Раздел 4. Уравнения математической физики

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика ч.1 (УМК 7,8).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

k!Γ(ν +k +1)

Раздел содержит следующие темы:

4.1.Вывод основных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка.

4.2.Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка. Краевые задачи.

4.3.Уравнение Лапласа.

4.4.Метод Фурье для решения волнового уравнения и уравнения теплопроводности.

4.5.Функции Бесселя.

4.6.Интегральные уравнения. Их классификация, методы решения.

4.7.Решение задачи Коши для волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Обобщенные функции.

По каждой теме излагается основной теоретический материал и

приводятся иллюстрирующие его примеры. В рубрике «решение задач» дан подробный разбор типовых примеров.

После изучения данных материалов Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тест №4. Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [2] или к глоссарию – краткому словарю основных терминов иположений.

Cтудентамочно-заочной и заочной форм обучениянадо решитьодну задачу изконтрольнойработы№7 под№91-100 всоответствиисосвоимвариантом.

4.1.Вывод основных дифференциальных уравнений

вчастных производных 2-го порядка

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

•Вывод уравнения малых колебаний струны.

•Уравнения теплопроводности и диффузии.

•Уравнения электромагнитного поля.

После изучения данных вопросов в опорном конспекте Вам следует ответить на вопросы для самопроверки. Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [3] или к глоссарию.

Вывод уравнения малых колебаний струны

Начнем с рассмотрения одной из физических задач, приводящих к уравнению математической физики: задачи о малых колебаниях струны.

Будем считать, что струна - тонкая упругая нить имеет конечную длину l

и в состоянии равновесия совпадает с отрезком [0,l]			оси Ox . В точках x = 0 и
x = l струну закрепим	так, чтобы она	находилась	под действием	сильного
натяжения T0 . Если	вывести струну	из состояния равновесия,		а потом
	95

отпустить, то струна начнет колебаться. Будем рассматривать:

1)плоскиеколебания, т.е. предположим, чтострунаколеблетсяводнойплоскости;

2)поперечные колебания, т.е. предположим, что точка с абсциссой x перемещается перпендикулярно к оси;

3)малые колебания струны, которая может свободно изгибаться.

Тогда колебания струны будут полностью описываться функцией u (x,t ),

представляющей собой отклонение от оси Ox точки с абсциссой x в момент времени t . Зафиксировав t , мы получим форму струны в момент времени t , т.е. мгновенный профиль струны. Зафиксировав же x , мы получим функцию от t , описывающую отклонение от оси Ox точки с фиксированной абсциссой x в разные моменты времени.

Отсутствие сопротивления изгибу математически выражается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю.

Будем иметь дело с малыми колебаниями, следовательно, острый угол ϕ, образованный касательной к мгновенному профилю струны с осью Ox , настолько мал, что можно пренебречь квадратом его тангенса по сравнению с

единицей, т.е. 1 + tg2ϕ ≈1 в любой момент времени. Согласно геометрическому смыслу производной tgϕ = ∂∂ux , и малость колебаний означает, что

						∂u	2	≈ 1.
				1 +				≈ 1.
						∂x
Наша задача состоит в том, чтобы найти функцию u(x,t) , полностью
описывающую		колебания				u				T0
струны. Для этого составим								M ′
уравнение,			которому					M ′	ϕ + ϕ
удовлетворяет			функция			M
u (x,t ).						ϕ				x
Выделим	малый		элемент							x
MM ' струны,		занимавший в		T0	O		x	x + x		ℓ
состоянии		равновесия			O			x + x		ℓ
положение	[x, x +		x], и							Рис. 4.1
положение	[x, x +		x], и

применим к этому элементу принцип Даламбера (рис. 4.1). Согласно принципу Даламбера, все силы, действующие на элемент MM ' струны, должны уравновешиваться. Посмотрим, что представляют собой эти силы.

Во-первых, на элемент MM ' действуют силы натяжения T0 , приложенные на

его концах в точках M и M ' и направленные по касательным, так как струна может свободно изгибаться. Обозначим острый угол, который касательная в точке M образует с осью Ox , через ϕ , а острый угол, который образует с

осью Ox касательная в точке M ' - через ϕ + Δϕ . Тогда проекция сил на ось

Ou будет равна

T0 sin(ϕ+ ϕ) −T0 sin ϕ.

Здесь

tgϕ

sin ϕ =

≈ tgϕ,

1 + tg2ϕ

так как мы рассматриваем малые колебания струны, следовательно,

T sin(ϕ +

ϕ) −T sin ϕ ≈ T

[tg(ϕ +

ϕ) − tgϕ]= T

∂u

(x +

x,t )

−

∂u (x,t )

∂x

∂∂ux ,

Разность, стоящая в квадратных скобках, выражает приращение функции

вызванное приращением аргумента x на x.

Заменяя это приращение дифференциалом, получаем

∂u(x + x,t)

−

∂u(x,t)

≈

∂2u(x,t)

∂x

∂x2

∂2u (x,t )

в предположении,

что частная

производная

существует

∂x2

непрерывна. Таким образом,

∂2u(x,t)

T sin(ϕ+

ϕ) −T sin ϕ≈T

∂x2

С другой стороны, на элемент MM ' действует сила инерции. По

определению, сила инерции равна произведению массы элемента MM '

на его

ускорение, взятому с противоположным знаком. Предположим, что струна

однородна и имеет линейную плотность ρ , т.е. ρ - это масса единицы длины
струны. Длину элемента MM ' приближенно можно считать равной x , т.к.,
	∂u 2
пренебрегая величиной	по сравнению с единицей, мы будем иметь
	∂x

				x+ x			∂u 2		x+ x
			MM '	= ∫	1 +			dx ≈ ∫ 1 dx = x.
				x			∂x		x
				x					x
Следовательно,	масса элемента				MM '			приближенно равна ρ x . Скорость
точки М это ∂u , а ускорение					∂2u
точки М это ∂u , а ускорение					∂t	2 . Поэтому сила инерции элемента MM '
∂t					∂t
будет равна −ρ	x	∂2u (в предположении, что							∂2u существует).
		∂t2							∂t2

Так как, согласно принципу Даламбера, все силы, действующие на участок MM ' струны, должны уравновешиваться, то

T x ∂2u(x,t)		−ρ x ∂2u(x,t) =0.
0	∂x2	∂t2
	∂x2	∂t2		T0
Разделив последнее равенство на		ρ x и положив	a 2 =	T0	, мы получим
Разделив последнее равенство на		ρ x и положив	a 2 =	ρ	, мы получим
				ρ

уравнение свободных колебаний струны или одномерное волновое уравнение

∂2u = a2 ∂2u . ∂t2 ∂x2

Как и вообще в динамике, одного уравнения движения недостаточно для полного определения движения струны; нужно еще задать ее состояние в начальный момент t = 0 , т.е. надо задать положение точек струны и их скорость

∂∂ut при t = 0 как известные функции х :
u	t=0	=ϕ(x), ∂u	= Ψ(x).


		∂t	t=0

Условия, которым искомая функция должна удовлетворять при t = 0 , называются начальными условиями. Так как струна закреплена в точках x = 0 и x = l , то отклонение от оси абсцисс в этих точках в любой момент времени равно нулю и, следовательно,

u(0,t) = 0, u(l,t) = 0.

Последние выражения называются краевыми или граничными условиями. Нас интересует нахождение именно того решения, которое удовлетворяет

поставленным начальным и граничным условиям.

Теоретически можно рассматривать и бесконечную струну. В этом случае для нахождения решения достаточно уравнения и начальных условий,

причем функции ϕ(x) иΨ(x) должны быть заданы на всей оси (−∞, +∞). Задача по нахождению решения уравнения

	∂2u		=a	2 ∂2u	, −∞< x <+∞, t >0
	∂t2		=a	∂x2	, −∞< x <+∞, t >0
	∂t2			∂x2
при начальных условиях
u	t=0	=ϕ(x), ∂u			=Ψ(x), −∞< x <+∞


				∂t	t=0

называется задачей Коши для одномерного волнового уравнения.

Оказывается, что волновое уравнение возникает при решении и многих других физических задач. Обратимся, например, к задаче о продольных

колебаниях однородного стержня
(рис. 4.2). Ось Ox направим по			x
оси стержня и предположим, что
оси стержня и предположим, что
в состоянии равновесия стержень	0		ℓ
в состоянии равновесия стержень	0		ℓ
совпадает с отрезком [0,l] оси		Рис. 4.2

Ox . Будем процесс продольных колебаний описывать функцией u (x, t ),

представляющей собой смещение точки, имевшей в положении равновесия абсциссу x , в момент времени t. При продольных колебаниях это смещение происходит вдоль стержня. Тогда можно показать, что функция u (x, t )

удовлетворяет волновому уравнению, где a2 = ρk , k - модуль Юнга, а ρ -

плотность стержня.

