- •Институт кибернетики, информатики и связи методические рекомендации по выполнению срс по дисциплинам «элементы высшей математики» и «математика» для специальностей
- •Содержание
- •Введение
- •Общие требования к оформлению и выполнению самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №1
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №2
- •Теоретические сведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №3
- •Теоретические сведения
- •Линейные операции над векторами.
- •Скалярное произведение векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №4
- •Теоретические сведения
- •Окружность
- •Гипербола
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №5
- •Теоретические сведения
- •Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №7
- •Теоретические сведения
- •Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода)
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Самостоятельная работа №8
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №9
- •Теоретические сведения
- •Объем тела
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №10
- •Теоретические сведения
- •Дифференциальные уравнения второго порядка Уравнения допускающие понижение порядка
- •Возможны три случая
- •Задания для самостоятельного решения
- •Самостоятельная работа №11
- •Теоретические сведения
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Самостоятельная работа №12
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Список рекомендуемой литературы
Объем тела
где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.
Площадь плоской фигуры
Масса плоской фигуры
Масса плоской фигуры D с переменной плотностью находится по формуле
Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам
и
Координаты центра масс фигуры
и .
Пример 2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: х+у=2, х=0 и у=0.
Решение:
Изобразим данную область на чертеже.
Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле Получим:
Пример 3. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.
Решение:
Объём тела, вычисляется по формуле: ОбластьD – плоская область, которая является основанием данного тела в плоскости Оху. В данном случае она ограниченна прямыми х=0, у=0, х+у=1. Изобразим её:
z(x; y)=1-x-y
Получим:
Задания для самостоятельной работы
1. Поменять порядок интегрирования:
1)
2)
3)
4)
2. Вычислить следующие интегралы:
2)
3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
4. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: z=1+x+y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.
5. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: z=x+y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.
6. Найдите координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями
7. Найдите момент инерции относительно оси Ох пластинки, ограниченной прямыми у=2+х, у=2-х, у=0, если плотность постоянна и равна единице.
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 2.2.
Самостоятельная работа №10
Тема: «Решение дифференциальных уравнений»
Цель: Закрепление умения решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения первого порядка, решать задачу Коши, линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Время выполнения: 6 часов
Теоретические сведения
Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой искомой функции, если оно содержит хотя бы одну производную этой функции.
Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 1. Решить уравнение
Решение:
Запишем это уравнение в виде
2. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение видав котором функцииM(x;y)и N(x;y) однородные одного и того же измерения.
Однородные уравнения решаются с помощью подстановки
Пример 2. Решить уравнение если
Решение:
Пусть
Подставив y и dy в данное уравнение, получим
(уравнение с разделяющимися переменными).
Обратная замена даёт общее решение
Для нахождения частного условия воспользуемся условием
Тогда или
Пример 3. Решить уравнение
Решение:
Воспользуемся подстановкой:
Получим:
Вычислим интеграл отдельно:
Таким образом,
Обратная замена переменной даёт общее решение:
3. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение гдеp(x) и q(x) – заданные непрерывные в интервале (a;b)функции.
Общее решение данного уравнения находим по формуле:
Если q(x)=0, то данное уравнение называется линейным однородным уравнением первого порядка; в противном случае – линейным неоднородным уравнением первого порядка. Следовательно, линейное однородное уравнение первого порядка имеет вид
Формула общего решения данного уравнения имеет вид:
Пример 4. Решить уравнение
Решение:
Воспользуемся формулой
Получим:
Пример 5. Решить уравнение
Решение:
Воспользуемся формулой
В данном уравнении подставим эти функции в формулу, получим:
Вычислим интеграл отдельно:
Таким образом: