§3. Прямоугольная декартова система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

§4. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

§5. Векторное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

§6. Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Типовые решения примеров и задач

Элементы линейной алгебры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Векторная алгебра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Контрольные задания

Контрольные задания по теме: Линейная алгебра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Контрольные задания по теме: Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Вопросы для самопроверки

Линейная алгебра

Векторная алгебра

Предисловие в учебное пособие вошли все разделы стандартного курса математики содержащихся в первом семестре.

Каждая глава (соответствующий раздел курса) содержит справочный материал, а также основные теоретические положения, необходимые для решения задач. Отличительной особенностью данного издания является большое количество задач с решениями, что позволяет использовать его не только для аудиторных занятий, но и для самостоятельной работы студентов. Задачи представлены по темам, систематизированы по методам решения. Завершают каждую главу наборы заданий для самостоятельного решения, контрольными работами, тестами, вопросами для самопроверки.

Полнота изложения материала и относительная компактность данного учебного пособия позволяет рекомендовано для студентов высших учебных заведений.

Модуль 1

Линейная алгебра

§1. Определители и матрицы

Определители

Определителем первого порядка является само число |5|= 5.

Определение 1.Матрицей размера 2 х 2 называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из 2 строк и 2 столбцов. Обозначается

А = .

Числа, составляющие эту матрицу, называются её элементами и обозначаются буквой с двумя индексами . Первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца, в которых стоит данное число.

Определение 2. Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число.

Определитель обозначают символом

По определению, =.

Числа ,,,называются элементами определителя.

Свойства определителя второго порядка

1. Определитель не изменяется, если все его строки заменить (транспортировать)соответствующими столбцами(равномерность строк и столбцов).

2. При перестановке двух строк (или столбцов)определитель изменит знак на противоположный.

3. Если элементы одной строки (столбца)умножить на одно и то же число λ, то новый определитель увеличится в λ раз.

4. Если к одной строке (столбцу) поэлементно прибавить другую строку(столбец),то новый определитель совпадает с исходным(не изменится).

Определение 3. Аналогично, если А =– квадратная матрица 3 х 3(3 строки,3 столбца), то соответствующим ей определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется следующим образом=.

Числа ,, … ,называются элементами определителя. Формула дает разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Определение 4. Минор, соответствующий данному элементу определителя третьего порядка, это определитель второго порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Миноры будем обозначать заглавной буквойМс двумя индексами. Так, например, минор, соответствующий элементу, есть определитель=.

Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка. Аналогично формуле, дающей разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки, можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.

Определение 5.Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если эта сумма нечетна.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается через. Здесьi означает номер строки, аk-номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Например, ,,и т.д.

Обозначим определитель через |А|, тогда получим следующие верные равенства:

|А|= ,

|А|= ,

|А|= .

Это есть разложение определителя третьего порядка по элементам строк.

|А|= ,

|А|= ,

|А|= .

Это есть разложение определителя третьего порядка по элементам столбцов.

Понятие об определителях высших порядков

Определитель четвертого порядка есть число, которое находится следующим образом:

Δ

Определители третьего порядка в правой части равенства являются минорамиэлементов

Алгебраическое дополнение элемента вычисляется по формуле, тогда равенство можно переписать в виде: |А| =+.

Эта формула дает разложение определителя четвертого порядка по элементам первой строки. Аналогично вычисляются определители более высоких порядков.

Все свойства Определителей второго и третьего порядка остаются справедливыми для определителей любого порядка.

Пример 1. Вычислить определители:

а) = 2·4-3·1=5.

Ответ: 5.

б)=+= 1.

Ответ: 1.

в) =-== 2·2= 4.

Ответ:4.

г) = 1·-1·+1·= 1-1+1= 1.

Второй способ. Воспользуемся свойством определителя и к первой строке прибавим третью, получим определитель третьего порядка и разложение по элементам первой строки:

в) == 1 ·= 1.

Ответ: 1.

Матрицы

Операции над матрицами

Определение 6. Матрицей размераmxnназывается прямоугольная таблица чисел,i= 1,2, … ,m,j= 1,2, …,n, состоящая изmстрок иnстолбцов.

А =

Определение 7. Суммой А+В (mxn) - матрицA= (иB= (называется матрицаC(того же порядка, каждый элемент который равен сумме соответственных элементов матрицAиB:=+,i=1,2, …,m,j= 1,2, … ,n.

Определение 8. Произведением αА матрицы А=() на действительное число α называется матрицаB= (, получающаяся из матрицы А умножением всех её элементов на α:=α,i=1,2, … ,m,j= 1,2, … ,n.

Определение9. Произведением АВ (mxn) –матрицы А =(на (nxk) –матрицуB=(называется (mxk)- матрицаC(, элемент которой, состоящий вi-й строке иj-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементовi-й строки матрицы А иj-го столбца матрицы

B:= , i=1,2,…,m, j=1,2,…,k.

Матрицы перемножить возможно тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк В. Для матриц одинакового размера справедливы свойства следующих алгебраических операций:

1. А+В=В+А;

2. А+(В+С)=(А+В)+С;

3. (α+β)А=αА+βА;

4. α(А+В)=αА+αВ;

5. (αβ)А=α(βА);

6. А(ВС)=(АВ)·С;

7. А(В+С)=АВ+АС.

Определение 10. Нуль-матрицей называется матрица О, все элементы которой равны нулю.

Определение 11. Единичной матрицей Еназывается квадратная матрица , на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.

Например, Е= .

Справедливы равенства : А+О=А; АЕ=ЕА=А.

Обратная матрица.

Определение 12. Квадратная матрица (m=n) называетсявырожденной (особой), если её определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной) в противном случае.

Определение 13. Если А-невырожденная матрица, то существует, и притом единственная, матрицатакая, что А·=·А=Е, где Е - единичная матрица того же размера, что и матрицы А и

Матрица называетсяобратнойк матрице А.

Определение 14. Назовем матрицуприсоединенной, если она является транспонированной матрицей, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.

Если матрица А - невырожденная, то

=·, где=.

Пример.Найти сумму матриц А и В, если

А=, В=.

Решение.

А+В==.

Ответ: .

Ранг матрицы

Определение 15. Пусть в матрице размера (mxn) выбраны произвольноkстрок иkстолбцов (kЭлементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядкаk, определитель которой называетсяминором k-го порядка матрицы А.

Определение 16. Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы А называется еёрангом.

Определение 17. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1. Перестановка местами двух строк;

2. Поэлементное умножение строки на не равное нулю число;

3. Поэлементное прибавление одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число λ;

4. Вычеркивание нулевой строки.

Матрица имеет ступенчатый вид, если в каждой ее строке стоит нулей больше, чем в предыдущей. При этом учитываются лишь нули, стоящие в начале строки до первого ненулевого числа.

Теорема 1. Любую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к ступенчатому виду.

Теорема 2.Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк матрицы после приведения ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Пример.Вычислить ранг матрицы

А=.

Решение.Применяя элементарные преобразования строк матрицы, будем обозначать: -1·(2)-умножить вторую строку на (-1); (2)-2(1)-вычтем из второй строки первую, умноженную на (2); (2)(5)-поменять строки вторую и пятую местами.

(2)-(3)(4)(5)

(3)-(2) (4)-(2)(5)-(2)

r(A)=2.

Ответ: r(A)=2.