Волновое уравнение возникает также в задаче об электрических колебаниях в проводах. Именно, пусть электрический ток проходит по проводу, совпадающему с осью Ox , a v (x, t ) - напряжение в точке с

абсциссой х в момент времени t. Обозначим через R и L сопротивление и коэффициент самоиндукции, а через C и G - коэффициенты емкости и утечки,

рассчитанные на единицу длины. Если коэффициенты R,L,C,G -

постоянные, потерями через изоляцию можно пренебречь, а сопротивление

очень мало, то

функция v (x, t ) удовлетворяет волновому

уравнению,

где

a2 =

Уравнения теплопроводности и диффузии

Введем еще

одно очень

важное

уравнение

ℓ

математической

физики

x + x

уравнение

распространения

Рис. 4.3

тепла в стержне.

Рассмотрим однородный, теплоизолированный с боков, стержень конечной длины l, имеющий постоянную по длине толщину (рис. 4.3). Предположим, что он настолько тонок, что в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно считать одинаковой. Ось Ox направим по оси стержня, предположив, что стержень совпадает с отрезком [0, l] оси. Температуру стержня в сечении с абсциссой х в момент времени t обозначим через u(x,t) и выведем уравнение, которому должна

удовлетворять функция u(x,t).

Вспомним физические закономерности, связанные с распространением тепла. Если температура тела неравномерна, то в нем возникают тепловые потоки, направленные из участков с более высокой температурой в участки с более низкой температурой. При этом количество тепла, протекающее через сечение с абсциссой х за промежуток времени (t, t + t ) равно

t+	t ∂u(x,t)
−kS ∫	∂x	dt .
t

Здесь k - коэффициент теплопроводности, а S - площадь поперечного сечения стержня.

Другая физическая закономерность состоит в следующем. Количество тепла Q, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его

температуру во всех точках на одну	и	ту же	величину	u ,	равно
Q=cm u =cρV u. Здесь с -удельная теплоемкость,			m - масса тела, ρ		- его
плотность, V -объем. Если изменение температуры имеет различную величину
на разных участках стержня, то
x2
Q = cρS ∫	udx.
x1
Уравнение теплопроводности получается при подсчете баланса тепла в
элементе стержня за промежуток времени (t, t +		t ).

Итак, рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х и х+ х. Применяя закон сохранения энергии, мы можем написать равенство

kSt+ t ∂u(x + x,t)		−	∂u(x,t) dt = cρS x+ x		u(x,t +	t)−u(x,t) dx,
∫	∂x		∂x	∫
t	∂x		∂x	x

которое и представляет собой уравнение теплопроводности в интегральной

форме.

Чтобы получить уравнение теплопроводности в дифференциальной форме, предположим, что функция u(x,t) дважды непрерывно

дифференцируема по x и имеет первую непрерывную производную по t. Пользуясь теоремой о среднем и сокращая обе части равенства на S, получаем

k	∂u(x + x,t +θ1	t)	− ∂u(x,t +θ1	t)	t = c ρ u(x +θ x,t + t)−u(x +θ x,t)			x,
k			− ∂u(x,t +θ1		t = c ρ u(x +θ x,t + t)−u(x +θ x,t)			x,
	∂x		∂x			2	2
	∂x		∂x

0 < θ1 <1, 0 < θ2 <1.

По формуле конечных приращений Лагранжа

∂u(x + x,t +θ t)

∂u(x,t +θ t)

∂2u(x +θ x,t +θ t)

−

0 <θ <1,

∂x

∂x2

u(x + θ2 x,t + t)−u(x + θ2 x,t) =

∂u(x + θ2 x,t + θ4

0 < θ4 <1.

∂t

Следовательно,

∂2u(x +θ x,t +θ t)

∂u(x +θ x,t +θ t)

t x

=cρ

t x.

∂x2

∂t

Сократим обе части этого равенства на произведение

t и затем перейдем в

нем к пределу при

x →0,

t →0. Тогда мы получим уравнение

∂2u

=cρ

∂u ,

∂x2

∂t

называемое уравнением теплопроводности в дифференциальной форме.

Как правило, уравнение теплопроводности записывают в виде

∂u	= a	2 ∂2u	, a	2	=	k	,
∂t		∂x2				cρ

где постоянная а2 называется коэффициентом температуропроводности.

Для того чтобы найти закон распределения температуры в стержне, соответствующий данному физическому процессу, надо задать еще начальные и граничные условия.

Начальное условие задает распределение температуры u(x,t) в стержне при t=0

u(x,0) = f (x), 0 < x < l.

Граничные же условия в том частном случае, когда концы стержня поддерживаются при заданных постоянных температурах, имеют вид

u(0,t) = u0 , u(l,t) = u1.

Здесь u0 и u1 - некоторые постоянные.

Не умаляя общности, можно считать, что u0 =0 и u1 =0. Действительно, если u0 и u1 отличны от нуля, то надо перейти от u(x,t) к новой искомой

функции v(x,t) по формуле

v(x,t) = u(x,t) −u0 − u1 −l u0 x.

Тогда при x =0

v(0,t) = u(0,t) −u0 = u0 −u0 = 0,

а при x = l

v(l,t) = u(l,t) −u0 − u1 −l u0 l = u1 −u0 −u1 + u0 = 0,

то есть достаточно уметь решать уравнение теплопроводности при нулевых граничных условиях.

Если рассматривать процесс распространения тепла в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени температурный режим, заданный на границе, в центральной части стержня скажется совсем слабо. Температура в центральной части стержня будет определятся в основном лишь начальным распределением температуры. В задачах подобного типа обычно считают, что стержень имеет бесконечную длину и решают уравнение

∂u = a2 ∂2u ,−∞ < x < +∞, t > 0 ∂t ∂x2

при начальном условии

u(x,0) = f (x), −∞ < x < +∞.

Поставленная задача называется задачей Коши для уравнения

теплопроводности.

Уравнение теплопроводности возникает при решении и других

100

физических задач. Например, если среда неравномерно заполнена газом, то имеет место диффузия его из мест с более высокой концентрацией в места с меньшей концентрацией. Это же явление имеет место и в растворах, если концентрация растворенного вещества в объеме не постоянна.

Рассмотрим процесс диффузии в полой трубке или в трубке, заполненной пористой средой, предполагая, что в любой момент времени концентрация газа (раствора) по сечению трубки одинакова. Тогда процесс диффузии может быть описан функцией u(x,t), представляющей собой концентрацию в сечении х в

момент t.

Если в трубке нет источников вещества, и диффузия через стенки трубки отсутствует, то можно показать, что функция u(x,t) также удовлетворяет

уравнению теплопроводности, где a2 = CD , D - коэффициент диффузии, а C -

коэффициент пористости, которые считаются постоянными (коэффициентом пористости называется отношение объема пор к полному объему вещества).

Уравнения электромагнитного поля

Между электрическим и магнитным полями существует глубокая внутренняя связь, проявляющаяся в том, что поля могут превращаться друг в друга. Всякое изменение магнитного поля всегда сопровождается появлением электрического поля и, наоборот, всякое изменение электрического поля приводит к появлению магнитного поля. Это взаимное превращение электрического и магнитного полей было открыто в начале второй половины прошлого века Максвеллом, который развил общую теорию электромагнитного поля в покоящихся средах.

Пусть в некоторой среде имеется переменное электромагнитное поле с током проводимости I (x, y, z,t) = (Ix , Iy , Iz ) и плотностью зарядов ρ(x, y,z).

Обозначим напряженность электрического поля E(x, y, z,t) =(Ex, Ey , Ez ),

напряженность магнитного поля H(x, y, z,t) =(Hx, Hy, Hz ), диэлектрическую постоянную среды ε, коэффициент магнитной проницаемости μ . Тогда эти

величины удовлетворяют линейной системе дифференциальных уравнений,

называемых уравнениями Максвелла:

div(εE)= 4πρ, div(μH )=0,

rotE = −

1 ∂(

μH )

∂t

rotH =

1 ∂

(εE)

4π

I ,

∂t

где c = 3 108 м/с - скорость света.

101

Рассмотрим частные случаи уравнений Максвелла. 1) Пусть ρ(x, y,z) =0, а εи μ - постоянные.

