введение в тфп

где: f = Т1 – частота колебаний, которая определяет число колебаний в се-

кунду (измеряется в герцах); ω - круговая или циклическая частота, которая определяет изменение фазы колебаний за секунду (измеряется в рад/с).

Воспользовавшись приведенными соотношениями, уравнение волны для электрического поля (4.42) можно записать в виде

Решение волнового уравнения (4.41) для магнитного поля Hy имеет аналогичное содержание:

В уравнениях волны (4.44) и (4.45) начальные фазы напряженностей

Ex и Hy обозначены через ϕ и γ. Покажем, что фазы колебаний Ex и Hy в любой момент времени и в каждой точке пространства одинаковы. Из уравнений (4.44) и (4.45) следует, что для этого достаточно показать

равенство их начальных фаз: ϕ = γ.

Равенство фаз колебаний полей Ex и Hy электромагнитной волны в идеальном диэлектрике (синфазное колебание Ex и Hy).

Напомним, под идеальным диэлектриком понимается среда, в которой отсутствуют свободные заряды, и которая, следовательно, не проводит электрический ток.

Уравнения (4.44) и (4.45) являются решениями волновых уравнений соответственно (4.40) и (4.41), которые, в свою очередь, получены из группы уравнений (4.39). Подставим (4.44) и (4.45) в (4.39), получим:

k E0 sin (ωt – kz + ϕ) = μμ0H0ω sin (ωt – kz + γ), k H0 sin (ωt – kz + γ) = εε0 E0 ω sin (ωt – kz + ϕ).

Эти равенства показывают, что, во-первых, фазы колебаний E x и Hy одинаковые, т.е. (ωt – kz + ϕ) = (ωt – kz + γ), что выполняется при равенстве

начальных фаз ϕ = γ. Итак, решение волновых уравнений в диэлектрике имеют вид:

Во-вторых, должны выполняться соотношения

k E0 = μμ0H0ω и k H0 = εε0 E0 ω.

Это соотношение верно и для других мгновенных значений E и H в идеальном диэлектрике.

На рис. 34 показаны векторы E и H гармонической электромагнитной волны в разных точках среды в некоторый фиксированный момент времени t (волна находится в идеальном диэлектрике). Пространственный профиль векторов E и H гармонической волны образуют синусоиду, которая на рисунке представлена огибающей значений векторов в объеме диэлектрика. С течением времени профиль будет смещаться в направлении оси 0Z

Рис. 34

Приведем некоторые выводы из ранее изложенного. Научные факты, выявленные в результате экспериментальных исследований явлений электромагнетизма в макромире, теоретически обобщены системой из четырех уравнений Максвелла. В свою очередь, следствия, получаемые из уравнений Максвелла, находятся в согласии с экспериментальными фактами. Часть следствий были рассмотрены выше:

1)из уравнений Максвелла следует существование электромагнитного поля, распространяющегося в виде электромагнитной волны

2)электромагнитная волна – поперечная волна, причем вектора E и H взаимно перпендикулярны и образуют совместно с фазовой скоростью волны v правовинтовую систему (E → H → v);

3)фазы колебаний Ex и Hy в диэлектрике в любой момент времени в каждой точке пространства одинаковы(1) (векторы E и H в каждой точке пространства колеблются в фазе);

4)амплитуды векторов E и H связаны между собой соотношением

E0 εε0 = H0 μμ0 ;

5)волновое сопротивление диэлектрика определяется соотношением

Используя понятие волнового сопротивления, решение волновых уравнений (4.44*) и (4.45*) можно представить в виде:

В заключение параграфа отметим, что если фазовая скорость v электромагнитной волны направлена произвольно относительно осей коорди-

нат, то решение волнового уравнения − уравнение волны − определяется всеми координатами. Например, решения волновых уравнений (4.32) и (4.33) в случае плоской гармонической волны, распространяющейся

в направлении, образующий с осями координат 0X, 0Y, 0Z углы α, β, η, имеют вид:

где: k = 2λπ n – волновой вектор (k = 2λπ – волновое число, n – единичный

вектор в направлении фазовой скорости волны v); r = xi +yj +zk – радиусвектор точки волновой поверхности с координатами x, y, z в фиксированный момент времени. Здесь скалярное произведение векторов k и r имеет вид: kr = kx x + ky y + kz z, где: kx = 2λπ cosα, ky = 2λπ cosβ, kz = 2λπ cosη.

