§5. Векторное произведение векторов.

Определение 1.Векторным произведением двух векторовиназывают третий вектор, удовлетворяющий условиям:

1) =, где-угол междуи(0);

2) вектор ортогонален векторами, т.е.и;

3)векторы ,,образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов иобозначаютхили [x].

Если хотя бы один из сомножителей равен , то векторное произведение по определению есть нулевой вектор.

Понятие векторного произведения родилось в механике. Если вектор =изображает приложенную в некоторой точке Р силу , а векторидет из некоторой точки О в точку Р, то вектор=[x] =представляет собой момент силыотносительно точки О.

Геометрический смысл векторного произведения.

1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

2. Длина( модуль) векторного произведения хравна площадиSпараллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторахи, т.е.

S==,=(,).

Алгебраические свойства векторного произведения.

Векторное умножение обладает следующими четырьмя свойствами:

1)[x]=-[х] (свойство антикоммутативности);

2) [()х]=[х] (свойство ассоциативности относительно числового множителя);

3) [(+)х] = [(x)]+[x] (свойство дистрибутивности относительно суммы векторов);

4) [(х)] =для любого вектора.

Если = {;;} и= {;;} – векторы, заданные своими координатами в пямоугольном базисе, то разложение векторного произведения [x] в том же базисе имеет вид:

[x] =-+, илих=.

Пример 1. Доказать, что (-)x(+) = 2x, и выяснить геометрическое значение этого тождества.

Решение.

(-) х (+) =х+ (х) – (х) – (х). Так какх=,х=,х= -[х], то получаем

(-)x(+) =2[x] и= 2. Это с геометрической точки зрения означает: площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, вдвое больше площади данного параллелограмма.

Задания для самостоятельного решения.

1. Найти векторное произведение векторов и, заданных своими координатами.

1)={3;-1;2},={2;-3;5};

2)={2;-1;1},={-4;2;2};

3)={6;1;0},={3;-2;0};

2. Упростить выражения:

1)[ (+)x(-)]; 2) [(-+)x(+2-5)].

3.Векторы инеколлинеарны. При каких значениях λ коллинеарны векторы λ+и 3+λ?

4.На векторах ={2;3;1} и={-1;1;2}, отложенных от одной точки, построено треугольник. Найти:

1) площадь этого треугольника;

2)длины трех его высот.

5. Раскрыть скобки и упростить выражения:

1)x(+)-x(+) +x(+-);

2)(++)xc+(++)x+(-)x;

3)(2+)x(-)+(+)x(+);

4) 2x(x)+3x(x)+4x(x).

6. Даны точки А(2;-1;2), B(1;2;-1) иC(3;2;1). Найти координаты векторных произведений:

1) [x]; 2)[(-2)x].

7. Векторы иортогональны. Зная, что=3,=4, вычислить:

1); 2).

8. Даны векторы = {3;-1;-2} и= {1;2;-1}.

Найти координаты векторных произведений:

1) []; 2)[(2)x]; 3) [(2)x(2)].

9.Даны точки А(1;2;0), B(3;0;-3) иC(5;2;6).

Вычислить площадь треугольника ABC.

10. Вектор x, перпендикулярный к векторам={4;-2;-3} и= {0;1;3} Образует с осью Оу тупой угол. Зная, что=26, найти его координаты.

11. Векторы иобразуют угол=. Зная, что=1,=2, вычислить:

1); 2); 3).

12. Вычислить синус угла, образованного векторами

={2;-2;1} и = {2;3;6}.

13. Даны вершины треугольника А(1;-1;2), B(5;-6;2) иC(1;3;-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершиныBна сторону АС.

14. Сила ={3;2;-4} приложена к точке А(2;-1;1). Определить момент этой силы относительно начала координат.

15. Сила = {2;-4;5} приложена к точке(4;-2;3). Определить момент этой силы относительно точки А (3;2;-1).

16. Сила = {3;4;-2} приложена к точке(2;-1;-2). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

17. Найти площадь треугольника с вершинами в точках А(0;1), B(4;5) иC(6;-1).

18. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах = 2++3и=++.

19. Найти площадь треугольника с вершинами А(-1;2;3), B(2;1;4) иC(0;-3;4).

20. Определить, при каких значениях вектор+3+будет коллинеарен вектору [], если= {3;-1;1},={1;2;0}.

21. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4), B(1;0;6),C(4;5;-2).