Преобразуя уравнения Максвелла и вспоминая закон Ома I = λE, где λ -

постоянная проводимость среды, для компонент векторов E и H имеем так называемое телеграфное уравнение

∂2 E

= −

4πλ ∂E

∂t

∂x

∂y

∂z

ε ∂t

με

∂2 H

∂

2 H

= −

4πλ ∂H

∂t

∂x

∂y

∂z

ε ∂t

με

В случае, если среда является диэлектриком ток I

= 0 или λ =0, мы

получаем трехмерное волновое уравнение как для вектора E , так и для H:

∂

-a2

∂

+ ∂

= 0,

∂t

∂x

∂y

∂z

∂

H -a2

∂

H +

∂

где a =

= 0,

∂t

∂x

∂y

∂z

εμ

2) Если процесс не зависит от времени, т.е. является стационарным, то уравнения Максвелла превращаются в уравнения электростатики

div(εE)= 4πρ,

rotE =0

и в уравнения магнитостатики

4π

div(μH )= 0,

rotH =

I .

Поскольку rot E =0,

то

электрическое

поле является

безвихревым

или

потенциальным, т.е. существует такая скалярная

функция

ϕ(x, y, z ),

для

которой E =gradϕ.

Отсюда, на основании уравнений электростатики

при ε = const

заключаем, что

div

(

ε gradϕ

)

= εdiv

(

gradϕ

)

∂2ϕ

∂2

= 4πρ

= ε

∂x

∂y

∂z

или потенциал стационарного электрического поля удовлетворяет уравнению Пуассона.

∂2ϕ	+	∂2ϕ	+	∂2ϕ	=	4πρ	.
∂x2	+	∂y2	+	∂z2	=	ε	.
∂x2		∂y2		∂z2		ε
Его принято сокращенно записывать в форме						ϕ= f ,здесь		f =	4πρ	, а
Его принято сокращенно записывать в форме						ϕ= f ,здесь		f =	ε	, а
									ε

102

оператор	=	∂2	+	∂2	+	∂2	называется трехмерным оператором Лапласа.
		∂x2		∂y2		∂z2

103

Вопросы для самопроверки по теме 4.1

1.Напишите уравнение свободных колебаний струны (одномерное волновое уравнение).

2.Струна закреплена на концах промежутка [0, l]. Как называются условия

в точках x = 0 и x = l U (0, t ) = U (l, t ) = 0 ?

3.Напишите одномерное уравнение теплопроводности.

4.Как называется условие, задающее распределение температуры в начальный момент времени при t = 0 u (x, 0)= f (x), 0 < x < l ?

5.Как называются условия, задающие заданную постоянную температуру на концах стержня u (0, t )= u0 , u (l, t )= u1 ?

4.2. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка. Краевые задачи

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

•Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка.

•Постановка основных краевых задач. Корректность постановки задач. После изучения данных вопросов в опорном конспекте Вам следует

ответить на вопросы для самопроверки. Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [3] или к глоссарию.

Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка

Дифференциальным уравнением в частных производных k-го порядка относительно функции u называется уравнение вида

						∂u		∂u		∂2u		∂k u		∂k u
F x , x			,..., x	n	,		,...,		,	∂x2	,...,	∂xk	,...,	∂xk	= 0,
F x , x			,..., x		,	∂x1	,...,	∂xn	,		,...,		,...,		= 0,
	1	2				∂x1		∂xn
										1		1		n

где k - любое натуральное число, а заданная функция F обязательно содержит хотя бы одну частную производную от неизвестной функции порядка k (остальные аргументы функции F или их часть могут отсутствовать).

Линейное дифференциальное уравнение в частных производных 2-го порядка с неизвестной функцией u (x1, x2 ,..., xn ) в самом общем случае имеет вид

n	∂	2			n	∂u
∑ Aij			u		+ ∑Ai		+ A0u = f ,
	∂x		∂x	j		∂x
i, j =1	i				i=1	i

где Aij , Ai , A0 и f суть заданные функции от x1, x2,..., xn в области Dn . Функция f (x1, x2 ,..., xn ), стоящая в правой части уравнения, называется его свободным

104

членом. Обычно различают уравнения однородные, когда f ≡0, и неоднородные, когда f ≠0 в Dn . Заметим, что всегда можно считать, что

Aij = Aji .

Классификация линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка проводится в зависимости от свойств симметричной матрицы, состоящей из старших коэффициентов Aij данного уравнения.

Напомним, что характеристические числа числовой матрицы

a11	a12	a1n
a	a	a
A = 21	22	2n

	an2
an1	an2	ann

это корни характеристического уравнения

	a11 −λ	a12	a1n
	a11 −λ	a12	a1n
Det (A −λI )= Det	a21	a22 −λ	a2n	= 0,
	an1	an2	ann −λ

причем можно показать, что если матрица А симметричная, то все ее характеристические числа - вещественные.

Выделим три типа уравнений, которые играют в математической физике важную роль:

1. Эллиптическим в точке (x10 , x20 ,..., xn0 ) называется уравнение, если в ней характеристические числа λ1,λ2 ,...,λn матрицы старших коэффициентов Aij ,

i =1,...,n,		j =1,...,n, отличны от нуля и имеют один и тот же знак, т.е. все λi >0
или все λi < 0, i =1,...,n.
	Примером уравнения эллиптического типа является уравнение Лапласа
∂2u	∂2u	∂2u	характеристические числа λ1 = λ2 =... = λn =1.
∂x2	+ ∂x2	+... + ∂x2 = 0. Все	характеристические числа λ1 = λ2 =... = λn =1.
1	2	n
Уравнение Лапласа сокращенно принято записывать:
			u = 0.
2. Гиперболическим в точке			(x10 , x20 ,..., xn0 ) называется уравнение, если в этой

точке все характеристические числа не равны нулю, причем одно из этих чисел отличается по знаку от всех остальных.

Примером уравнения гиперболического типа является волновое уравнение

105

∂2u	n	∂2u	= f (x1,..., xn ),
∂x2	− a2 ∑	∂x2	= f (x1,..., xn ),
1	k =2	k
в нем λ1 = 1, а λ2 = ... = λn = −a 2 .
3. Параболическим в точке	(x10 , x20 ,..., xn0 ) называется уравнение, если в этой

точке матрица старших коэффициентов имеет одно характеристическое число, равное нулю, а все остальные - отличные от нуля.

Пример параболического уравнения - это уравнение теплопроводности

∂u	n	∂2u
	− a2 ∑	∂x2	= f (x1,..., xn ),
∂x	− a2 ∑	∂x2	= f (x1,..., xn ),
1	k =2	k

здесь λ1 = 0, а λ2 = ... = λn = −a2 .

Существуют уравнения, тип которых в различных точках может оказаться различным. Таково, например, уравнение Трикоми

x2 ∂2u + ∂2u = 0.

∂x12 ∂x22

Матрица его старших коэффициентов имеет характеристические числа λ1 = x2, λ2 =1, поэтому при x2 >0 оно эллиптического типа, а при x2 <0 является гиперболическим уравнением.

Постановка основных краевых задач. Корректность постановки задач

В уравнениях, связанных с задачами физики, независимыми переменными часто являются время и пространственные координаты. Обозначения их соответственно: t, x, y, z .

Как отмечалось в предыдущих параграфах, чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Это связано с единственностью решения дифференциального уравнения. Чтобы выделить единственное решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия: начальные и граничные условия. Соответствующая задача называется краевой задачей.

Различают следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений.

1) Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия - значения неизвестной функции u(x, y, z,t ) в

начальный момент времени t0 в области задания, которая совпадает со всем

пространством, граничные условия отсутствуют. Например, а) для волнового уравнения задача Коши ставится следующим образом: найти

106

u( x, y, z, t) t =0

функцию u(x, y, z,t ), удовлетворяющую уравнению

∂

= a2

∂

+ ∂

∂t

∂x

∂y

∂z

в полупространстве t > 0 и начальным условиям:
u(x, y, z,t)		=u (x, y, z), ∂u(x, y, z,t)		=u (x, y, z),


	t=0	0	∂t	1

где функции u0 (x, y, z) и u1 (x, y, z) известны.				t=0

б) для уравнения теплопроводности задача Коши ставится так: найти функцию u(x, y, z,t ), удовлетворяющую уравнению

∂u	= a2 ∂2u	+	∂2u	+	∂2u
∂t	∂x2		∂y2		∂z2

в полупространстве t > 0 и начальному условию:

= u0 ( x, y, z),

где функция u0 (x, y, z) известна.

2) Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе S области Ω - области задания уравнения

∂2u + ∂2u + ∂2u = 0 , ∂x2 ∂y2 ∂z2

начальные условия отсутствуют.

