§5. Векторное произведение векторов.
Определение
1.Векторным произведением двух
векторов
и
называют третий вектор
,
удовлетворяющий условиям:
1)
=
, где-угол между
и
(0
);
2)
вектор
ортогонален векторам
и
,
т.е.
и
;
3)векторы
,
,
образуют правую тройку векторов.
Векторное
произведение векторов
и
обозначают
х
или [
x
].
Если
хотя бы один из сомножителей равен
,
то векторное произведение по определению
есть нулевой вектор.
Понятие
векторного произведения родилось в
механике. Если вектор
=
изображает
приложенную в некоторой точке Р силу ,
а вектор
идет из некоторой точки О в точку Р, то
вектор
=[
x
]
=
представляет собой момент силы
относительно
точки О.
Геометрический смысл векторного произведения.
1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
2.
Длина( модуль) векторного произведения
х
равна площадиSпараллелограмма,
построенного на приведенных к общему
началу векторах
и
,
т.е.
S=
=
,
=(
,
).
Алгебраические свойства векторного произведения.
Векторное умножение обладает следующими четырьмя свойствами:
1)[
x
]=-[
х
]
(свойство антикоммутативности);
2)
[(
)х
]=
[
х
]
(свойство ассоциативности относительно
числового множителя);
3)
[(
+
)х
]
= [(
x
)]+[
x
]
(свойство дистрибутивности относительно
суммы векторов);
4)
[(
х
)]
=
для
любого вектора
.
Если
= {
;
;
}
и
= {
;
;
}
– векторы, заданные своими координатами
в пямоугольном базисе, то разложение
векторного произведения [
x
]
в том же базисе имеет вид:
[
x
]
=
-
+
,
или
х
=
.
Пример
1. Доказать, что (
-
)x(
+
)
= 2
x
,
и выяснить геометрическое значение
этого тождества.
Решение.
(
-
)
х (
+
)
=
х
+ (
х
)
– (
х
)
– (
х
).
Так как
х
=
,
х
=
,
х
= -[
х
],
то получаем
(
-
)x(
+
)
=2[
x
]
и
= 2
.
Это с геометрической точки зрения
означает: площадь параллелограмма,
построенного на диагоналях данного
параллелограмма, вдвое больше площади
данного параллелограмма.
Задания для самостоятельного решения.
1.
Найти векторное произведение векторов
и
,
заданных своими координатами.
1)
={3;-1;2},
={2;-3;5};
2)
={2;-1;1},
={-4;2;2};
3)
={6;1;0},
={3;-2;0};
2. Упростить выражения:
1)[
(
+
)x(
-
)];
2) [(
-
+
)x(
+2
-5
)].
3.Векторы
и
неколлинеарны. При каких значениях λ
коллинеарны векторы λ
+
и 3
+λ
?
4.На
векторах
={2;3;1}
и
={-1;1;2}, отложенных от одной точки, построено
треугольник. Найти:
1) площадь этого треугольника;
2)длины трех его высот.
5. Раскрыть скобки и упростить выражения:
1)
x(
+
)-
x(
+
)
+
x(
+
-
);
2)(
+
+
)xc+(
+
+
)x
+(
-
)x
;
3)(2
+
)x(
-
)+(
+
)x(
+
);
4)
2
x(
x
)+3
x(
x
)+4
x(
x
).
6. Даны точки А(2;-1;2), B(1;2;-1) иC(3;2;1). Найти координаты векторных произведений:
1)
[
x
];
2)[(
-2
)x
].
7.
Векторы
и
ортогональны. Зная, что
=3,
=4,
вычислить:
1)
;
2)
.
8.
Даны векторы
= {3;-1;-2} и
= {1;2;-1}.
Найти координаты векторных произведений:
1)
[
];
2)[(2
)x
];
3) [(2
)x(2
)].
9.Даны точки А(1;2;0), B(3;0;-3) иC(5;2;6).
Вычислить площадь треугольника ABC.
10.
Вектор x, перпендикулярный
к векторам
={4;-2;-3}
и
=
{0;1;3} Образует с осью Оу тупой угол. Зная,
что
=26,
найти его координаты.
11.
Векторы
и
образуют угол
=
.
Зная, что
=1,
=2,
вычислить:
1)
;
2)
;
3)
.
12. Вычислить синус угла, образованного векторами
={2;-2;1}
и
=
{2;3;6}.
13. Даны вершины треугольника А(1;-1;2), B(5;-6;2) иC(1;3;-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершиныBна сторону АС.
14.
Сила
={3;2;-4}
приложена к точке А(2;-1;1). Определить
момент этой силы относительно начала
координат.
15.
Сила
= {2;-4;5} приложена к точке
(4;-2;3).
Определить момент этой силы относительно
точки А (3;2;-1).
16.
Сила
= {3;4;-2} приложена к точке
(2;-1;-2).
Определить величину и направляющие
косинусы момента этой силы относительно
начала координат.
17. Найти площадь треугольника с вершинами в точках А(0;1), B(4;5) иC(6;-1).
18.
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
= 2
+
+3
и
=
+
+
.
19. Найти площадь треугольника с вершинами А(-1;2;3), B(2;1;4) иC(0;-3;4).
20.
Определить, при каких значениях
вектор
+3
+
будет коллинеарен вектору [
],
если
=
{3;-1;1},
={1;2;0}.
21. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4), B(1;0;6),C(4;5;-2).