введение в тфп

41

3.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

3.1.Закон электромагнитной индукции Фарадея. Физическая природа электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции заключается в возникновении ЭДС и соответствующего тока в проводящем контуре при изменении потока индукции магнитного поля через мысленную поверхность, натянутую на контур. ЭДС в явлении электромагнитной индукции называется ЭДС

индукции. Будем обозначать ЭДС индукции буквой ξ. Электрический ток, порождаемый в проводящем контуре, называется индукционным током.

Закон электромагнитной индукции – закон Фарадея – выражается

В (3.1) Ф = B S ≡ B S cosα – поток индукции магнитного поля через поверхность, натянутую на контур; S = nS, где n – нормаль к поверхности S;

ем величины индукции магнитного поля во времени ∂∂Bt при неподвижном

контуре; 2) изменением площади ∂∂St в постоянном магнитном поле, т.е.

деформацией проводящего контура; 3) изменением ориентации контура

∂(cosα) в постоянном магнитном поле, т.е. поворотом (вращением) про-

∂t

водящего контура в постоянном магнитном поле. Заметим, последние два случая – изменение величины площади контура и изменение ориентации

контура – можно выразить изменением вектора-площади ∂∂St .

Последние два способа изменения потока вектора B через контур – при изменении площади контура, т.е. деформации контура и изменении ориентации контура в магнитном поле, т.е. вращении контура в магнитном поле – связаны с перемещением элементов контура в магнитном поле.

В этих двух случаях физика возникновения ЭДС индукции ξ в проводящем

контуре обусловлена действием магнитной силы Лоренца на свободные заряды в объеме перемещающихся элементов контура (рис 22).

На рис. 22-а приведен второй случай – случай деформации контура. Здесь перемычка cd перемещается влево со скоростью v и площадь S контура abcd изменяется. На рисунке магнитное поле направлено за чертеж. Выделим положительный заряд q в проводнике. На этот заряд действует магнитная сила Лоренца Fм = q[v, B] и заряд будет перемещаться вверх по рисунку. Произойдет разделение зарядов и на концах перемещающегося проводника возникнет ЭДС, что приведет к индуцированию тока в контуре. Магнитная сила играет роль сторонней силы. Этой сторонней силе со-

ответствует стороннее электрическое поле E = Fqм = [v, B]. Аналогичная си-

туация наблюдается в третьем случае − при вращении контура в постоянном магнитном поле. Изменение ориентации вектора-площади S относи-

тельно вектора B, т.е. изменение угла α, означает перемещение элементов контура в магнитном поле. Это также обусловливает возникновение магнитной силы Лоренца (рис. 22-б), действующей на заряды в всех движущихся частях контура, что приводит к возникновению ЭДС индукции в контуре.

Циркуляция электрического поля в определится выражением:

где l – контур, который пронизывается потоком вектора индукции магнитного поля.

В первом случае ЭДС в неподвижном контуре обусловлена измене-

нием магнитного поля – переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, индуцирующее электрический ток в проводящем контуре (в замкнутом проводнике). Подчеркнем, вихревое электрическое поле порождается переменным магнитным полем независимо от наличия проводящего контура. Сам по себе проводящий контур необходим только в роли установки обнаружения этого вихревого электрического поля. Циркуляция вектора напряженности E вихревого электрического поля

конденсатора; по контуру течет переменный ток и т.п.), то порождаемый этим током магнитное поле (и соответствующий магнитный поток) также является переменным. В контуре появляется ЭДС индукции, который здесь называется ЭДС самоиндукции.

В отсутствии ферромагнетиков рядом с проводящим контуром магнитный поток Ф пропорционален току I в контуре:

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью кон-

Если индуктивность L остается постоянным в переменном магнитном потоке, то ЭДС самоиндукции примет вид:

В качестве примера приведем расчет индуктивности соленоида с числом витков на единицу длины соленоида n. Объем соленоида V. Магнитная прони-

цаемость магнетика в объеме соленоида μ.