Краевая задача для уравнения состоит в нахождении функции u(x, y, z,t ), удовлетворяющей в области Ω уравнению и граничному условию на S вида

αu +β	∂u	=v,

	∂n	S

где α,β,v - заданные функции от независимых переменных x,y,z, заданные на границе S, причем α≥0,β≥0,α+β>0, n - нормаль к S . Выделяют

следующие виды граничных условий:

Граничные условия I рода (α=1,β=0)

u S = u0 .

Граничные условия II рода (α=0,β=1)

∂∂un S =u1.

Граничное условие III рода ( β =1, α ≥ 0 )

∂∂un +αu S = u2.

Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами I, II и III родов.

107

Для уравнений Пуассона (Лапласа) краевая задача I рода

u = f , u S = u0

называется задачей Дирихле; краевая задача II рода

u = f ,	∂u	=u

	∂n	1
называется задачей Неймана.		S

Если	Ω - неограниченная область, то задаются условия на бесконечности
(r = x2 + y2 + z2 →∞). Таким условием может быть, например, условие вида
u(x, y, z) =ϕ(x, y, z),			r = x2 + y2 + z2 →∞, где ϕ(x, y,z) - заданная функция,
причем ,	lim	u( x, y, z)	= C ,	здесь C – конечное число, в том числе и C = 0 .
		ϕ( x, y, z)
	r →∞

3) Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные, и граничные условия (в том случае, если область задания не совпадает со всем пространством).

Обозначим QT - область изменения независимых переменных t, х, у, z такую, что переменные х, у, z изменяются в области Ω, a t (0,T ), здесь T - конечное

число. Область QT является цилиндром

основанием

Ω и

образующей

параллельной оси O t .

Для волнового уравнения смешанная задача ставится

следующим образом: найти функцию u(x, y, z,t ), удовлетворяющую

уравнению

в области

Q , начальным

условиям u

t=0

=u0,

∂u

=u1 и

∂t

t=0

αu +β∂u

t (0,T ).

граничному

условию

при

любом

При

этом

∂n

необходимо, чтобы было выполнено условие согласованности при t = 0 ,

когда

аргументы x, y, z изменяются на S

αu

+β∂u0

= v.

∂n

Аналогично, для уравнения теплопроводности смешанная задача ставится

так: найти

функцию

u(x, y, z,t ), удовлетворяющую

уравнению

начальному и граничному условиям. Условие согласованности также должно быть выполнено.

При решении краевых задач важную роль играет вопрос о корректности постановки краевой задачи.

Обычно стараются ставить краевые задачи так, чтобы они имели одно и только одно решение. Это требует доказательства в каждом случае теоремы существования и теоремы единственности.

В основе определения физических величин в конечном счете лежит процесс

108

измерения, который всегда связан с некоторой погрешностью. В частности, с погрешностью определяется совокупность данных краевой задачи. Возникает вопрос, как погрешность в данных задачи отразится на ее решении? В связи с этим вопросомдадимследующееопределение.

Краевая задача называется корректной, если существует ее единственное решение и достаточно малому изменению начальных данных соответствует сколь угодно малое изменение решения, т.е. решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т.д.).

Вопросы для самопроверки по теме 4.2

1.Объясните разницу между уравнениями эллиптического и гиперболического типов.

2.Как называются условия, которым должна удовлетворять искомая

функция		в	начальный	момент	времени	при	t = 0
U	t=0 = ϕ(x),	∂U	= ψ(x)?


		∂t

			t=0
			t=0

3.Сформулируйте задачу Коши для одномерного волнового уравнения.

4.Сформулируйте задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности.

5.Чем отличается краевая задача для уравнений эллиптического типа от задачи Коши для уравнений гиперболического и параболического типов, т.е. какие из краевых условий присутствуют, а какие отсутствуют?

6.Продолжитеопределение: «краеваязадачаназываетсякорректной, если…»

4.3. Уравнение Лапласа

При изучении данной темы Вам предстоит познакомиться со следующими вопросами:

•Уравнение Лапласа.

•Гармоническая функция и ее свойства.

•Свойства собственных функций и собственных значений.

Уравнение Лапласа

В приложениях очень часто встречается уравнение Лапласа, которое в случае двух и трех переменных имеет вид

∂2u	+	∂2u	= f (x, y),	∂2u	+	∂2u	+	∂2u	= f (x, y, z),
∂x2		∂y2		∂x2		∂y2		∂z2

109

здесь f (x, y)	или f (x, y, z) - заданные функции. И в том, и в другом случае
его принято сокращенно записывать в форме
	u = f .
Если f ≠0	имеем неоднородное уравнение Лапласа, которое часто
называют уравнением Пуассона. При		f =0 уравнение	называется
однородным уравнением Лапласа.
Пусть	функции u (x, y, z ) и v(x, y, z)	непрерывны вместе	со своими

производными до второго порядка включительно в замкнутой области Ω с

границей S , тогда для функций u (x, y, z ) и v (x,			y, z ) можно вывести формулу
Грина		∂u		∂v
∫∫∫(v u −u			−u
	v)dxdydz = ∫∫ v	∂n		∂n ds .
Ω	S

Гармоническая функция и ее свойства

Гармонической в конечной области Ω называется функция u , если она в этойобласти дваждынепрерывно дифференцируема и удовлетворяет однородному уравнению Лапласа u = 0 . Гармонической в бесконечной области Ω

называется функция u, если она в каждойточке области, находящейся на конечном расстоянии от начала, дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет

уравнению		u = 0 так,	что	для достаточно больших					r =	x2 + y2	или
r =	x2 + y2 + z2 имеет место неравенство
				\| u \|≤		c		,
				\| u \|≤	rm−2			,
					rm−2
где m – размерность пространства.
В	случае	двумерной области		(m =2)			последнее условие			означает,	что
гармоническая функция ограничена на бесконечности.
Свойства гармонических функций:
	1. Если функция		u(x)	гармонична в области Ω					с	границей	S и

u(x) C2 (Ω), то имеет место формула

∫∫S ∂∂un ds =0 .

2. Теорема (теорема о среднем значении).

Если гармоническая функция u (x, y, z ) непрерывна в некотором шаре с центром в точке (x0 , y0 , z0 ) радиуса а вплоть до границы шара-сферы Sa , тогда имеет место формула:

110

u (x0 , y0 , z0 )= 4π1a2 S∫∫a udsa.

Эта теорема утверждает, что значение гармонической функции в некоторой точке (x0 , y0 , z0 ) равно среднему значению функции на сфере Sa .

3. Теорема (принцип максимума).

Гармоническая функция в конечной области достигает своего максимального и минимального значения на границе области.

Докажем единственность решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона. Предположим, что задача Дирихле в области Ω с границей S

u = f , u S = ϕ

имеет два различных решения u1 и u2 . Тогда разность w = u1 −u2 гармонична в

области Ω и обращается в нуль на ее границе. Если область Ω ограничена, можно непосредственно применить теорему о максимуме и минимуме. Внутри области Ω гармоническая функция w не может иметь значений ни больших, ни меньших своего граничного значения, равного нулю. Поэтому она равна

нулю и всюду внутри области, т.е. функции u1 и u2 внутри рассматриваемой

области совпадают.

Так же просто доказывается непрерывная зависимость решения рассматриваемой задачи Дирихле от граничного условия. Пусть u1 и u2 -

решения двух задач Дирихле для одной и той же области, граничные значения которых различаются не более чем на величину σ. При этом функция

w = u1 −u2 гармонична, а в точках границы области отличается от нуля не более, чем на σ. Если область Ω ограничена, то в силу теоремы о максимуме и минимуме функция u1 −u2 не может отличаться от нуля больше, чем на σ и в любой точке внутри области. Следовательно, во всей области | u1 −u2 |≤ σ, из чего и вытекает требуемое утверждение.

Свойства собственных функций и собственных значений

Задача на собственные значения для оператора Лапласа состоит в нахождении

тех числовых значений λ , для которых	уравнение	u = λu в области Ω имеет
ненулевые решения u(x, y,z). Ненулевые	решения u	называются собственными

функциями оператора Лапласа, соответствующими этому собственному значению

λ .		λ1,λ2,...,λm,...
Все собственные значения		λ1,λ2,...,λm,...	для	оператора		Лапласа
неотрицательны и их	можно перенумеровать		в	порядке	возрастания
0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤... ≤ λm ≤...,	lim λm = +∞.
	m→+∞
Если одному собственному значению λm			соответствует			несколько
линейно-независимых	собственных	функций,	например		k	функций

111

um,um+1,...,um+k−1 , то число k будем называть кратностью корня λm . Каждое

собственное значение имеет конечную кратность.

