Вариант 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Вариант 2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Вариант 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Вариант 4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Вариант 5
5.1
5.2
5.3
5.4
5. 5
Вариант 6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Вариант 7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Вариант 8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Вариант 9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
Вариант 10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
Вариант 11
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
Вариант 12
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
Вариант 13
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
Вариант 14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
Вариант 15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
Вариант 16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
Вариант 17
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
Вариант 18
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
Вариант 19
19.1
19.2
19.3
19.4
19.5
Вариант 20
20.1
20.2
20.3
20.4
20.5
Вариант 21
21.1
21.2
21.3
21.4
21.5
Вариант 22
22.1
22.2
22.3
22.4
22.5
Вариант 23
23.1
23.2
23.3
23.4
23.5
Вариант 24
24.1
24.2
24.3
24.4
24.5
Вариант 25
25.1
25.2
25.3
25.4
25.5
Вариант 26
26.1
26.2
26.3
26.4
26.5
Вариант 27
27.1
27.2
27.3
27.4
27.5
Вариант 28
28.1
28.2
28.3
28.4
28.5
Вариант 29
29.1
29. 2
29.3
29.4
29.5
Вариант 30
30.1
30.2
30.3
30.4
30.5
Задания для текущей аттестации по теме: Векторная алгебра
Решение типового варианта по теме векторная алгера
Задание 1.
Коллинеарны
ли векторы
и
,
разложенные по векторам
и
,
где
Решение:
1.
Вычислим проекции векторов
:
2. Два вектора коллинеарны, если их проекции пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов:
не
коллинеарны.
Задание 2.
Перпендикулярны
ли векторы
?
Решение:
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0, вычислим скалярное произведение:
векторы
не перпендикулярны.
Задание 3.
Компланарны
ли векторы
?
Решение:
Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0, вычислим смешанное произведение векторов:
векторы
не компланарны.
Задание 4.
Найти
угол между векторами
где
Решение:
Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:
Задание
5.Даны точки:
Найти:
1.
пр
;
2.
пр
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
орт вектора
.
Решение:
1. Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле:
пр
находим проекции векторов:
вычисляем скалярное произведение векторов и длину вектора:
пр
2. Находим проекции векторов:
пр
;
3. Находим проекции векторов:
;
4. Находим проекции векторов:
;
5.
;
6.
7.
Векторное произведение векторов
вычисляется по формуле:
где
;
8.
;
9.
Смешанное произведение векторов
вычисляется по формуле:
,
где
;
10.
;
11.
;
12.
Орт вектора
,
так как орт- это вектор единичной длины
необходимо каждую проекцию вектора разделить на его длину.
Задание 6.
Даны
координаты вершин пирамиды:
Вычислить:
1. объем пирамиды;
2.
длину ребра
;
3.
площадь грани
;
4.
угол между ребрами
и
.
Решение:
1.
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
;
2.
Длина ребра
;
3.
Площадь грани
вычисляется по формуле:
;
4.
Угол между ребрами
и
вычисляется по формуле:
Задание 7.
Имеет
ли смысл выражение
?
Обосновать.
Решение:
Выражение
смысла не имеет, так как складывать
числа с векторами нельзя: в результате
скалярного призведения
получим число, затем мы должны сложить
вектор
с результатом скалярного произведения
(число), что не возможно.
Задание 8.
Придумать исходные данные на указанные типы задач векторной алгебры и решить их.
Решение:
Рассмотрим одну из указанных задач, например, задачу 8,3:
Дано:
тупой,
<0,
Найти:
.
Решение:
По условию:
Итак, получили систему трех уравнений с тремя неизвестными, решением которой и будут проекции исходного вектора:
по
формулам Крамера находим отношение
коэффициентов:
.
Условие
выполняется при
то есть
Ответ:
Второй способ решения:
По условию:
Найденные
значения
подставим в условие
,
найдем
так, что бы
.
Итак:
Так
как по условию
то
Итак:
Ответ:
Задания
Задание 1
Коллинеарны
ли векторы
и
,
разложенные по векторам
и
?
Задание 2
Перпендикулярны
ли векторы
и
?
Задание 3
Компланарны
ли векторы
?
Задание 4
Найти
угол между векторами
и
.
Задание 5
Даны
координаты точек
Вычислить:
1)
пр
;
2)
пр
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
орт вектора
;
Задание 6
Даны
координаты вершин пирамиды
.
Вычислить:
1) объем пирамиды;
2)
длину ребра
;
3)
площадь грани
;
4)
угол между ребрами
и
;
Задание 7
Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.
