- •Институт кибернетики, информатики и связи методические рекомендации по выполнению срс по дисциплинам «элементы высшей математики» и «математика» для специальностей
- •Содержание
- •Введение
- •Общие требования к оформлению и выполнению самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №1
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №2
- •Теоретические сведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №3
- •Теоретические сведения
- •Линейные операции над векторами.
- •Скалярное произведение векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №4
- •Теоретические сведения
- •Окружность
- •Гипербола
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №5
- •Теоретические сведения
- •Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №7
- •Теоретические сведения
- •Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода)
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Самостоятельная работа №8
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №9
- •Теоретические сведения
- •Объем тела
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №10
- •Теоретические сведения
- •Дифференциальные уравнения второго порядка Уравнения допускающие понижение порядка
- •Возможны три случая
- •Задания для самостоятельного решения
- •Самостоятельная работа №11
- •Теоретические сведения
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Самостоятельная работа №12
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Список рекомендуемой литературы
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислите скалярное произведение векторов:
2. Ортогональны ли векторы:
3. Найдите угол между векторами:
Рекомендуемая литература: 1.1, 2.1,2.5.
Самостоятельная работа №4
Тема: «Кривые второго порядка»
Цель: Формирование умения составления уравнений кривых второго порядка
Время выполнения: 4 часа
Теоретические сведения
Если Р(х; у) многочлен второй степени, то линии, определяемые уравнением
Р(х; у)=0 (1),
называются линиями второго порядка, а уравнение (1) может быть записано в виде
Линия второго порядка, задаваемая уравнением (2) в зависимости от коэффициентов А, В, С, D, Е, F, определяет эллипс, гиперболу или параболу, а при некоторых значениях коэффициентов - точку или две прямые (последние случаи называют вырожденными).
Окружность
Окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию(см. рис.1).
Рис.1.
Каноническое уравнение окружности имеет вид:
где х, у – текущие координаты,
R – радиус окружности.
В частности, полагая получим уравнение у первого коэффициенты приодинаковы и отсутствует окружности с центром в начале координат
Как было сказано выше, окружность является линией второго порядка, следовательно, её уравнение тоже можно рассматривать как частный случай уравнения (2).
Если мы раскроем скобки в уравнении (3), то после некоторых преобразований мы получим уравнение вида
Мы видим, что уравнение (4) отличается от уравнения (2) только тем, что член, содержащий произведение ху.
Таким образом, окружность определяется общим уравнением второй степени с двумя переменными, если в нём коэффициенты при равны между собой и отсутствует член с произведениемху.
Эллипс
Эллипсом называется множество точек плоскости, декартовы координаты, которых удовлетворяют уравнению:
Числа а и b - полуоси эллипса.
Эллипс - это линия симметричная относительно осей Ох и Оу.
Точки
называются вершинами эллипса.
Из канонического уравнения эллипса мы можем вывести формулы для вычисления х и у:
Рис.1.
Гипербола
Гиперболой называется множество точек плоскости, декартовы координаты, которых удовлетворяют уравнению:
Из канонического уравнения гиперболы выводим уравнения х и у:
Гипербола состоит из двух частей, называемых ветвями.
При a=b гипербола называется равносторонней (равнобочной) и её уравнение имеет вид
Гипербола, заданная уравнением вида имеет вид:
Гипербола, заданная уравнением вида называетсясопряжённой гиперболе .
Центром гиперболы является начало координат. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии называются вершинами гиперболы.
Числа a ,b –полуосями.
Прямые
являются асимптотами гиперболы.
Задание для самостоятельной работы
Номер задачи |
Текст задачи |
1 |
|
2 |
|
3 |
у2+6у-8х+1=0. |
4 |
у2+8у+28х+72=0. |
5 |
у2-4у-16х+52=0. |
6 |
Х 2 +8х+16у+48=0. |
7 |
Х 2 +8х-28у+44=0. |
8 |
|
9 |
|
10 |
У2=4х. |
Рекомендуемая литература: 1.1, 2.1.