Можно показать, что все собственные функции для оператора Лапласа определены с точностью до постоянного множителя ( cum = λcum ) и их всегда

можно нормировать, разделив на постоянную ∫∫∫um2 dxdydz. Таким образом, все

собственные функции для оператора Лапласа			ортонормированы и можно
записать общее соотношение	0,	если	l ≠ m,

∫∫∫umuldxdydz =		если	l = m.
Ω	1,

Любая функция f (x, y, z) из области определения оператора разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям оператора Лапласа u1,u2,...,un,...

∞

f (x, y, z) = ∑cnun (x, y, z),

n=1

где c n - коэффициенты ряда Фурье,

cn = ∫∫∫ f (x, y, z)un(x, y, z)dxdydz.

Вопросы для самопроверки по теме 4.3

1.Напишите уравнение Лапласа в случае двух и трех переменных.

2.Дайте определение гармонической функции в ограниченной области.

3.Сформулируйте теорему - принцип максимума для гармонической функции.

4. Продолжите определение «ненулевые решения u (x, y, z ) уравнения u = λu называются …»

5.Верно ли, что все собственные функции для оператора Лапласа ортонормированны.

4.4.Метод Фурье для решения волнового уравнения

иуравнения теплопроводности

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

•Метод Фурье для решения уравнения колебаний струны конечных размеров.

•Метод Фурье для решения задачи о распространении тепла в ограниченном стержне.

После изучения данных вопросов в опорном конспекте Вам следует ответить на

112

вопросы для самопроверки. Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [3] или к глоссарию.

Метод Фурье для решения уравнения колебаний струны конечных размеров

Рассмотрим задачу о колебаниях ограниченной струны 0 < x < l , закрепленной на концах. Эта задача сводится к нахождению решения одномерного волнового уравнения

		∂2u		=a	2 ∂2u	, 0 < x <l, t >0
		∂t2		=a	∂x2	, 0 < x <l, t >0
при начальных условиях		∂t2			∂x2
при начальных условиях			=ϕ(x), ∂u
u	t	=0					= Ψ(x), 0 < x <l


и краевых условиях					∂t		t=0



			u(0,t) = 0,			u(l,t) = 0, t ≥ 0.
			u(0,t) = 0,			u(l,t) = 0, t ≥ 0.

Основная идея метода Фурье, который используется для решения поставленной задачи состоит в следующем. Так как волновое уравнение линейно и однородно, то сумма частных решений уравнения также является решением этого уравнения. Поэтому, имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение задачи.

Для нахождения частных решений поставим вспомогательную задачу. Найти решения волнового уравнения, не равные тождественно нулю, удовлетворяющие однородным краевым условиям и представимые в виде произведения X (x)T (t), где X (x) - функция только переменной x , a T (t) -

функция только переменной t. Подставляя произведение X (x)T (t) в волновое уравнение, получаем

XT′′ = a2TX ′′

или, после деления на a2TX

1 T ′′ = X ′′. a2 T X

Чтобы функция X (x)T (t) была решением уравнения, последнее равенство

должно удовлетворяться для всех значений 0 < x < l и t > 0 . Правая часть является функцией только от переменной х, а левая - функцией только от t.

Равенство же	между			ними при			всех 0 < x < l и t > 0 возможно лишь при
условии, что	X ′′	и	1 T′′			равны	одной и той же постоянной, которую мы
	X		a2		T

обозначим через −λ . Равенство распадается при этом на два уравнения:

′′		λT (t) = 0.
X (x) +λX(x) =0, T ′′(t) + a		λT (t) = 0.
	2

Краевые условия, в свою очередь, дают

113

	u(0, t) = X (0)T (t) = 0,		u(l, t) = X (l)T (t) = 0.
Отсюда следует,	что функция	X (x) должна удовлетворять дополнительным
условиям		X(0) =X(l) =0,
		X(0) =X(l) =0,
так как иначе имели бы T(t) ≡0.
Те значения	параметра	λ , при	которых существуют отличные от

тождественного нуля решения уравнения X ''(x ) = −λX (x ), удовлетворяющие краевым условиям, называются собственными значениями задачи, а соответствующие им функции X (x) - собственными функциями. Задачу же

по нахождению собственных функций и собственных значений называют

задачей Штурма-Лиувилля.

При λ≤0, как нетрудно убедиться, собственных значений нет. При λ > 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

X (x) = C1 cos λx + C2 sin λx,

а граничные условия дают

X (0) = C1 = 0,	X (l) = C2 sin λl = 0.
Если X(x) ≠0 тождественно, то C2 ≠ 0, поэтому sin λl = 0 или
nπ 2			n =1, 2,....
λ = λn =		,

	l
Подставив λ = λn в уравнение	для		T (t ), найдем общее решение этого

уравнения

T	(t) = A	cos	nπat	+ B	sin	nπat	,

n	n		l	n		l

где An,Bn - произвольные постоянные.

Итак, решения вспомогательной задачи получены. Решения волнового уравнения, не равные тождественно нулю, удовлетворяющие однородным краевым условиям и представимые в виде произведения X (x)T (t) имеют вид:

un ( x, t) = X n ( x)Tn (t) = An cos nπlat + Bn sin nπlat sin nπl x .

Решение задачи о колебаниях струны в общем случае будем искать в виде:

u(x,t) = ∑∞ un (x,t) = ∑∞ An cos nπlat + Bn sin nπlat sin nπl x .

n=1 n=1

Что же касается постоянных An и Bn, то мы подберем их таким образом, чтобы удовлетворить начальным условиям

∞

nπx

∂u

∞

nπa

nπx

t=0

= ∑An sin

=ϕ(x),

= ∑Bn

sin

= Ψ(x).

∂t

n=1

t=0 n=1

114

Написанные ряды

представляет

собой разложение

заданных функций

ϕ(x) иΨ(x) в ряды Фурье по синусам в промежутке (0,l ). Следовательно,

2 l

nπz

A =

∫

ϕ( z)sin

dz,

∫

Ψ( z) sin

dz.

nπa

Подставляя эти значения в формулу для решения задачи, получим ряд, формально удовлетворяющий всем поставленным требованиям, т.е. волновому уравнению, краевым условиям и начальным условиям.

Обратимся к физической интерпретации полученного решения. Функцию

un (x,t)

можно представить в виде

( x, t) =

cos

nπat

+ B

sin

nπat

sin

nπx

= a

cos

nπa

(t + δ

)sin

nπx

где

nπa

+ B2 ,

= −arctg

т.е. каждая точка струны x0 совершает гармонические колебания

un (x0 ,t) = an cos

nπa

(t + δn )sin

nπx0

с амплитудой an sin

Движение струны такого рода называется стоячей

nπx0

волной. Точки

x = m

(m =1, 2,..., n −1),

в которых

sin

= 0,

в течение всего

процесса остаются неподвижными

называются

узлами

стоячей волны

un(x,t).

Точки

x =

2m +1

l (m = 0,1,..., n −1),

в которых

sin

nπ

x = ±1, совершают

колебания с максимальной амплитудой an и называются пучностями стоячей

волны.

Профиль стоячей волны в любой момент времени представляет собой синусоиду

un (x,t) = Cn (t)sin	nπx	,
	l

где

Cn (t) = an cosωn (t + δn ), ωn = nπl a .

В момент времени t, при котором cos ωn (t + δn ) = ±1, отклонения достигают максимальных значений, а скорость движения равна нулю. В момент времени t,

при которых cos ωn (t + δn ) = 0, отклонение равно нулю,									а скорость движения
максимальна.				Частоты				колебаний всех точек струны	одинаковы	и равны
ω =	nπa	=	nπ		T0	.	Они	называются собственными частотами		колебаний

n	l		l		ρ

115

струны.

Колебания струны воспринимаются нами обычно по звуку, издаваемому струной. Можно сказать, что звук струны является наложением "простых тонов", соответствующих стоячим волнам, на которые разлагается колебание. Выделение простых тонов можно произвести и экспериментально с помощью резонаторов.

Высота тона зависит от частоты колебаний, соответствующей этому тону. Сила тона определяется его энергией и, следовательно, его амплитудой

an sin nπlx0 . Самый низкий тон, который может издавать струна, определяется

π	T0
самой низкой собственной частотой ω1 = l		и называется основным тоном
самой низкой собственной частотой ω1 = l	ρ	и называется основным тоном

струны. Остальные тоны, соответствующие частотам, кратным ω1, называются

обертонами. Тембр звука зависит от присутствия наряду с основным тоном обертонов и от распределения энергии по гармоникам.