Задания
ВАРИАНТ 1
1.1
2.1
3.1
4.1
5.1
6.1
7.1
ВАРИАНТ 2
1.2
2.2
3.2
4.2
5.2
6.2
7.2
ВАРИАНТ 3
1.3
2.3
3.3
4.3
5.3
6.3
7.3
ВАРИАНТ 4
1.4
2.4
3.4
4.4
5.4
6.4
7.4
ВАРИАНТ 5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
ВАРИАНТ 6
1.6
2.6
3.6
4.6
5.6
6.6
7.6
ВАРИАНТ 7
1.7
2.7
3.7
4.7
5.7
6.7
7.7
ВАРИАНТ 8
1.8
2.8
3.8
4.8
5.8
6.8
7.8
ВАРИАНТ 9
1.9
2.9
3.9
4.9
5.9
6.9
7.9
ВАРИАНТ 10
1.10
2.10
3.10
4.10
5.10
6.10
7.10
пр
ВАРИАНТ 11
1.11
2.11
3.11
4.11
5.11
6.11
7.11
пр
ВАРИАНТ 12
1.12
2.12
3.12
4.12
5.12
6.12
7.12
пр
ВАРИАНТ 13
1.13
2.13
3.13
4.13
5.13
6.13
7.13
пр
ВАРИАНТ 14
1.14
2.14
3.14
4.14
5.14
6.14
7.14
пр
ВАРИАНТ 15
1.15
2.15
3.15
4.15
5..15
6.15
7.15
пр
ВАРИАНТ 16
1.16
2.16
3.16
4.16
5.16
6.16
7.16
пр
ВАРИАНТ 17
1.17
2.17
3.17
4.17
5.17
6.17
7.17
пр
ВАРИАНТ 18
1.18
2.18
3.18
4.18
5.18
6,18
7.18
пр
ВАРИАНТ 19
1.19
2.19
3.19
4.19
5.19
6.19
7.19
пр
ВАРИАНТ 20
1.20
2.20
3.20
4.20
5.20
6.20
7.20
ВАРИАНТ 21
1.21
2.21
3.21
4.21
5.21
6.21
7.21
ВАРИАНТ 22
1.22
2.22
3.22
4.22
5.22
6.22
7.22
ВАРИАНТ 23
1.23
2.23
3.23
4.23
5.23
6.23
7.23
ВАРИАНТ 24
1.24
2.24
3.24
4.24
5.24
6.24
7.24
ВАРИАНТ 25
1.25
2.25
3.25
4.25
5.25
6.25
7.25
ВАРИАНТ 26
1.26
2.26
3.26
4.26
5.26
6.26
7.26
ВАРИАНТ 27
1.27
2.27
3.27
4.27
5.27
6.27
7.27
ВАРИАНТ 28
1.28
2.28
3.28
4.28
5.28
6.28
7.28
ВАРИАНТ 29
1.29
2.29
3.29
4.29
5.29
6.29
7.29
ВАРИАНТ 30
1.30
2.30
3.30
4.30
5.30
6.30
7.30
Вопросы для самопроверки
Линейная алгебра
Что такое определитель? Какие его основные свойства? Дайте определения минора и алгеобрического дополнения.Сформулируйте основное правило вычесления определителей.
Что такое матрица, отличие матрицы от определителя.Какие Вы можете назвать виды матриц? Как осуществляются линейные операции над матрицами ?
Как перемножить две матрицы? Сформулируйте правило умножения матрицы на матрицу.Свойства произведения матриц.
Изложите схему нахождения обратной матрицы.Любая ли матрица имеет обратную? Что такое вырожденная матрица? Расскажите об основных типах матричных уравнений и схемах их решения.
Дать определение решения системы линейных уранений .Расшифруйте понятия совместная,несовместная ,определенная,неопределенная системы.
Что называют рангом матрицы? Как он находится ? Сформулируйте теорему Кронеккера-Капелли.При каких условиях система линейных уравнений имеет единственное и множество решений?
В чем заключаеться матричный метод и Крамера решения систем.В каких случаях они применимы?
Опишите метод Гауса решения систем линейных уравнений.Какие неизвестные и в каком случсе называются базисными,какие свободными?Что такое общее и частное решения неопределенной системы?
Какие особенности имеет система однородных линейных уравнений?В каких случаях она имеет ненулевые решения?
Векторная алгебра
Что называется вектором, модулем вектора?
Дайте понятия коллинеарных, компланарных, свободных, равных векторов. Сформулируйте условие равенства векторов.
Как выпоняются линейные операции над векторами? Каковы свойства этих операций?
Какие векторы называются линейно зависимыми и независимыми?
Дайте понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве. Что такое координаты вектора.
Какой базис называется декартовым? Как осуществляются линейные операции над векторами в координатной форме?
Модуль вектора. Координаты вектора, заданного координатами начальной и конечной точек. Расстояние между двумя точками.
Дать понятие орта вектора. Направляющие косинусы вектора.
Что называется скалярным произведением двух векторов? Каковы его свойства? Как выражается скалярное произведение через координаты перемножаемых вектоов? Для решения каких задач и как может быть использовано скалярное произведение?
Что называется векторным произведением двух векторов? Каковы его свойства? Как выражается векторное произведение через координаты перемножаемых вектоов? Для решения каких задач и как может быть использовано векторное произведение?
Что называется смешанным произведением двух векторов? Каковы его свойства? Как выражается смешанное произведение через координаты перемножаемых вектоов? Для решения каких задач и как может быть использовано смешанное произведение?
Запишите в векторной и координатной формах условия коллинеарности, перпендикулярности и компланарности векторов.
Тестовые задания по теме «Элеметы линейной алгебры»