§2.Линейные операции над векторами.

Понятие вектора

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок ( или, что то же, упорядоченная пара точек).

Обозначают: (точка А-начало вектора), точка В – конец вектора) или одной буквой -.

Определение 2. Длиной вектора (модулем)называется расстояние между началом и концом вектора. Длина вектора обозначаетсяили.

Определение 3. Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Обозначают:

Определение 4. Единичным векторомназывается вектор, длина которого равна единице.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектораи обозначается символом.

Определение 5. Векторы называютсяколлинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение 6. Векторы называютсяравными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковое направление.

Линейные операции над векторами

Определение 7. Линейными операциями над вектораминазываются сложение векторов и умножение вектора на число.

Определение 8. Суммой двух векторовиназывается вектор, который идет из начала векторав конец векторапри условии, что векторприложен к концу вектора(правило треугольника). В случае неколлинеарных векторовиможно вместо правила треугольника использовать правило параллелограмма: если векторыиотложены от общего начала и на них построен параллелограмм, то суммаесть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущего из общего началаи.

Определение 9. Разностью двух векторовиназывается вектор, который в сумме с векторомсоставляет вектор. Если два вектораиотложены от общего начала, то их разность есть вектор, исходящий из конца вектора(«вычитаемого») к концу вектора(«уменьшаемого»).

Определение 10. Два коллинеарных вектора равной длины, направленные в противоположные стороны, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору, обозначается.

Произведение вектора на числообозначают α.

Некоторые свойства линейных операций

1) +()=(+)+;

2) =;

3)+=;

4) +()=;

5)=();

6)

7) ;

8) 1·=.

Теорема 1. (О коллинеарных векторах). Еслии– два коллинеарных вектора, причем вектор-ненулевой, то существует единственное число х такое, что=х

В частности, ненулевой вектор и его ортсвязаны равенством:=·.

Сформулированные свойства линейных операций позволяют преобразовать выражения, составленные из векторов, по обычным правилам алгебры: можно раскрыть скобки, приводить подобные члены, переносить некоторые члены в другую часть равенства с противоположным знаком и т.д.

Пример 1.

Доказать равенства:

а) +()=();

б)-()=().

и выяснить, каков их геометрический смысл.

Решение. а) В левой части равенства раскроем скобки, приведем подобные члены, получим вектор в правой части. Поясним это равенство геометрически. Пусть даны два вектораи, отложим их от общего начала и посмотрим параллелограмм и его диагонали, получим:

§2 Линейная комбинация векторов

Векторный базис на плоскости и в пространстве.

Определение 1. Линейной комбинацией векторов ,,называется сумма произведений этих векторов на какие-нибудь числа,,:++.

Определение 2. Векторным базисом в данной плоскости называется любая пара неколлинеарных векторовиэтой плоскости.

Вектор называют при этом первым базисным вектором, вектор-вторым.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.Если базис,–векторный базис в плоскости, тогда любой векторэтой плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов:= х+у. (*)

Определение 3. Равенство(*) называютразложением вектора по базису,, а числа х и у –координатами вектора в базисе,( илиотносительно базиса ,).Если заранее ясно, о каком базисе идет речь, то пишут кратко:={x,y}. Из определения координат вектора относительно базиса следует, что равные векторы имеют соответственно равные координаты.

Два и более векторов в пространстве называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости или лежат в этой плоскости.

Определение 4. Векторным базисом в пространстве называют любые три вектора,,.

Вектор называют при этом первым базисным вектором,- вторым,-третьим.

Замечание. 1. Три вектора= {},= {} и= {} образуют базис пространства, если определитель, составленный из их координат, отличен от нуля :

.

2. Основные положения теории определителей и способы их вычисления рассмотрены в модуле 1 «линейная алгебра».

Теорема 2. Пусть,,- векторный базис в пространстве. Тогда любой векторв пространстве может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов,и:

= х+у+z. (**)

Определение 5. Равенство (**) называютразложением вектора по базису,,, а числаx,y,z–координатами (компонентами) векторав базисе,,.

Если заранее ясно, о каком базисе идет речь, то пишут кратко: = {x,y,z}.