Метод Фурье для решения задачи о распространении тепла в ограниченном стержне

Метод Фурье может быть использован и при решении многих других задач математической физики. Сейчас мы решим этим методом задачу о распространении тепла в ограниченном стержне, концы которого поддерживаются при заданных постоянных (вообще говоря, отличных от нуля) температурах. При этом меняется и начальное условие.

Математическая постановка задачи: найти решение уравнения теплопроводности

∂u =a2 ∂2u , 0 < x <l, t >0 , ∂t ∂x2

при краевых условиях

u(0,t) =u(l,t) =0, t ≥0

и начальном условии

u(x,0) = f (x).

Начнем с вспомогательной задачи: найти решения уравнения теплопроводности, не равные тождественно нулю, удовлетворяющие однородным краевым условиям и представимые в виде произведения X (x)T (t),

где X (x) - функция только переменного x , а T (t) - функция только переменного t.

Подставляя произведение X (x)T (t) в уравнение теплопроводности, получаем

XT ′ = a2TX ′′

116

или, после деления на a2TX ,

T ′

X ′′

Чтобы функция X (x)T (t) была

решением

уравнения

теплопроводности,

последнее

равенство

должно

удовлетворяться

для

всех

значений

0 < x < l

t > 0. Правая

часть

является функцией

только

переменного

х, а

левая -

функцией только от

Равенство

же

между

ними

при

всех

0 < x < l

t > 0 возможно лишь при условии, что

X ′′

1 T

′

равны одной и

той же постоянной, которую мы обозначим через

−λ . Равенство распадается

при этом на два уравнения:

′′

T ′(t) + λa T (t) = 0.

X (x) +λX(x) =0 и

Краевые условия, в свою очередь, дают

u(0, t) = X (0)T (t) = 0,

u(l, t) = X (l)T (t) = 0.

Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным

условиям

X(0) =X(l) =0,

так как иначе мы имели бы T(t) ≡0.

Сзадачей по нахождению значений параметра λ мы уже имели дело, решая

спомощью метода разделения переменных уравнение колебаний ограниченной струны, закрепленной на концах. Было показано, что

nπ 2			nπx
λ = λn =		, X (x) = X n (x) = sin		,	n =1, 2,....
	l		l

Подставив λ = λn в уравнение для T (t ), найдем общее решение этого уравнения. Им будет

− anπ 2 t

Tn (t) = Cne l ,

где Cn - произвольные постоянные.

Итак, решения вспомогательной задачи получены. Решения уравнения теплопроводности, не равные тождественно нулю, удовлетворяющие однородным краевым условиям и представимые в виде произведения

X (x)T (t), – это

					anπ 2	t
					−

u	n	(x,t) = X	n	(x)T	(t) = C e l	sin	nπx	; n =1,2,….

				n	n		l

Решение задачи о распространении тепла в общем случае будем искать в

виде

117

∞	∞	anπ		2
		−	l	t	nπx
u(x,t) = ∑un (x,t) =∑Cne				sin		.

n=1	n=1				l

Постоянные Cn подберем таким образом, чтобы удовлетворить начальному условию

u(x,0) = ∑∞ Cn sin nπl x = f (x).

n=1

Выписанный ряд представляет собой разложение функции f (x) в ряд Фурье по синусам в промежутке (0,l ). Следовательно,

Cn =	2 l		f (z )sin	nπz	dz.
	l	∫
				l
		0

Подставляя выражения для Cn, получим ряд, формально удовлетворяющий

всем поставленным требованиям, т.е. уравнению теплопроводности, краевым условиям и начальному условию.

Вопросы для самопроверки по теме 4.4

1.Назовите метод, который используется для решения задачи о колебаниях ограниченной струны. В чем состоит идея метода?

2.Напишите формулу для решения методом Фурье одномерного волнового уравнения при заданных начальных условиях и однородных нулевых граничных условиях.

3.Дайте физическую интерпретацию решения волнового уравнения методом Фурье.

4.Сформулируйте идею метода, которым решается задача о распространении тепла в ограниченном стержне.

5.Напишите формулу для решения методом Фурье одномерного уравнения теплопроводности при заданном начальном условии и однородных (нулевых) граничных условиях.

4.5. Функции Бесселя

При решении многих задач математической физики приходят к линейному дифференциальному уравнению, называемому уравнением Бесселя,

x2 y′′+ xy′+ (x2 −ν 2 )y = 0,

где ν - постоянная.

Гамма-функция Γ(ν) определяется для всех вещественных значений v следующим образом:

118

∞

Γ(ν ) = ∫e−x xν −1dx.

Применяя формулу

Γ(ν +1) =νΓ(ν),

найдем

Γ(ν +k +1) =(ν +k)(ν +k −1)…(ν +2)(ν +1)Γ(ν +1).

∞

Полагая в этом выражении ν = 0 и используя равенство Γ(1) = ∫e−xdx =1,

получим

Γ(k +1) =k!

Решение уравнения Бесселя носит название функции Бесселя 1-го рода v-го порядка и обозначается обычно Jv (x):

Последний ряд сходится при любом значении х, в чем можно убедиться, применяя признак Даламбера.

Второе частное решение уравнение Бесселя может быть получено из решения Jv (x) простой заменой ν на −ν , так как уравнение содержит только

ν2 и не меняется при замене ν на −ν :

∞(−1)k x −ν+2k J−v (x)= k∑=0 k!Γ(−ν2+k +1) .

Если ν не равно целому числу, то частные решения Jv (x) и J−v (x) уравнения Бесселя линейно независимые. Если же ν есть целое число, то в этом случае можно обнаружить линейную зависимость решений Jv (x) и J−v (x) и справедливость формулы

J−n (x)=(−1)n Jn (x) , n - целое.

Для производных функций Бесселя различных порядков имеют место следующие формулы:

Jv′(x)= Jv−1 (x)−νx Jv (x), Jv′(x)= −Jv+1 (x)+νx Jv (x),

119

Jv+1 (x) =

2ν

Jv (x)− Jv−1 (x).

Часто встречаются функции Бесселя

J0 (x)=1−

−

+ ,

22 42

22 42 62

(x )=

−

2 4

6 2 4

J1/ 2 (x)=

∞

(−1)

x2k +1

∑

sin x,

πx

πx k =0 (2k +1)!

J−1/ 2 (x)

∞

(−1)

x2k

∑

cos x,

(2k)!

πx

πx k =0

где использовались равенства

1 3 5 … (2k +1)

π,

22k

что вытекает из определения и свойств гамма-функции.

Вопросы для самопроверки по теме 4.5

1.Запишите уравнение Бесселя.

2.Что такое гамма-функция?

3.Какие функции носят название функции Бесселя 1-го рода (2-го рода)?

4.Являются ли решения уравнения Бесселя линейно зависимыми; если «да» - то при каком условии.

5.Приведите примеры функции Бесселя.

4.6. Интегральные уравнения. Их классификация, методы решения

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

•Интегральные уравнения, их классификация. Теорема Фредгольма и альтернатива Фредгольма.

•Метод последовательных приближений для решения интегральных уравнений. Уравнения Вольтерра.

•Проекционный метод. Метод Галеркина.

120

Интегральные уравнения, их классификация. Теорема Фредгольма и альтернатива Фредгольма

Интегральными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла. Интегральным уравнением Фредгольма первого рода называется уравнение вида

∫K ( x, ξ)u(ξ)d ξ = f ( x),

в котором неизвестная функция u (x) входит только под знак интеграла.

Интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида

	b
u( x) = λ∫K ( x, ξ)u(ξ)d ξ + f ( x).
	a
Известные функции K(x,ξ)	и f (x) называются ядром и свободным членом
интегрального уравнения, λ	- комплексный параметр.
Рассмотрим интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода.
При f (x) =0 уравнение	b
При f (x) =0 уравнение	u( x) = λ∫K ( x, ξ)u(ξ)d ξ называется однородным

интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода. Интегральные уравнения 2-го рода

u( x) =

∫K

( x, ξ)u(ξ)d ξ + g ( x), u(x) = λ∫K (ξ, x)u(ξ)dξ,

где

комплексное число сопряженное комплексному числу

(ξ, x) -

λ , а K

функция

сопряженная комплексной

функции

K(ξ,x),

называются

сопряженными к интегральным уравнениям соответственно.

Будем записывать интегральные уравнения сокращенно, в операторной

форме

u =λKu + f , u =λKu, u = λK*u + f , u = λK *u,

где интегральные операторы K и K * определяются ядрами K(ξ,x) и K(ξ, x) соответственно:

b	b
Ku(x) = ∫K (x,ξ)u(ξ)dξ,	K*u(x) = ∫K	(ξ, x)u(ξ)dξ.
a	a

Теорема Фредгольма. Для того чтобы уравнение Фредгольма второго рода имело решение, необходимо и достаточно, чтобы свободный член f этого уравнения был ортогонален ко всем решениям сопряженного однородного уравнения.

