- •5.1 Парна регресія
- •Лабораторна робота №2
- •Далі визначаємо мультиколінеарні фактори.
- •5. Визначимо мультиколінеарні пари факторів із використанням t-статистики (критерію Стьюдента).
- •11. Переходимо від стандартизованої моделі до нормалізованого вигляду: (5.20)
- •Гармонійний аналіз тимчасового ряду
- •Лабораторна робота №4 Система одночасних регресій
Гармонійний аналіз тимчасового ряду
1. Для визначення вигляду залежності будуємо кореляційне поле тимчасового ряду, тобто наносимо на площину TOY графік функції Y = f(T) (рис. 5.2). Вигляді поля показує, що зі збільшенням T значення Y, в основному, зменшується. Тому за модель залежності може бути прийнята гіперболічна крива
2. Приведемо модель до лінійного вигляду шляхом заміни Z=1/T.
Тоді відповідно до МНК для лінійної залежності Y=a+bZ оцінки параметрів рівняння визначаються за формулами:
; (5.22)
(5,23)
де n - обсяг вибірки (n=12);
- середні арифметичні відповідних значень.
Для розрахунку параметрів знаходимо проміжні значення: вибіркові середні вибіркові дисперсії, середні квадратичні відхилення, парний коефіцієнт кореляції.
У даному випадку одержимо наступні значення:
|
50,32 |
7,09 |
0,07 |
0,26 |
8,8 |
0,26 |
2,25 |
25,32 |
У результаті гіперболічна залежність набуде вигляду:
+ / T.
3. Перевіримо отриману модель на адекватність статистичним даним. Для цього оцінимо параметр рівняння на значимість відмінності від нуля за критерієм Стьюдента. Розрахункове значення критерію визначимо за формулою:
, (5.24)
де . (5.25)
Дисперсія залишків S2зал. визначається за формулою:
(5.26 )
Табличне значення знаходимо за таблицею t-розподілу для імовірності =0,05 і числа ступенів свободи k = n-2 = 12-2 = 10.
У даному випадку одержимо наступні значення:
tb |
t кр=t(0,05; 10) | |||
|
|
|
|
|
Якщо розрахункове значення критерію Стьюдента більше табличного, то параметр суттєво відрізняється від нуля.
Адекватність моделі визначимо за критерієм Фішера.
Розрахункове значення критерію можна обчислити за формулою:
, (5.27)
де R - коефіцієнт кореляції, обумовлений за формулою:
. (5.28 )
Табличне значення знаходимо за таблицею F-розподілу для імовірності = 0,05 і числа ступенів свободи k1 = m = 2 і k2 = n-m = 12-2 = 10.
У даному випадку одержимо наступні значення:
-
R2
Fp
Якщо розрахункове значення критерію Фішера більше табличного, то обрану модель можна вважати адекватною.
4. Для перевірки слушності моделі визначимо наявність автокореляції в залишках із використанням критерію фон Неймана.
Розрахункове значення критерію визначається за формулою:
, (5.29)
де Хt - значення залишків, тобто .
Для рівня значущості α=0,05 і об'єму вибірки n=12 знаходимо за таблицею критичні значення для критерію фон Неймана QL=1,22 і QU=3,49.
У нашому випадку, оскільки Qр < QL, то автокореляція залишків є.
Отже, остаточна модель набуде вигляду:
+ / T
і адекватна вихідним даним з імовірністю Р=0,95.
5. Наявність автокореляції залишків говорить про те, що в залишках є невиявлена залежність. Оскільки на графіку, додаток С4, рис.5.3, значні коливання, причому різної амплітуди, то невиявлена залежність періодична. Загальне рівняння має вигляд:
Р1(t) = А0+А1* cos (Пt/6)+В1 *sin (Пt/6)+А2*cos (Пt/3)+ В2 *sin (Пt/3)
Знаходимо коефіцієнти гармонічних коливань за формулами:
;
; ;
; . (5.30)
Отримуємо:
А0 |
А1 |
В1 |
А2 |
В2 |
0 |
|
|
|
|
|
гармоніка 1 |
гармоніка 2 |
6. Для перевірки значущості впливу гармонічних коливань знаходимо квадрати їх амплітуд R12 та R22:
для гармоніки 1 R12=A12+B12; для гармоніки 2 R22=A22+B22.
Потім обчислимо розрахункові значення критерію Фішера за формулами:
, (5.31)
. (5.32)
F критичне знаходимо, використовуючи вбудовану статистичну функцію FРАСПОБР(0,05;10;2).
Оскильки F1та F2< Fкр, то вплив гармонік значущий і вони включаються в залежність.
R12 |
R22 |
F1= |
|
- значуще |
|
|
F2= |
|
- значуще |
|
|
Fкр= |
|
|
Підставляємо розраховані дані у початкове рівняння:
P1(t)= cos(Pi/6*t)+ sin(Pi/6*t) + cos(Pi/3*t) + sin(Pi/6*t)
та формуємо рівняння тренду с періодичною складовою:
У= + /Т+ cos(Pi/6*t) )+ sin(Pi/6*t) + cos(Pi/3*t) +
+ sin(Pi/6*t)
7. Перевірка адекватності отриманої моделі здійснюється з використанням розрахункового значення критерію Фішера за формулою:
, (5.33)
де залишкова дисперсія знаходиться за формулою
(5.34)
F критичне знаходимо, використовуючи вбудовану статистичну функцію FРАСПОБР(0,05;11;6).
S2зал |
Fроз |
Fкр |
|
|
|
- модель адекватна |
|
Якщо розрахункове значення критерію Фішера більше табличного, то отримана залежність адекватна експериментальним даним.