієнт асиметрії циклу), при дії якого зразок не руйнується після дуже великого числа циклів є границею витривалості для цього типу циклів. Для незагартованої сталі досить визначити таке неруйнівне навантаження при числі циклів N0 = 107 , тоді при цьому напруженні не буде руйнування й при довільному числі циклів N >N0. Число називається базою визначення границі витривалості.
Слід зауважити, що границі витривалості залежать від коефіцієнта асиметрії циклів. Найнижчі границі витривалості одержуються для симетричних циклів, причому границя витривалості при згині σ-1 вища від границі витривалості σ-1р при розтягу-стиску і від границі витривалості τ-1k при крученні.
Експериментальні дані для сталі дають такий зв'язок між цими величина-
ми:
( |
) |
. |
( |
) |
(15.5) |
15.3 Основні фактори, які впливають на втомну міцність
Експериментальні дослідження показують, що на втомну міцність суттєво впливають такі фактори: концентрація напружень, розміри деталі і стан її поверхні.
Концентрація напружень. Зниження границі витривалості за рахунок тих чи інших концентраторів напружень (виточки, отвори, шпонкові канавки) враховується ефективним коефіцієнтом концентрації напружень, які позначаються кσ або кτ (залежно від виду напружень).
Ефективний коефіцієнт концентрації напружень знаходять як відношення границі витривалості зразка без концентратора напружень до границі витрива-
лості такого ж зразка, але з концентратором напружень |
|
|
( |
). |
(15.6) |
Н відміну від теоретичного коефіцієнта концентрації напружень, які залежать тільки від форми (геометрії) деталі, ефективний коефіцієнт залежить також і від властивостей матеріалу деталі — чим менш пластичний матеріал, тим він чутливіший до концентрації напружень. Ефективний коефіцієнт визначають експериментально, але в деяких випадках за відсутності експериментальних даних його визначають через теоретичний коефіцієнт akσ за формулою
( ), (15.7)
де д — коефіцієнт чутливості матеріалу, який визначається експериментально. Для сталей при симетричному циклі він набуває значень в межах 0,5-0,9.
При відсутності експериментальних і теоретичних даних величину kσ визначають наближено за емпіричними формулами
(15.8)
(15.9)
де границя міцності σм ц визначається в МПа. Формули (15.8), (15.9) використовується відповідно при відсутності або наявності гострих концентраторів напружень.
Вплив розмірів деталі. Міцність при циклічній дії напружень значною мірою залежить також від розмірів деталі. Збільшення розмірів підвищує наявність різного роду дефектів, що сприяють утворенню і розвиткові втомних тріщин. Вплив розмірів деталі враховується масштабним коефіцієнтом β М , який дорівнює відношенню границі витривалості стандартного зразка діаметром 7-10 мм до границі витривалості геометрично подібної деталі більших розмірів
( |
|
) . |
(15.10) |
|
Вплив стану поверхні. Тріщини при повторно-змінних напруженнях починаються, як правило, з поверхні деталі. Тому стан поверхневого шару суттєво впливає на міцність деталі. Риски від механічної обробки, пошкодження поверхні і т.п. відіграють роль концентратора напружень і можуть суттєво І зменшити границю витривалості.
Вплив стану і якості поверхні деталі на величину границі витривалості враховується коефіцієнтом якості поверхні βП. Цей коефіцієнт дорівнює відношенню границі витривалості зразка з полірованою поверхнею до границі витривалості такого ж зразка з заданим станом поверхні
( |
|
) |
(15.11) |
|
Для зниження βП використовують обкатку поверхні деталі роликами або обдуванню дробом. Значного ефекту можна також досягти шляхом гартування струмами високої частоти.