Решение. Индуктивность L = ΦI . Зададим ток I, тогда индукция магнитного

поля в соленоиде B = μμ0nI. Магнитный поток через один виток Ф1 = BS =μμ0nIS,

а полный поток Ф = N Ф1 = nlФ1 = nlμμ0nIS =μμ0n2IV, т.к. V = lS, где l – длина соленоида. Имеем:

L = ΦI =μμ0n2V .

Обратите внимание, индуктивность соленоида определяется геометрией проводника (в данном примере – геометрией соленоида n2V) и магнитными свойствами

среды μ.

ка тока δA за время dt. Для этого умножим уравнение закона Ома на Idt:

Из последнего уравнения видно, что в процессе приближения тока к стационарному режиму, работа источника тока идет не только на нагре-

вание цепи (член δQ, определяющий джоулево тепло), но дополнительно и на работу против ЭДС самоиндукции (член IdФ). Итак,

Из (3.4) в отсутствии ферромагнетиков имеем соотношение d Ф = LdI.

A(доп) = LI22 .

Итак, работа источника тока в процессе установления стационарного режима идет на джоулево тепло и, дополнительно, на создание магнитного поля. Таким образом, магнитная энергия электрического тока выражается

2.Энергия магнитного поля.

Определим энергию магнитного поля длинного соленоида. Индуктивность соленоида L=μμ0n2V. Подставим эту формулу в (3.7), получим:

плотности энергии магнитного поля. Если плотность энергии задана, то энергия магнитного поля в объеме V выражается интегралом. Например:

Разумеется, аналогичную форму записи энергии магнитного поля в объеме V имеем и с остальными формулами плотности энергии:

Формулы (3.9) и (3.9*) указывают, что магнитная энергия, так же как и электрическая энергия, локализована в пространстве.

46

4.ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

4.1.Объекты теории электромагнитного поля. Уравнения Максвелла как постулаты электродинамики

При рассмотрении электро- и магнитостатики определены теоретические объекты, которыми оперирует эти разделы электромагнетизма. Классическая (максвелловская) электродинамика – это теория переменного во времени электромагнитного поля. Разумеется, основными теоретическими объектами электродинамики являются те же объекты, что и в электро- и магнитостатике. Вспомним эти объекты:

1)точечное заряженное тело, обладающее электрическим зарядом q

и инертной массой m. Единицей заряда служит кулон ( Кл), 1Кл = 1А 1с;

2)электрический ток I точечных зарядов. Единица силы электриче-

ского тока − ампер (А) − относится к группе основных единиц системы СИ и для этой единицы существует соответствующий материализованный эталон;

3)электрическое поле ( порождаемое зарядами и переменным магнитным полем). Основной характеристикой электрического поля является напряженность этого поля E. Единицей напряженности служит 1 Вм ;

4)магнитное поле, основной характеристикой которого является индукция магнитного поля B. Единицей магнитной индукции служит

тесла (Тл): 1Тл =1 АН мм2 =1 АНм .

Теория электромагнитного поля констатирует, что в природе существует материальный объект – электромагнитное поле, которое представляет собой совокупность взаимосвязанных электрических и магнитных полей. Электромагнитное поле всегда находится в состоянии движения и распространяется в виде электромагнитной волны. Основные характери-

стики электромагнитного поля − векторы E и B − при переходе из одной системы отсчета в другую изменяются, и эти изменения происходят в соответствии с преобразованиями Лоренца ( не Галилея!), т.к. электромагнитное поле движется с релятивистской скоростью (со скоростью света). Если в некоторой системе отсчета (назовем ее первой) наблюдается чисто электростатическое или чисто магнитостатическое поле, то в другой системе, движущейся относительно первой, будет наблюдаться как электрическое, так и магнитное поля.

Научные факты, полученные в результате экспериментальных исследований явлений электромагнетизма в макромире, нашли свое содержательное теоретическое обобщение в системе из четырех уравнений,

носящих имя Д.К. Максвелла. Уравнения Максвелла дополнены уравнениями связи, отражающими свойства среды, в которой распространяется электромагнитная волна.

