Література: [14, 119-123; 17, 140-145].

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 13

Тема..

Мета: .

13.1 Короткі теоретичні відомості.

13.2 Розв’язування задач.

13.3 Контрольні питання.

13.1 Короткі теоретичні відомості

4.10. Решение задачи трех станков методом динамического программирования

Постановка задачи. Имеется три станка: и n деталей. Для каждой i-й детали задано время ее выполнения на каждом из станков . Все детали обрабатываются в соответствии с единым технологическим маршрутом: сначала, на первом этапе, — на станке , затем — на станке , и на завершающем этапе - на станке . Необходимо определить такую последовательность запуска деталей на обработку, при которой длительность производственного цикла будет минимальна. Решение задачи производится методом доминирования, который представляет собой упрощенное представление метода динамического программирования.

Определение1. Порфириамом для п чисел называется дерево, содержащее уровней: на верхнем уровне этого дерева находится фиктивная нулевая вершина. На первом уровне размещаются вершины, соответствующие числам от единицы до n. На втором уровне с i-й вершиной первого уровня соединены вершин, имеющих номера от единицы до n за исключением i-го номера. Каждый из путей порфириана соответствует одной из возможных перестановок. Пример фрагмента порфириана для приведен на рис. 4.14.

Концепция метода доминирования состоит в том, что на промежуточных этапах определяются фрагменты порфириана, которые являются перспективными. Неперспективные ветви отбрасываются, и дальнейшее конструирование осуществляется только для перспективных ветвей. Для реализации этой концепции необходимо определить два понятия: сравнимость фрагментов и перспективность фрагментов.

Вводится обозначение - i-й фрагмент перестановки (порфирнана) длиной k из n чисел:

Определение 2. Два фрагмента одинаковой длины и являются сравнимыми, если они содержат одинаковый набор чисел, расположенных в различной последовательности.

Для сравнимыми являются следующие фрагменты:

Определение 3. Пусть известно два сравнимых фрагмента: и.Тогда для задачи трех станков фрагмент является перспективным по отношению к фрагменту если одновременно выполняются следующие условия:

где и представляют собой времена окончания обработки последней й детали фрагмента соответственно на втором и третьем станках. Аналогично определяются и правые части неравенств.

Реализация алгоритма доминирования состоит в формировании групп, содержащих сравнимые между собой фрагменты, вычислении значений С и В для каждого из фрагментов и выборе в качестве перспективного - фрагмента, имеющего минимальные значения В и С в каждой из групп.

Замечание. Если в каждой группе отсутствует фрагмент, имеющий наименьшие значения B и С, то в качестве перспективных выбираются несколько фрагментов.

Алгоритм доминирования включает выполнение следующих шагов:

Шаг 1. Конструируются фрагменты длиной, равной единице. Из этих фрагментов не могут быть созданы группы сравнимых фрагментов. Для каждого из фрагментов вычисляются моменты окончания обработки детали соответственно на станках А, В, и С Результаты представлены в табл. 4.18.

Таблица 4.18.

Результаты выполнения первого шага

	A	B	C
<1> <2> …. <n>	A(<1>) A(<2>) … A<n>	B(<1>) B(<2>) … B<n>	C(<1>) C(<2>) … C<n>

Для определения моментов времени A, B и С используются следующие выражения:

Шаг 2. Формируются фрагменты длиной, равной двум, и при занесении этих фрагментов в таблицу производится их объединение в сравнимые группы. Результаты представляются в виде табл. 4.19.

Таблица 4.19. Результаты выполнения второго шага

	A	B	C	Признак оптимальности
Группа1 <1,2> <2,1>	A(<1,2>) A(<2,1>)	B(<1,2>) B(<2,1>)	C(<1,2>) C(<2,1>)	*
Группа2 <1,3> <3,1>	A(<1,3>) A(<3,1>)	B(<1,2>) B(<2,1>)	C(<1,2>) C(<2,1>)	* *

Определение моментов времени A,B, и С производится в соответствии со следующими выражениями:

В последнем столбце символом звездочка * отмечаются перспективные фрагменты в каждой из групп. В частности, во второй группе (табл. 4.19) оба фрагмента <1,3> и <3,1> отмечены как перспективные.

Шаг 3. Формируются фрагменты длиной, равной трем. Первые две позиции соответствуют перспективному фрагменту предыдущего этапа, т.е.

Аналогично формируются группы сравнимых фрагментов длиной, равной трем. Для них вычисляются значения А, B, С, и в каждой группе находится перспективный фрагмент, который используется на последующих этапах. Результаты выполнения третьего шага представлены в табл. 4.20.

Таблица 4.20 Результаты выполнения третьего шага

	A	B	C	Признак оптимальности
Группа1 <2,1,3> <1,3,2> <3,1,2>	A(<2,1,3>) A(<1,3,2>) A(<3,1,2>)	B(<2,1,3>) B(<1,3,2>) B(<3,1,2>)	C(<2,1,3>) C(<1,3,2>) C(<3,1,2>)	*
Группа2 <1,3> <3,1>	A(<1,3>) A(<3,1>)	B(<1,2>) B(<2,1>)	C(<1,2>) C(<2,1>)	* *

При формировании первой группы учитывается, что на предыдущем этапе в качестве перспективных были выбраны фрагменты <2,1>, <1,3>, <3,1>. Определение моментов окончания обработки A, В и С производится в соответствии со следующими выражениями:

Выполнение алгоритма прекращается при достижении длины фрагмента, равной n.