§3. Прямоугольная декартова система координат

Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная декартова система координат.

Определение 1. Декартова система координатна плоскости называется прямоугольной, если и– ортогональные единичные векторы.

Аналогично определяется прямоугольная декартова система координат в пространстве; в этом случае векторытакже являются взаимно перпендикулярными и единичными. Базисные векторыпрямоугольной декартовой системы координат на плоскости обозначают обычнобазисные векторыпрямоугольной декартовой системы координат обозначаютСоответственно разложение радиус-векторапо базису записывают в виде

Определение 2. Проекцией вектора на единичный векторназывается числогдеугол между векторами

Координаты вектораполученные как коэффициенты линейной комбинации базисных векторов, в прямоугольном базисе совпадают с проекцией векторана базисные ортысоответственно, а длина вектораравна

Определение 3. Числа называетсянаправляющими косинусами вектора

Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами (проекциями) его орта и между собой связаны соотношением

Отметим, что базис называют ортонормированным, так как

Пример 1. Заданы векторы Найти:

а) координаты вектора

б) координаты вектора

в) разложение вектора по базису

г)

Решение.

а) Так как по формуле│

│= Тогда

б) Вычислим координаты вектора

в)

г)

Ответ:

б)

в)

Замечание. Если известны координаты точек, то проекцииX, Y, Z на оси координат вектора могут быть получены по формулам

то расстояние d между данными точками определяется формулой:

Если точка лежит на прямой, проходящей через две данные точкии дано отношениев котором точкаM делит отрезок , то координаты точкиM определяются по формулам:

§4.Скалярное произведение векторов.

Рассмотрим следующую задачу. Материальная точка массой 1кг под действием постоянной по величине и направлению силы переместилась вдоль прямой из точки P в точку Q. Какая при этом совершилась работа? Как известно из физики, работа равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между направлениями силы и перемещения. Применяя векторные обозначения, можно записать:

Определение 1. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то их скалярное произведение принимают равным нулю. Скалярное произведение векторовиобозначаютили (. Итак,

Скалярное произведение векторов можно выразить также формулойЗдесьпроекция векторана ось вектора

Из определения следует, что случае, когда векторыперпендикулярны (ортогональны),

Отметим ещё факт. Скалярное произведение векторана себя называют скалярным квадратом вектораи обозначаютТак как в этом случае угол

следует, что │

Свойства скалярного произведения.

1. Скалярное умножение коммутативно, т.е. для любых векторов справедливо равенство)

2. ненулевой вектор, и

3. ние равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нуль-вектору.

4. и заданы своими координатами в ортогональном базисето их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

Отсюда следует необходимое и достаточное условие ортогональности векторов:

5. Для любых векторов справедливо равенство(дистрибутивность операции сложения относительно операции умножения векторов).

6. Для любых векторов и любого числаk справедливо равенство (Ассоциативность по отношению к умножению вектора на число.)

7. Пусть два ненулевых вектора,угол между ними. Из определения скалярного произведения следует:

8. Пусть в пространстве дана некоторая ось единичный векторкоторый составляет с координатными осями углыТогда проекция произвольного вектораэту ось определяется формулой

Пример 1. Найти проекцию вектора на ось, образующую с координатными осями острые углы.

Решение. Направляющие косинусы оси таковы:

Следовательно,

Ответ:

Пример 2. Даны векторы Найти

Решение. Так как

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

1. Раскрыть скобки в выражении и выяснить геометрический смысл полученной формулы.

2. Даны три вектора удовлетворяющие условиюЗная, чтои, вычислить

3. Векторы попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 60. Зная, чтои, определить модуль вектора

4. Какому условию должны удовлетворять векторы чтобы векторбыл ортогонален вектору

5. Доказать, что векторы ортогонален вектору

6. Даны векторы исовпадающие со сторонами треугольникаABC. Найти разложение по базису вектора, приложенного к вершинеB этого треугольника и совпадающего с его высотой BD.

7. Даны векторы вычислить:

1. 

8. Дан равносторонний треугольник ABC, длины которого равны 1. Вычислить выражение

9. В треугольнике ABCданы длины его сторон: Найти скалярные произведения векторов

10. В треугольнике ABCпроведены медианы иВычислить

11. Найти скалярное произведение векторов и

1. │

2. │

3. │

4. │соноправлены;

5. │противоположно направлены.

12. Вычислить выражение │если:

1. │

2. │

13. Найти скалярное произведение векторов и, заданных своими координатами:

1. 

2. 

3. 

14. Найти расстояние между точками Aи B, заданными своими координатами:

1. 

15. Даны три вектора:

1. 

2. 

3.