Сумісний вплив концентрації напружень, масштабного ефекту і стану поверхні оцінюють коефіцієнтом Kσд (Kτд)який дорівнює добутку трьох вказаних вище коефіцієнтів
|
|
|
|
|
|
. |
(15.12) |
|
Коефіцієнт |
( |
) називається загальним |
коефіцієнтом |
знижені |
||
границі витривалості при симетричному циклі. |
|
|
|||||
|
Таким чином, границя витривалості деталі при симетричному циклі |
||||||
( |
) залежить |
від |
границі витривалості ( |
) матеріалу, |
з якого |
||
виготовлено деталь) визначається формулою |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(15.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічно у випадку дотичних напружень
(15.14)
ЛЕКЦІЯ 7. ОБ'ЄМНИЙ НАПРУЖЕНИЙ СТАН................... .......................... |
30 |
5. Компоненти напруженого стану. Тензор напружень ............................... |
30 |
6.Визначення головних напружень………….................................... ...32
7. |
Узагальнений закон Гука ............ |
............ ..................... . ........................32 |
||
8. |
Об'ємний закон Гука ................... . |
.............................. |
.............................34 |
|
ЛЕКЦІЯ 8. СКЛАДНИЙ ОПІР ___ |
_ ........... ................................... |
|
35 |
|
8.1 |
Косий згин. Визначення нормальних напружень ..................................... |
|
35 |
|
8.2 |
Розрахунок на міцність при косому згині .................. |
............ . ..............36 |
||
8.3 |
Позацентровий розтяг або стиск стержня. |
|
|
|
Визначення нормальних напружень ................................... |
|
........ ...................38 |
||
8.4 |
Розрахунок на міцність при позацентровому розтягу-стиску.............. |
. 39 |
||
ЛЕКЦІЯ 9. ЗГИН З КРУЧЕННЯМ ............ |
.................... |
.......... ............... ..... 40 |
||
9.1 |
Побудова епюр згинальних і крутних моментів... ............................... |
|
...40 |
|
9.2 |
Аналіз напруженого стану. Визначення головних напружень ............... |
41 |
||
9.3 |
Зведений момент. Розрахунок на міцність.................. |
............ ...............42 |
||
ЛЕКЦІЯ 10. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ............. |
44 |
|||
10.1 Метод Мора............................................. |
…………………………............44 |
|||
10.2 Обчислення інтегралів Мора за способом Верещагіна...................... |
-....45 |
|||
10.3 Обчислення інтеграла Мора за формулою Сімпсона-Корноухова.. 47
ЛЕКЦІЯ 11. СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧЕШ СИСТЕМИ................................... |
48 |
||
11.1 |
Ступінь статично невизначеної системи ................... . ................... |
......48 |
|
11.2 |
Канонічні рівняння методу сил. |
|
|
Стійкість стиснутих стержнів |
....................................... ......... .................. |
.......49 |
|
11.3 |
Поняття про стійкі і нестійкі форми рівноваги.............................. |
........51 |
|
ЛЕКЦІЯ 12 .............. .......... .......... |
........................................ ......... ..................53 |
||
12.1Визначення критичної сили .......................за формулою Ейлера |
...........53 |
||
12.2 Межі придатності формули .....................Ейлера. Формула Ясинського |
56 |
||
ЛЕКЦІЯ 13. КОЛИВАННЯ СИСТЕМ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ ВІЛЬНОСТІ. 57
13.1 |
Основні поняття теорії коливань .................................................... |
—…..57 |
13.2 |
Вільні коливання балки з одним ступенем вільності ......................... |
—58 |
13.3Вимушені коливання систем з одним ступенем вільності ....................... |
60 |
|
ЛЕКЦІЯ 14. УДАРНІ НАВАНТАЖЕННЯ ДИНИМІЧНИЙ КОЕФІЦІЄНТ ПРИ УРІ…………………………………..62
14.1Основні поняття і припущення…………………………………………62
14.2Поздовжній удар………………………………………………………..62 14.3Поздовжній удар ……………………………………………………65
14.4Крутильний удар ………………………………………………………66
ЛЕКЦІЯ 15. РОЗРАХУНОК НА МІЦНІСТЬ ПРИ ПОВТОРНО-ЗМІННИХ НАПРУЖЕННЯХ ……………………………………………………………...67
15.1Фізична природа руйнування матеріалів при повторно-змінних напруженнях …………………………………………………………………..67
15.2Типи циклів. Границя витривалості і криві витривалості…………..67
15.3Основні фактори, які впливають на втомну міцність………………..70