Определение 6. Базис,,называетсяортонормированным, если векторы,,попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения,,.

Действия над векторами, заданными своими координатами.

Теорема 3. Пусть на плоскости выбран векторный базис,и относительно его векторыизаданы своими координатами:= {},= {}.

Тогда ={},={}, т.е. при сложении или вычитании векторов складываются или вычитаются их одноименные координаты;= {·;}, т.е. при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Условие коллинеарности двух векторов

Теорема 4. Векторколлинеарен ненулевому векторув том и только том случае, когда координаты векторапропорциональны соответственным координатам векторат.е.

.

Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в пространстве, производятся аналогично.

Пример 1. Пусть даны векторы= {1;2;-1} ,= {3;2;1}, = {1;0;1} в некотором векторном базисе,,. Найти координаты линейной комбинации 2+3-4.

Решение. Введем обозначение для линейной комбинации=2+3+(-4).

Коэффициенты линейной комбинации =2,=3,=-4. Запишем данное векторное равенство в координатной форме= {x,y,z}=:

=2

Очевидно, что каждая координата линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации одноименных координат, т.е.

х = 2·1+3·3+(-4)·1=7,

у = 2·2+3·2+(-4)·0=10,

z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.

Координаты вектора в базисе ,,будут:

= {7,10,-3}

Ответ:= {7,10,-3}.

Общая (аффинная) декартова система координат

Определение 7. Пусть О- некоторая фиксированная точка, которую будем называтьначалом.

Если М- произвольная точка, то вектор называетсярадиус-векторомточки М по отношению к началу, коротко, радиус-вектор точки М.

Декартовы (аффинные) координаты на прямой

Пусть дана в пространстве некоторая прямая l.Выберем начало О лежащим на этой прямой. Кроме того, выберем на прямойl ненулевой вектор, который будем называть базисным.

Определение 8. Пусть точка М лежит на прямойl. Так как векторыиколлинеарны, то=х, где х- некоторое число. Это число назовемкоординатой точки М на прямой.

Начало О имеет положительные или отрицательные координаты, в зависимости от того, совпадают ли направления векторов иили они противоположны. Прямуюl, на которой координаты, будем называть осью координат или осью ОХ.

Введение координат на прямой соответствует единственное число х, и наоборот, существует единственная точка М, для которой это число является координатой.

Декартовы (аффинные) координаты на плоскости.

Выберем на плоскости О два неколлинеарных вектора и, образующих некоторый базис . Очевидно, что длины векторовимогут быть различны.

Определение 9. Совокупность {0;;} точки О и векторного базиса,называют декартовой (аффинной) системой на плоскости.

Две прямые, проходящие через О и параллельные соответственно векторам ,называют осями координат. Первую из них обычно называют осью абсцисс и обозначают Ох, вторую- осью ординат и обозначают Оу.

Будем всегда изображать илежащими на соответствующих осях координат.

Определение 10. Координатами точки М на плоскости относительно декартовой (аффинной) системы координат {0;;} называют координаты ее радиус-векторапо базису,:

= х+у, тогда числа х и у будет координатами М относительно декартовой(аффинной) системы координат {0;;}. Координату х называютабсциссой точки М, координату у-ординатой точки М.

Итак, если выбрана система координат, {0;;} на плоскости, то каждой точке М плоскости соответствует единственная точка М на плоскости: эта точка является концом вектора

= х+у.

Введение системы координат лежит в основе метода аналитической геометрии, сущность которой состоит в том, чтобы уметь сводить любую геометрическую задачу к задачам арифметики или алгебры.

Определение 11. Координатами вектора на плоскости относительно декартовой системы координат {0;;} называют координаты этого вектора в базисе,.

Чтобы найти координаты вектора , надо разложить его по базису ,:

= х+у, где коэффициенты х,у и будут координатами вектора относительно декартовой системы {0;;}.

Декартова (аффинная) система координат в пространстве.

Пусть в пространстве зафиксирована некоторая точка О(начало) и выбран векторный базис

,,.

Определение 12. Совокупность {0;;;}называютдекартовой системой координат в пространстве.

