Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие.docx

Скачиваний:

100

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

1.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

§2. Линейное (векторное) пространство.

Определение 1. Совокупностьnдействительных чисел,,…,, заданных в определенном порядке, называетсяn-мерным вектором. Числа,,…,называются координатами вектора.

Над n-мерными векторами вводятся следующие операции.

Сложение: если x=(,,…,),y=,,…,), тоx+y=(+,+, … ,+).

Умножение на число : если - действительное число иx=(,,…,)-вектор, тоx=(,, …,).

Определение 2. Два вектора называютсяравными, если равны их соответствующие координаты

(,,…,) =,,…,)=,=, … ,=.

Среди n-мерных векторов есть вектор, нейтральный относительно операций сложения.

Этот вектор с нулевыми координатами. Его называют нулевым вектором и обозначают через 0:

0=(0,0,…,0).

Каждый вектор xимеет противоположный : его обозначают –x, причем

-x=(,,…,).

Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число обладают восемью свойствами:

x+y=y+x
(x+y)+z=x+(y+z)
x+0=0
x+(-x)=0
λ(μx)=(λμ)x
λ(x+y)= λx+λy
(λ+μ)=λx+μx
1·x=x.

Определение 3. Множество всехn-мерных векторов, для которых установлены операции сложения и умножения на число, называетсяn-мерным векторным (линейным) пространством

Определение 4. Системаn-мерных векторов {,,…,} называетсялинейно зависимой, если найдутся числа,,…,, не равные одновременно нулю, такие, что++…+=0.

В противном случае эта система называется линейно независимой .

Определение 5.ПустьQ- произвольное множествоn-мерных векторов пространства. Система векторовB={,,…,} называетсябазисом вQ, если выполняются следующие условия:

Q, k=1,2,…,s;
Система B={,,…,} линейно независима;
Для любого вектора Qнайдутся числа,,…,, такие, чтоx=.

Определение 6. Формуланазывается разложением вектораxпо базисуB=(,,…,). Коэффициенты,,…,однозначно определяются векторомxи называются координатами этого вектора в базисе В.

Справедливы следующие утверждения:

Всякая система векторов Qимеет по меньшей мере один базис; при этом все базисы этой системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системыQ, и обозначаютсяr(Q).
Ранг всего пространства равенnи называется размерностью этого пространства; при этом в качестве базисаможно взять следующую систему:

Этот базис принято называть каноническим.

Зафиксируем произвольный базис B=(,, …,) в пространстве. Тогда всякому векторуxможно поставить взаимно однозначное соответствие столбец его координат в этом базисе, т.е.

X=++…+=.

§3. Cистемы линейных алгебраических уравнений.

Системы n линейныйх алгебраических уравнений с n неизвестными

Пусть дана система nлинейных алгебраических уравнений сnнеизвестными вида

Или в матричной форме, АХ=b, где А=–матрица системы,

X=- матрица-столбец неизвестных,

B=- матрица-столбец свободных членов данной системы.

Правило Крамера

Если в системе detA0, т.е. матрица А имеет обратную, то система имеет, и при этом единственное, решениеX=·b, или, i=1,2,…,n,

где -определитель, получаемый из определителясистемы заменойi-го столбца на столбец свободных членов.

Пример 1. Решить систему уравнений по правилу Крамера

Решение.

Определитель системы ==5,

=(2)+(1)=(3)+(1)==15,

==1·-5+1·=8-15+2=-5;

=(2)+(1)=(3)+(1)=(-1)·=5.

Тогда

Ответ:

Произвольные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана система mлинейных уравнений сnнеизвестными общего вида

(*)

Или в матричной форме, AX=b,

Где А = – матрица системы, размераmxn,

X=– матрица-столбец неизвестных,

B=– матрица-столбец свободных членов данной системы.

Определение 1.Решением системы называется такая совокупностьnчисел,, …,, что при подстановке их во все уравнения системы вместо соответствующих неизвестных получаются числовые тождества.

Определение 2. Система, имеющая хотя бы одно решение, называетсясовместной; система, имеющая ни одного решения -несовместной.

Определение 3. Система, имеющая единственное решение, называетсяопределенной; система, имеющая более одного решения -неопределенной.

Определение 4. Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Определение 5. Матрица (Alb) =,

Получаемая из матрицы А системы добавлением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей.

Теорема 1. Для того, чтобы система (*) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, т.е.

r(A)=(Alb).

Иначе, 1) r(A)r(Alb)система несовместна,

2)r(A)=r(Alb)система совместна,

3) r(A)=r(Alb) =nсистема определенна,

4) r(A)=r(Alb)nсистема неопределенна.

Алгоритм исследования произвольных система линейных уравнений методов Гаусса.