Здесь α − угол между направлением n и осью 0X, β − угол между n и осью 0Y, η − угол между n и осью 0Z.

1Данный вывод выполняется в вакууме и идеальных диэлектриках. В реальных диэлектриках и проводниках имеется сдвиг между фазами колебаний векторов E и H.

74

74 4 Электродинамика

4.6. Дифференциальные уравнения Максвелла в комплексной форме

Представление гармонических процессов в комплексной форме.

В предыдущем параграфе в качестве решения волнового уравнения выбрана гармоническая ( синусоидальная) функция. В этом есть определенный резон. И дело даже не в том, что выбранное простое решение позволяет наглядно воспринимать результат и анализ решения. Большинство сигналов, используемых в акустике, электротехнике и радиотехнике, являются периодическими функциями F(t), которые могут быть разложены по гармоническим функциям в ряд Фурье (при дискретном частотном спектре) или интеграл Фурье (при непрерывном спектре частот). В этой связи, изучение гармонических электромагнитных волн важно как в познавательном плане, так и для практики.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме содержат производные по координатам и времени. В этой связи уравнение гармонической волны удобно представлять в комплексной форме, воспользовавшись

формулой Эйлера eiα = cosα + i sinα , где i = −1. Так как производная от экспоненты равна самой экспоненте, то представление гармонических процессов в комплексной форме существенно упрощает расчеты.

Напомним, операция перехода от вещественной гармонической функции к экспоненциальной комплексной функции проводится следующим об-

разом. Воспользовавшись вещественной функцией x(t) = A0 cos (ωt + ϕ), формируется комплексная величина xк(t):

xк(t) = A0 cos (ωt + ϕ) + A0 i sin (ωt + ϕ).

В соответствии с формулой Эйлера, функцию xк(t) записывается в виде комплексной экспоненциальной функции

xк(t) = A0 ei (ωt+ϕ ) или xк(t) = A0 eiϕ eiωt .

Величина А = A0 eiϕ , которая не зависит от времени t, называется комплекс-

ной амплитудой. Символ А в жаргонном варианте читается: «А с крыш-

кой». Модуль комплексной амплитуды А равен вещественной амплитуде

A0, а аргумент − начальной фазе ϕ вещественной функции. Таким образом, комплексная форма гармонической функции запишется в виде

и т.п.) над комплексными функциями проводятся раздельно над вещественным и мнимым частями комплексной функции. В результате таких операций вновь получается некоторая комплексная величина. От конечной комплексной функции можно выделить вещественную часть, и, тем

самым, записать результат вычислений в виде вещественной синусоидальной функции.

Представим уравнение плоской волны (4.49) в комплексной форме:

где E(x, y, z) = E0ei(−kx x−k y y−kz z+ϕ ) − комплексная векторная амплитуда напряженности электрического поля электромагнитной волны. Комплексная ам-

плитуда E не зависит от времени t, и является функцией координат точек наблюдения (x, y, z).

В уравнении волны (4.49) вещественного вектора E пространственная и временная аргументы входят в функцию косинуса совместно, а в уравнении волны комплексной функции Eк (4.52) пространственная

где H(x, y, z) = H0 ei(−kx x−k y y−kz z+ϕ ) − комплексная векторная амплитуда напряженности магнитного поля электромагнитной волны не зависит от времени t.

Уравнения Максвелла в комплексной форме. Подставим в уравнения для роторов электромагнитного поля

где j − комплексная амплитуда плотности тока (jк = j eiωt ).