Ортогональность здесь понимается в следующем смысле. Пусть при данном λ уравнение имеет некоторое решение v. Говоря, что f ортогонален к v, мы

121

понимаем под этим, что ( f ,v) =0.

Приведем пример оператора, для которого справедлива теорема Фредгольма.

N
Ядро K(x, y) =∑ fi (x)gi (y) , где функции fi и gi , i =1,2,..., N, непрерывны
на отрезке (a, b)i=1	вплоть до	границы, называется вырожденным ядром.
Интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром принимает вид
	N	b
	u(x) = λ∑ fi (x)∫gi ( y)u( y)dy + f ( x).
	i=1	a

Из теоремы Фредгольма вытекает важное предложение, известное под названием альтернатива Фредгольма:

Либо уравнение u − λK u = 0 имеет только тривиальное решение, и тогда неоднородное уравнение u −λKu = f разрешимо при любом свободном

члене f	и решение этого уравнения единственно; либо уравнение u − λK u = 0
имеет	нетривиальные решения, и тогда уравнение u −λKu = f или

неразрешимо, или имеет бесконечно много решений.

Метод последовательных приближений для решения интегральных уравнений. Уравнение Вольтерра

Будем искать решение уравнения

u(x) = λ∫K ( x, y)u( y)dy + f ( x) ≡ λKu + f

методом последовательных приближений, положив u(0) ( x) = f ( x),

u(n) ( x) = λ∫K ( x, y)u(n−1) ( y)dy + f ( x) ≡λKu(n−1)

+ f ,

n =1, 2,...

Так как u(0) ( x) = f ( x),

то u(1) = λKf + f ,...,

u(n)

= ∑λiKi f .

K ≡ 0

i=0

теорема:

Справедлива

x > y

пусть ∫

K(x, y)

dy ≤ M

для всех

x [a,b] и

Рис. 4.4

. Тогда:

∞

1. Ряд ∑λiKi f

сходится равномерно по x [a, b].

i=0

∞

2.Уравнение имеет единственное решение u = ∑λiKi f .

i=0

122

Можно показать, что ядро Кп(х,у), n = 1, 2 , ... оператора Kn находится по формуле

Kn (x, y) = ∫Kn−1(x, z)K (z, y)dz.

Пусть	a=0, b=α		K (x, y)	- непрерывно и обращается в нуль в
Пусть		, ядро	K (x, y)	- непрерывно и обращается в нуль в
треугольнике		0 <x < y <α	(рис.	10.4). Такое ядро называется ядром
Вольтерра. Интегральные уравнения с ядром Вольтерра:
		x		x
		∫K (x, y)u( y)dy = u(x),		u( x) − λ∫K (x, y)u( y)dy = f ( x),
		0		0

называются интегральными уравнениями Вольтерра первого и второго родов соответственно.

Справедлива следующая теорема: уравнение Вольтерра с непрерывным
ядром K (x, y)	и при любом λ имеет единственное	решение	u(x),
непрерывное при x [0, α] , для любой непрерывной функции		f ( x), x	[0, α].

Проекционный метод. Метод Галеркина

Приближенный метод решения операторных уравнений. Идея, на которой основан метод, заключается в предварительной "аппроксимации" уравнения и последующем точном решении "аппроксимируюшего" уравнения. Аппроксимирующее уравнение, как правило, конструируется так, что его решение сводится к рассмотрению конечной системы алгебраических уравнений.

Рассмотрим уравнения Lu = f , где L - линейный оператор с областью определения D(L) X и областью значений R(L) Y. Проекционный метод решения этого уравнения заключается в следующем. Задаются две последовательности подпространств {X n } и {Yn}:

X n D(L) X , Yn Y (n =1, 2,...),

а также линейные проекционные операторы (проекторы) Рп, проектирующие

пространство			Y	на Yn , т.е. операторы, удовлетворяющие условиям
P2	= P ,	P Y = Y ,		n =1,2,....Уравнение затем заменяется приближенным
n	n	n	n

Pn (Lun − f ) = 0 (un X n );

последние скобки означают, что решение ищется в Xn .

В случае X =Y , Xn =Yn , n = 1, 2 , ... , проекционный метод будем называть

методом Галеркина.

Введем в рассмотрение бесконечную последовательность линейно независимых функций, удовлетворяющих граничным условиям, если они в задаче поставлены, и образующих полную систему:

ϕ1,ϕ2,...,ϕn,....

123

Это так называемая координатная система. Приближенное решение ищется в виде линейной комбинации n первых функций из координатной

последовательности

un = ∑aiϕi. i=1

Неизвестные коэффициенты ai выбираются так, чтобы разность Lun − f была ортогональна первым п элементам координатной последовательности:

(Lun − f , ϕi ) = 0, i = 1, 2,..., n.

Это приводит к системе n уравнений для отыскания коэффициентов ai :

∑(Lϕj ,ϕi )a j = ( f ,ϕi ), i =1, 2,..., n.

j=1

Вопросы для самопроверки по теме 4.6

1.Чем отличается интегральное уравнение Фредгольма первого рода от интегральных уравнений Фредгольма второго рода?

2.Сформулируйте теорему Фредгольма.

3.Перечислите методы, которые используются для решения интегральных уравнений.

4.Изложите основную идею проекционного метода.

5.Как работает метод последовательных приближений.

4.7.Решение задачи Коши для волнового уравнения

иуравнения теплопроводности. Обобщенные функции

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

•Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения методом Даламбера.

•Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона.

•Обобщенные функции и обобщенные решения.

Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения методом Даламбера

124

Решение уравнения

∂2u

2 ∂2u

, −∞< x <+∞, t >0

∂t2

∂x2

∂u

при начальных условиях

t=0

=ϕ(x),

= Ψ(x), −∞< x < +∞, т.е.

∂t

t=0

решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения

u (x,t ) =

ϕ(x − at )+ ϕ(x + at ) +

x+at Ψ(z )dz

∫

x−at

называется формулой Даламбера.

Непосредственным дифференцированием нетрудно проверить, что это выражение удовлетворяет волновому уравнению и начальным условиям, если функция ϕ дважды непрерывна дифференцируема при −∞ < x < +∞, а Ψ(x )

имеет первую непрерывную производную.

Однако нередко приходится иметь дело с задачами, в которых начальное возмущение задается функциями, не удовлетворяющими этим условиям. Например, если струна имеет в начальный момент форму ломаной линии, то ϕ(x) не имеет определенной производной в ее вершинах A, B , C (рис. 4.5). Тем

не менее разумно считать, что формула Даламбера дает решение и такой задаче, хотя функция u(x,t) уже не всюду имеет непрерывные производные до

второго порядка. В этом случае говорят, что задача имеет так называемое обобщенное решение.

Обратимся к физической интерпретации решения задачи Коши.

I. Начальные скорости точек струны равны нулю, т.е. Ψ(x ) = 0 . При этом условии формула Даламбера примет вид:

u (x,t ) = ϕ(x − at )+ ϕ(x + at )

Числитель выражения состоит из двух слагаемых, и мы остановимся на первом: ϕ(x − at ) . Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке

x = x0 в момент t = 0 , движется со скоростью a в положительном направлении оси O x . Для такого наблюдателя смещение струны, определяемое формулой ϕ(x − at ) , будет оставаться все время постоянным и равным ϕ(x0 ). Имея в

виду это обстоятельство, говорят, что функция ϕ(x − at ) описывает прямую волну, бегущую со скоростью a в положительном направлении оси O x . Аналогично, функция ϕ(x + at ) описывает обратную волну, бегущую со

скоростью a в отрицательном направлении оси O x .

Величина a -это скорость распространения возмущений или поперечных

колебаний. Формула	a =	T0	показывает, что скорость распространения
		ρ

поперечных колебаний обратно пропорциональна корню квадратному из

125

D		E	плотности	струны		и	прямо
D		E	пропорциональна		корню	квадратному
		C	пропорциональна		корню	квадратному
	A	C	из натяжения.
		Рис. 4.5	из натяжения.
		Рис. 4.5	Решение, которое является средним
			Решение, которое является средним
			арифметическим		прямой		волны

ϕ(x − at ) и обратной волны ϕ(x + at ), геометрически может быть получено следующим образом: построим два одинаковых экземпляра графика u = ϕ(x)

струны при t = 0 и вообразим, что они налегают друг на друга, а затем раздвигаются в обе стороны со скоростью a . График струны в момент времени t мы получим как среднее арифметическое раздвинутых таким образом графиков.