Уравнения Максвелла образуют систему фундаментальных постулатов классической электродинамики (электродинамики Максвелла), опи-

сывающих все многообразие электромагнитных явлений в макромире. Электромагнитные явления в микромире описываются другой физической

теорией − квантовой электродинамикой.

В зависимости от решаемых задач, уравнения Максвелла могут быть записаны в интегральной, дифференциальной, комплексной форме.

Интегральная форма уравнений Максвелла фактически представляет собой систему непосредственных теоретических обобщений результатов решающих экспериментов электромагнетизма. К этим экспериментам относятся: опыты Кулона и Кавендиша по исследованию закона взаимодействия зарядов; опыты Эрстеда по обнаружению источника магнитного поля; факт отсутствия в природе элементарных частиц, обладающих магнитным зарядом (точнее, факт не обнаружения таких частиц в природе); опыты Фарадея по исследовании явления электромагнитной индукции; факт существования переменного электрического тока в цепи с конденсатором и ряд других экспериментов.

Дифференциальная форма уравнений Максвелла используется при решении большинства задач электродинамики. Эта форма позволяет естественным образом описывать пространственно-временные характеристики электромагнитных процессов, в том числе излучение, распространение и прием электромагнитных волн.

Комплексная форма уравнений Максвелла оперирует комплексными амплитудами векторов E, B, плотности тока j и других векторов и скалярных величин. Эта форма используется при описании чисто пространственных характеристик электромагнитной волны.

4.2.Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Основными характеристиками электромагнитного поля являются вектор напряженности электрического поля E и вектор индукции маг-

силовых линий показывает относительное изменение модуля этих векторов (рис. 25).

Способ отображения полей с помощью силовых линий будет использован при раскрытии содержания уравнений Максвелла.

4.2.1. Интегральная теорема Гаусса и дивергенция электрического и магнитного полей

В систему уравнений Максвелла входят, как было уже отмечено, четыре уравнения. Из этих четырех уравнений два уравнения уже нами ранее рассмотрены, это: 1) теорема Гаусса о потоке электростатического поля и соответствующая дифференциальная форма этой теоремы (§§ 1.2, 1.3); 2) теорема Гаусса о потоке магнитного поля и соответствующая дифференциальная форма теоремы (§ 2.2).

Повторимся. Основной характеристикой электрического поля является вектор напряженности поля E. Для описания поля в среде c диэлек-

трической проницаемостью ε вводится вспомогательная величина − век-

тор смещения D = εε0E. Аналогично, основной характеристикой магнитного поля является вектор индукции магнитного поля B, а для описания

магнитного поля в магнетиках с магнитной проницаемостью μ вводится вспомогательная величина − вектор напряженности магнитного поля H

(B = μμ0 H). Естественно, теорема Гаусса записывается как для основных, так и вспомогательных векторов.

В целях удобного обзора напишем эти уравнения еще раз.

1. Интегральная теорема Гаусса о потоке вектора напряженности E электростатического поля через замкнутую поверхность:

где q (или q = ρ dV ) − алгебраическая сумма всех зарядов (свободных

(V )

и связанных) внутри замкнутой поверхности S. Дифференциальная форма теоремы (4.1):

Дивергенция инвариантна относительно преобразования координат. В частности, дивергенция E относительно декартовой системы координат за-

где ρсвоб. – плотность свободных зарядов внутри замкнутой поверхности S. Дифференциальная форма теоремы (4.3):

∂∂Dxx + ∂∂Dyy + ∂∂Dzz =ρсвоб.

2. Интегральная теорема Гаусса о потоке вектора индукции B магнитного поля через замкнутую поверхность.

Соответствующая дифференциальная форма уравнения (4.5) запишется

Можно записать также и интегральную теорему Гаусса для вектора напряженности магнитного поля H:

Соответствующая дифференциальная форма уравнения (4.7) имеет вид:

(здесь в направлении от M к N) определим вектором

dl. Модуль dl является дифференциалом дуги. Из векторов b и dl можно образовать скалярное произведение: (b dl).