Запишем уравнения Максвелла в комплексной форме для дивергенций:

4.7. Граничные условия

Рассмотрим поведение электрического и магнитного полей на границе раздела двух сред. При переходе поля из одной среды в другую поле будет изменяться. Следовательно, на границе раздела сред должно наблюдаться нарушение непрерывности электрического и магнитного полей. Одним из примеров такого нарушения является скачек электрического поля на границе изолированного проводника, находящегося в электростатическом поле: поле в объеме проводника равно нулю, а в непосредственной близи к внешней стороне поверхности проводника напряженность элек-

тростатического поля En = σ , где σ − поверхностная плотность наведен-

ε0

ных (индуцированных) зарядов. Приведенную формулу нетрудно получить из теоремы Гаусса. Попутно напомним, вектор напряженности E перпендикулярен к поверхности изолированного проводника ( отсутствие тока в изолированном проводнике означает равенства нулю касательной со-

ставляющей поля зарядов на проводнике Eτ = 0).

Опишем граничные условия для векторов E, D и B, H в статических и переменных полях на границе раздела разных сред (диэлектриков, проводников).

4.7.1. Граничные условия для векторов E и D электростатического поля (граница раздела двух однородных диэлектриков)

Граничные условия для векторов E и D электростатического поля на границе двух диэлектриков получим из теоремы о циркуляции для вектора E электростатического поля и теоремы Гаусса для вектора D:

Edl = 0, DdS = q ,

диэлектрические проницаемости которых равны ε1 и ε2. Обозначим

напряженность электростатического поля в первой среде через E1, во второй – через E2.

1. Поле E. Выберем небольшой прямоугольный контур, охватывающий границу раздела диэлектриков (рис. 35-а). Стороны контура длиной d па-

тура будем производить по часовой стрелке. С учетом выбранного направ-

ления единичного вектора τ, параллельного длинной стороне контура и касательного к границе раздела сред, циркуляция вектора E по контуру

Edl = Eτdl = E2τd – E1τd = 0. Таким образом, граничное условие для век-

(l ) (l )

Тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля при переходе через границу двух диэлектриком не изменяются.

2. Поле D. Выберем небольшой цилиндр, охватывающий границу раздела диэлектриков (рис. 35-б). Высота цилиндра взята пренебрежимо ма-

лой. Торцевые поверхности цилиндра S выбраны так, чтобы в пределах S векторы смещения D1 и D2 остаются неизменными. Единичный вектор n перпендикулярен S. Поток вектора смещения

DdS = DndS = D2n S − D1n S = σ S (т.к. q = σ S).

Из (4.58) следует, что нормальная составляющая вектора смещения терпит разрыв, если на границе раздела диэлектриков имеются свободные поверхностные заряды. Однако при отсутствии зарядов на границе раздела ди-

электриков (σ = 0) имеем:

Итак, при отсутствии свободных зарядов на границе раздела двух диэлектриков нормальная составляющая вектора смещения не изменяется при переходе из одного диэлектрика в другой.

Из (4.59) с учетом соотношения D = εε0E получаем:

78

78 4 Электродинамика

Нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля при переходе из одного диэлектрика в другой терпит разрыв и изменяется обратно пропорционально диэлектрической проницаемости.

Определим закон преломления силовых линий E электростатического поля (рис. 36-а). С учетом (4.57) и (4.60) получим:

На рис. 36-б показаны преломление и разрыв силовых линий вектора E при условии ε2 > ε1.

Рис. 36

При ε2 > ε1 получаем соотношение: D2 > D1. Силовые линии вектора смешения при отсутствии зарядов на границе диэлектриков не разрываются и испытывают только преломление (рис. 18-в, г).

