4. Переходная функция.

h(t) =L^-1[W(s)/s] =L^-1[T] =T·δ(t)

Таким образом, реакция дифференцирующего звена на ступенчатую функцию – это короткий импульс.

5. Весовая функция.

w(t) = L^-1[W(s)] = L^-1[T·s] = T·dδ(t)/dt

Переходную и весовую функцию дифференцирующего звена трудно изобразить графически, и тем более сложно представить, каков отклик (реакция) этого звена на входное воздействие. Поэтому рассмотрим отклик дифференцирующего звена на линейное (нарастающее) входное воздействие:

х(t) = t Х(s) = 1/s².

у(t) = L^-1[W(s)·Х(s)] = L^-1[T·s/s²] = L^-1[T/s] = T·1(t).

Другими словами, если на вход дифференцирующего звена подать линейно нарастающий сигнал, то в момент подачи сигнала на выходе мы будем иметь скачок выходного сигнала с 0 до T.

6. Частотные характеристики.

Рис. 5.1. АФЧХ, ЛАХ и ЛФХ дифференцирующего звена.

W(jω) = T·j·ω = 0 + Tω·j

A(ω) = Tω

φ(ω) = arctg(Tω/0) arctg(∞) = π/2

L(ω) = 20lg[A(ω)] = 20lg(Tω).

Как видим, частотные характеристики дифференцирующего звена обратны частотным характеристикам интегрирующего звена.

(16) Апериодическое звено II-ого порядка:

1. Передаточная функция.

Передаточная функция апериодического звена II-ого порядка имеет вид:

W(s) =K/[(T₁·s+ 1)·(T₂·s+ 1)]

где K– коэффициент усиления;T₁иT₂– постоянные времени, также характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. (T₁> 0 иT₂> 0).

2. Математическое описание звена.

Апериодическое звено II-ого порядка описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

(T₁T₂)·d²у(t)/dt²+ (T₁+T₂)·dу(t)/dt+ у(t) =K·х(t)

3. Физическая реализация звена.

Апериодическое звено II-ого порядка можно рассматривать как комбинацию двух апериодических звеньевI-ого порядка, т.е. это могут быть различного рода двухъемкостные (двухкаскадные) тепловые, гидравлические и пневматические объекты. Примером апериодического звенаII-ого порядка также является двухфазный асинхронный электродвигатель.

4. Переходная характеристика.

Переходная характеристика апериодического звена II-ого порядка имеет вид:

h(t) = L^-1[W(s)·1(t)] = L^-1[K/[s·(T₁·s + 1)·(T₂·s + 1)]] =

= K·[1 – (T₁/(T₁ – T₂))·e^-t/T1 – (T₂/(T₂ – T₁))·e^-t/T2]

В частном случае, когда T₁=T₂=Tаналитическое выражение для переходной характеристики имеет несколько иной вид:

h(t) = L^-1[W(s)·1(t)] = L^-1[K/[s·(T·s + 1)²]] =

= K·[1 – e^-t/T – (t/T)·e^-t/T]

Рис. 4.1. Переходная характеристика апериодического звена П-го порядка.

Переходный процесс апериодического звена II-ого порядка имеет экспоненциальный вид с перегибом в начальной области. Это означает, чтозвено имеет высокую инерционность и как бы не сразу начинает реагировать на входное воздействие. Установившееся значение равно:h_уст=K.

Время регулирования T_у(время переходного процесса) для апериодического звенаII-ого порядка в 3 – 5 раз превышает значение большей из постоянных времени.

T_у≈ (3 ÷ 5)·T₂

4. Весовая функция.

Весовая функция апериодического звена II-ого порядка имеет вид:

w(t) = L^-1[W(s)] = L^-1[K/ [(T₁·s + 1)·(T₂·s + 1)]] =

= K·[(1/(T₁ – T₂))·e^-t/T1 + (1/(T₂ – T₁))·e^-t/T2]

В частном случае, когда T₁=T₂=Tаналитическое выражение для весовой функции имеет несколько иной вид:

w(t) = L^-1[W(s)] = L^-1[K/ (T₁·s + 1)²] =

= (K·t/T²)·e^-t/T

Для весовой функции апериодического звена II-ого порядка характерно плавное изменение амплитуды с максимумом: 1) в точке t = T для случая, когда T₁ = T₂ = T; 2) в точке t = T_П (приведенная постоянная времени) для случая, когда T₁ ≠ T₂.

Приведенная постоянная времени T_п определяется по формуле:

Рис. 4.2. Весовая характеристика апериодического звена П-го порядка.