Определение 13. Три прямые проходящие через О и параллельные соответственно векторам,,, называютосями координат и обозначают соответственно Оz,Oy,Oz.Мы будем всегда изображать векторы,,лежащими на соответственных осях.

Определение 14. Координатами точки М в пространстве относительно декартовой системы координат {0;;;} называют координаты ее радиус-векторав этой системе.

Иначе говоря, координаты точки М – это такие три числа х,у,zсоответственно абсцисса и ордината точки М; третью координатуzназывают аппликатой точки М.

Введение в пространстве декартовой системы координат позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между точками М пространства и упорядоченными тройками чисел x,y,z.

Определение 15. Координатами вектора в пространстве относительно декартовой системы координат {0;;;}называют координаты этого вектора в базисе;;.

Пример 2.

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-2;1),В(1;3),С(4;0). Найти четвертую его координату D. Система координат аффинная.

Решение.

Векторы иравны, значит, равны их координаты ( коэффициенты линейной комбинации):

= {3;2}, ={4-x;-y};. Значит,D(1;-2).

Ответ:D(1;-2).

Линейная зависимость. Понятие базиса

Определение 16. Векторы , называют линейно зависимыми, если существуют числа ,

(***)

Это определение линейной зависимости векторов ,эквивалентно такому: векторы,линейно зависимы, если один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных (или разложить по остальным).

Векторы ,называются линейно зависимыми, если равенство (***) возможно в единственном случае, когда

Понятие линейной зависимости играет большую роль в линейной алгебре. В векторной алгебре линейная зависимость имеет простой геометрический смысл.

1. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два неколлинеарных вектора линейно независимы.

2. Три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три некомпланарных вектора линейно независимы.

3. Каждые четыре вектора линейно зависимы.

Определение 17. Три линейно независимых вектора называютсябазисом пространства, т.е. любой векторможет быть представлен в виде некоторой.

Определение 18. Два лежащих в плоскости линейно независимых вектора называютбазисом плоскости, т.е. любой лежащий в этой плоскости вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов.

Задания для самостоятельного решения.

1. Даны три вектора Найти разложение векторапо базису

2. Даны векторы Вектор–медиана треугольникаOAB. Разложить вектор по базису

3. В тетраэдре OABC точки K, L, M, N, P, Q – середины рёбер OA, OB, OC, AB, AC, BC соответственно, S – точка пересечения медиан треугольника ABC. Принимая за базисные

векторы найти в этом базисе координаты:

1. векторов

2. векторов

3. векторов и

4. Точки Mи N – середины сторон BCи CDпараллелограмма ABCD. Разложить вектор по векторами

5. Дан куб ABCDEFGH. Разложить вектор , гдеK– центр грани DHGC, по векторам ,

6. На плоскости даны вектора Найти разложение векторапо базису,

7. На плоскости даны три вектора иОпределить разложение каждого из этих трёх векторов, принимая в качестве базиса два других.

8. Принимая в качестве базиса векторы и, совпадающие со сторонами треугольникаABC, определить разложение векторов, приложенных в вершинах треугольника и совпадающих с его медианами.

9. Даны четыре вектора Найти координаты векторов – линейных комбинаций:

10. Даны четыре вектора ,Найти числа α, β, γ такие, что α

11. Проверить, что векторы образуют базис в пространстве. Найти координаты векторов,в этом базисе.

12. (Задача об отрезке, разделённом в заданном отношении.) Пусть точка C, лежащая на отрезкеAB, делит этот отрезок в отношении λ, т.е. Выразить векторчерез векторыи

13. Даны две точки A(1;2;3). B(7;2;5). На прямой ABнайти такую точку M, чтобы точки Bи Mбыли расположены по разные стороны от точки A и чтобы отрезок AMбыл вдове длиннее отрезка AB. Система координат аффинная.

14. Вершина Aпараллелепипеда ABCD принята за начало координат, а векторы – за базисные векторы. Найти в этой системе координаты всех вершин параллелепипеда.

15. Вершина Oтетраэдра OABCDпринята за начало координат, а векторы – за базисные векторы. Найти на этой (аффинной) системе координаты точек пересечения медиан граней тэтраэдра.