§ 2. Уравнения движения и равновесия

Известно, что основным динамическим уравнением движения материальной точки является второй закон Ньютона ma = R, a широко используемыми следствиями этого закона являются сле­дующие общие теоремы движения системы материальных точек:

а) производная по времени от количества движения

системы равна сумме всех действующих на систему внешних сил

(2.6)

и называется уравнением количества движения или уравнением импульсов:

(2.6')

б) производная по времени от кинетического момента

системы относительно какого-либо неподвижного центра О равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра, т. е.

(2.7)

называется уравнением моментов количества движения или просто

Уравнением моментов

в) дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил, т. е.

dТ = dA (2.8)

называется уравнением механической энергии или теоремой живых сил.

Для любого мысленно выделяемого индивидуального объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью S, уравнения (2.6) — (2.8) остаются в силе, если динамические величины определить следующим

образом:

EMBED Equation.3

, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3

соответственно количество движения, момент количества движе­ния и кинетическая энергия сплошной среды в объеме V;

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

соответственно сумма внешних объемных и поверхностных (непрерывно распределенных и сосредоточенных) сил к их момен­тов относительно некоторого неподвижного центра О, действую­щих на среду в объеме V;

EMBED Equation.3

сумма элементарных работ внешних и внутренних объемных и поверхностных сил.

В этом случае уравнения (2.6) и (2.7) являются основными постулируемыми динамическими соотношениями механики сплош­ной среды¹, подобно второму закону Ньютона в механике материальной точки. Они служат исходными для описания любых движений любой сплошной среды, в том числе для разрывных движений и ударных процессов. ¹ Эти уравнения для индивидуального объема сплошной среды не вытекают из подобных уравнений движения системы материальных точек, а являются самостоя­тельными.

Уравнение (4.8) одно из наиболее важных следствий уравнений (4.6) и (4.7) при непрерывных движениях в пространстве и времени.

При непрерывных движениях интегральная теорема движения (4.6) эквивалентна следующим трем дифференциальным уравне­ниям:

в цилиндрической системе координат при осевой симметрии

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 (2.9)

EMBED Equation.3

в декартовой системе координат

EMBED Equation.3 (i=1,2,3)

где проекции ускорения a_i вычисляют по формулам (1.6).

Эти уравнения, связывающие компоненты v_i вектора скорости EMBED Equation.3 и тензора напряжений {σ_ij}, являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (или импульса) для бесконечно малого объема среды.

Если движения частиц происходят без ускорения (a_i=0) или они пренебрежимо малы, то уравнения (2.9) называются дифферен­циальными уравнениями равновесия.

При непрерывном движении сплошной среды теорема момен­тов количества движения (2.7) в дифференциальной форме сводится к выводу о том, что тензор напряжений симметричен, т. е. σ_ij = σ_ji. Если тензор напряжений симметричен, то уравнения моментов количества движения удовлетворяются тождественно.

Интегральная теорема живых сил (2.8) эквивалентна следую­щему дифференциальному уравнению:

dТ = dЕ = dA^(e) (2.10)

где EMBED Equation.3 — соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объема сплошной среды;

EMBED Equation.3 — элементарнаяработа внешних объемных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объема среды.

Уравнение (2.10) является следствием уравнений движения (2.9) и представляет собой уравнение баланса механической энергии. В об­щем случае оно не является законом сохранения энергии, но его мож­но так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не пере­ходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два: закон сохранения механической энергии и закон сохранения энергии другого вида.