3. Условие на границе проводник – диэлектрик. Пусть первой средой является проводник, второй – диэлектрик. Электрическое поле в объеме проводника отсутствует, т.е. E1 = 0, следовательно, и D1 = 0. Из уравнения (4.58) следует, что в диэлектрике около границы раздела сред граничное

Напомним, здесь σ – это поверхностная плотность свободных зарядов на поверхности проводника. В диэлектрике непосредственно на границе раз-

дела индуцируются связанные заряды с поверхностной плотностью σсвяз.

Найдем заряд σсвяз.. Из теоремы Гаусса следует, что напряженность электрического поля в диэлектрике у поверхности раздела сред определяется выражением

Тангенциальная компонента E2τ = 0 ( токи в изолированном проводнике отсутствуют).

Уравнение (73), условия E2τ = 0 и E1 = 0 есть граничные условия для вектора E на границе раздела проводник-диэлектрик. Формула (4.63)

79

4 Электродинамика 79

совместно с уравнением связи между напряженностью поля и смещением

Обратите внимание, т.к. в диэлектрике всегда ε > 1, то связанные заряды σсвяз. в диэлектрике противоположны знаку свободных зарядов σ на поверхности проводника, причем по модулю σсвяз. < σ .

4.7.2. Граничные условия для векторов B и H магнитостатического поля (граница раздела двух однородных магнетиков)

Граничные условия для векторов B и H магнитостатического поля на границе двух магнетиков получим из теоремы Гаусса для вектора B и теоремы о циркуляции для вектора H магнитостатического поля:

охватывающий оба магнетика на границе раздела сред. Торцевые поверх-

(S )

линдра пренебрегаем). Из полученного выражения следует граничное условие для вектора индукции магнитного поля:

На границе раздела двух магнетиков нормальная составляющая индукции магнитного поля не изменяется при переходе из одного магнетика в другой.

Рис. 37

2. Поле H. На рис. 37-б показана поверхность раздела двух магнетиков

с магнитными проницаемостями μ1 и μ2. Допустим, что по поверхности раздела магнетиков течет ток проводимости I в направлении единичного вектора n.

Введем понятие вектора линейной плотности тока jл. Под величиной линейной плотности тока понимается ток, проходящий через линию единичной длины, которая проведена на поверхности перпендикулярно направлению движения зарядов. Из рис. 37-б видно, что jл = I/d. Направление вектора jл совпадает с направлением движения положительных зарядов. Воспользовавшись понятием линейной плотности тока, поверхностный электрический ток можно представить в виде:

I = jлndl , где: n – нормаль к линии l.

(l )

Выберем небольшой прямоугольный контур, охватывающий границу раздела магнетиков. Пусть jл перпендикулярен плоскости контура. Стороны контура длиной d параллельны границе раздела. Величина d выбрана так, чтобы в ее пределах напряженности магнитного поля в магнетиках H1 и H2 практически оставались неизменными (со своим значением в каждом из диэлектриков). Короткие стороны прямоугольника взяты пренебрежимо малыми (в пределе – бесконечно малыми). Обход контура будем производить по часовой стрелке. С учетом выбранного направле-

ния единичного вектора τ, параллельного длинной стороне контура и касательного к границе раздела магнетиков, определим циркуляцию вектора H по контуру:

Hdl= H2τd − H1τd = jлd

(l )

Напомним, вектор n мы направили в направлении вектора jл, следовательно, (jлn) = jл. В общем случае (jлn) = jлn. Итак, имеем граничное условие для вектора H:

Из (75) следует, что нормальная составляющая вектора напряженности магнитного поля терпит разрыв, если на границе раздела магнетиков течет ток. Однако при отсутствии тока на границе раздела (jл = 0) имеем:

При отсутствии поверхностных токов на границе раздела двух магнетиков тангенциальная составляющая вектора напряженности магнитного поля не изменяется при переходе из одного диэлектрика в другой.

Определим закон преломления силовых линий индукции B магнитостатического поля. Из рис. 20-а и граничных условий (4.64) и (4.66) следует