1) Сначала расширенная матрица (Alb) приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду и матрица А системы (*));

2) затем находятся числа r(A) ,r(Alb) иn(n- число неизвестных системы);

3) проводится исследование системы согласно теоремы Кронекера-Капелли.

Пример 2. Исследовать систему.

Решение.

= (2)-5(1)(3)-(1)(3)-3(2)

(3)

r(A)=3,r(Alb)=3,n=3.

Отве: система совместна и имеет единственное решение.

Метод Гаусса

Определенные линейные алгебраические системы

Определение 6. Система являетсяопределенной тогда и только тогда, когдаr(A)=r(Alb)=n. В этом случае имеем системуnлинейных уравнений сnнеизменными, определитель которой не равен нулю. Значит, по формулам Крамера можно найти ее решение. Найдем же решение этой системы методом Гаусса. В этом случае матрица А после приведения её к ступенчатому виду будет треугольной, т.е. количество строк у нее равняется количеству столбцов ( так какr(A) =nи ниже диагонали расположены нули). С помощью элементарных преобразований матрицу А можно привести к единичной матрице, тогда после черты в расширенной матрице будет расположено решение системы, т.е. приведем расширенную матрицу к виду (ElX).

Пример 3.Найти решение системы уравнений примера 2 методом Гаусса.

Данную систему мы приведем к виду:

. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу А к единичному виду.

-(3)(2)-9(3)(1)+(3)(2)

(1)+(2).

Следовательно,

Проверка. Подставим эти значения неизвестных в систему примера 2.

2-3-(-1)=0,5·2-1·3+4·(-1)=10-7=3,

1·2+2·3+3(-1)=8-3=5.

Ответ:

Неопределенные линейные алгебраические системы.

Если система имеет бесконечное множество решений, то все их перечислить невозможно. В этом случае строится общее решение системы.

Определение 7. Общим решением неопределенной системы называется такая система, эквивалентная исходной, в которой часть неизвестных, называемых зависимыми, выражена через остальные неизвестные, называемые независимыми.

Опишем способ нахождения общего решения системы, предполагая, что её матрица уже приведена к ступенчатому виду.

Пусть дана система .

Сначала надо выделить неизвестные. Которые будут зависимыми(остальные будут независимыми); для этого надо, обведя нули, нарисовать «лесенку», иллюстрирующую ступенчатый вид матрицы. Под теми столбцами, где начинаются «ступеньки» этой «лесенки» подписать неизвестные, соответствующие этим столбцам, и рядом написать букву «з». В данном примере это будет выглядеть так:

Выписанные неизвестные и будут считаться зависимыми.

Затем с помощью элементарных преобразований надо добиться, чтобы в столбцах соответствующих зависимым неизвестным, осталось лишь одно ненулевое число.

Делать это целесообразно двигаясь снизу вверх и справа на лево. В данном примере получим таким образом матрицу

Теперь надо систему из матричной формы записи перевести в обычную форму:

Выражая в каждом уравнении зависимую неизвестную, получаем общее решение системы:

Теперь, придавая независимым неизменным произвольные значения и вычисляя зависимые, можно найти частное решение системы и сделать проверку.

В этом примере положим =1,=2,=0, тогда=-33,=-7,=,=.

Проверка. -33+8·1-4·(-7)-2·+4·-2·0=-33+8+28-1+2=4;

2(-7)+7·2+4· +2·-1·0=-14+14+2+1=3;+3 ·=2 ; 2·-3· 0=1.

Замечание. Количество зависимых неизвестных должно равняться рангу матрицы.

Однородные линейные алгебраические системы

Определение 8. Однородные линейные алгебраические системы составлены из уравнений, у которых правые части раны нулю:

A = –Матрица системы,

Х = – матрица-столбец неизвестных,

Тогда матричная форма записи системы будет: АХ=0

Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение =0,=0,…,=0 или Х=0. Для существования ненулевого решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, т.е. чтобыr=r(A)n( приm=nэто условие означает, чтоdetA=0).

Определение 9. ПустьQ- множество всех решений однородной системы. Всякий базис в множествеQсостоит изn-rвекторов,,…,.Соответствующая ему в каноническом базисе система вектор-столбцов,, … ,называетсяфундаментальной системой решений.

Общее решение однородной системы имеет вид:

Х=++…+, где,,…,–произвольные постоянные.

Базисные решения,,…,могут быть получены с помощью элементарных преобразований матрицы системы приведением ее к ступенчатому виду, если независимым неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равным нулю. Если задана неоднородная система АХ=b, то ее общее решение может быть найдено как сумма общего решения соответствующей однородной системы АХ=0 и произвольного частного решения неоднородной системы.