II. Перейдем к рассмотрению второго частного случая, когда начальное смещение точек струны равно нулю, т.е. ϕ(x) = 0 . При этом условии формула Даламбера принимает вид

				1	x+at
		u (x,t ) =		1	∫ Ψ(z )dz
		u (x,t ) =		2a	∫ Ψ(z )dz
				2a	x−at
или					x−at
или		x+at		x−at
	1	x+at	1	x−at
u (x, t ) =	1	∫ Ψ(z )dz −	1	∫ Ψ(z )dz = Q (x + at )− Q (x − at ),
u (x, t ) =	2a	∫ Ψ(z )dz −	2a	∫ Ψ(z )dz = Q (x + at )− Q (x − at ),
		0		0

если обозначить через Q(x) интеграл

1 ∫x Ψ(z )dz = Q (x ),

2a 0

т.е. и в этом случае мы будем иметь дело с распространением прямой волны Q (x − at ) и обратной волны Q (x + at ).

Исследуем решение более подробно в предположении, что функция Ψ(x ) отлична от нуля лишь на конечном промежутке (−α,α).

Пусть точка х струны лежит правее промежутка (−α,α) (рис.4.6). При t = 0 промежуток интегрирования (x − at, x + at ) вырождается в точку х, а затем, при увеличении t, он расширяется в обе стороны со скоростью a .

При

t <

x − α

этот промежуток не будет иметь общих точек с интервалом

(−α, α), функция Ψ(x ) в промежутке равна

нулю u (x,t ) = 0 ,

т.е. точка

находится в состоянии покоя при t

x − α

Начиная с момента

t =

промежуток интегрирования (x − at, x + at )

будет

пересекаться

интервалом

(−α, α),

−α

x −at

x + at

Рис. 4.6

126

котором функция Ψ(x ) отлична от нуля, т.е. значение u(x,t) будет отлично от нуля. Это соответствует тому, что точка х начинает колебаться. Момент

времени	t =	x − α	называется моментом прохождения переднего фронта через
времени	t =		называется моментом прохождения переднего фронта через
точку x .		a
точку x .					x + α
Наконец, при t				>	x + α	промежуток (x − at, x + at ) будет содержать
Наконец, при t				>	a	промежуток (x − at, x + at ) будет содержать
					a
целиком	промежуток			(−α, α),		интегрирование по (x − at, x + at ) будет

сводиться к интегрированию по (−α,α), так как вне этого интервала функция

Ψ	(	x	)	= 0	, т.е. при	t >	x + α	имеем постоянное значение u(x,t), равное
							a

1 α∫ Ψ(z )dz.

2a −α

Момент времени t = x +a α называется моментом прохождения заднего фронта

волны через точку х (принцип Гюйгенса выполняется).

Таким образом, действие начального импульса приводит к тому, что с течением времени точки струны сдвигаются на отрезок, длина которого выражается интегралом, и остаются без движения в этом новом положении. Волны оставляют после себя как бы след своего прохождения (рис. 10.6).

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона

Решение задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности, т.е. единственное решение уравнения

∂u =a2 ∂2u ∂t ∂x2

на бесконечной прямой −∞< x <+∞ (t > 0) с начальным условием u t =0 = ϕ( x), ( ϕ(x) - непрерывная и ограниченная функция), представляется в виде интеграла

+∞		1	−	(x−y)2

u(x,t) = ∫			e 4a2t
	2	πa2t
−∞

называемого интегралом Пуассона.

ϕ(y)dy,

решением уравнения теплопроводности.

127

Обобщенные функции и обобщенные решения

Обобщенная функция является обобщением понятия функции. Это обобщение дает возможность выразить в математической форме такие идеализированные понятия, как, например, плотность материальной точки или плотность точечного заряда.

Введем важное множество основных функций D : множество финитных бесконечно дифференцируемых функций. Функция ϕ называется финитой,

если она обращается в нуль вне замкнутого отрезка [a,b].

Плотность, создаваемая материальными точками, не может быть описана в рамках классического понятия функции, и для ее описания следует привлекать объекты более общей математической природы – линейные непрерывные функционалы (обобщенные функции), определенные на множестве D основных функций.

Раскроем определение обобщенной функции f .

1. Обобщенная функция f есть функционал на D , т.е. каждой функции

ϕ D сопоставляется число ( f , ϕ) = ∫ f (x)ϕ(x)dx.

2.Обобщенная функция f есть линейный функционал на D , т.е. если

ϕ D, ψ D и c1,c2 - числа, то ( f ,c1ϕ+c2ψ) =c1( f ,ϕ) +c2( f ,ψ).

3.Обобщенная функция f есть непрерывный функционал на D , т.е. если

lim ϕk = 0 в D, то	lim ( f ,ϕk ) = 0 .
k→∞	k→∞

Определим обобщенную функцию δ(x) как функционал (δ,ϕ) =ϕ(0), сопоставляющий каждой функции ϕ D число ϕ(0) - значение ее в точке

x = 0 . Этот функционал и есть известная δ	- функция Дирака
+∞,	x = 0	.
δ(x) =	x ≠ 0
0,

Функция δ(x) - плотность, которую создает материальная точка единичной массы, расположенная в начале координат.

Вопросы для самопроверки по теме 4.7

1.Назовите метод, которым решается задача Коши для одномерного волнового уравнения.

2.Напишите формулу Даламбера для решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения.

3.Какая связь между решением задачи Коши для одномерного волнового уравнения и интегралом Пуассона?

4.Какая функция называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности.

5.Определите δ -функцию Дирака, как обобщенную функцию δ(x).

128

Решение задач

Задача 4.1. Найти собственные функции и собственные значения задачи Дирихле

u = λu, u	s = 0		{(		)


в области, являющейся квадратом на плоскости		Ω =		x, y		: 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π
в области, являющейся квадратом на плоскости						}

с границей s.

Решение. Решим задачу с помощью метода разделения переменных. Решение будем искать в виде u(x, y) = X(x)Y(y), где X(x) - функция только переменной x , а Y(y) - функция только переменной y. Подставляя X(x) Y(y) в

уравнение Лапласа, имеем
′′	′′
X (x)Y(y) +X(x)Y (y) =λX(x)Y(y),
а из граничных условий следует
X (0)Y( y) = 0,	X (π)Y( y) = 0,
X (x)Y(0) = 0,	X (x)Y(π) = 0.

Разделим левую и правую части уравнения на X(x) Y(y)

	X ′′( x)	+	Y ′′( y)	= λ или	X ′′( x)	= −	Y ′′( y)	+ λ.
					X ( x)		Y (Y )
	X ( x) Y (Y )
Последнее равенство выполняется при всех							x (0,π) и y (0,π) только

если левая и правая части равны одной и той же постоянной, которую мы обозначим - μ . Таким образом, имеем

X′′(x) +μX(x) =0

−Y′′(y) +(λ+μ)Y(y) =0.

Рассмотрим случаи μ>0, μ=0 и μ<0.

При μ<0 общее решение уравнения				X(x) =c1e −μx +c2e− −μx. Вспоминая
граничные условия X (0) =0,			X (π) =0, получаем
	c	+ c = 0,				c2 = −c1,
	1	2	или		(e				)= 0,
		+ c2e−	или			−μπ	− e	− −μπ
c1e	−μπ	+ c2e−	−μπ = 0	c1			− e

а следовательно, c1 = c2 = 0.

При

μ=0

решением уравнения

X '' (x ) = 0

является

X(x) =c1x +c2. Так как

X(0) = X(π) =0, то c2 = c1 = 0.

При

μ>0

общее

решение

уравнения

X ''(x)+ μX (x)= 0

имеет

вид

X (x) = c1 cos

μx + c2 sin

μx,

из

граничных

условий

следует

X (0) = c = 0 и X ( x) = c

sin

μx,

X (π) = c

sin

μπ = 0.

Если X(x) ≠0,

то

129

c2 ≠0

и поэтому sin

μπ = 0 или μ = n,

μ = n2 ,

n = 1, 2, 3,... Подставим μ = n2 в

уравнение для Y (y )

Y "( y) − (λ + n2 )Y ( y) = 0 .

Вспоминая граничные условия

Y(0) =0, Y(π) =0, решение Y(y) ≠0 только в случае −(λ + n2 )> 0

Y(y) =C1 cos

−(λ+n2 )y +C2 sin −(λ+n2 )y.

Так как Y(0) =0,то

с1 =0

и Y(y) =c2 sin

−(λ+n2 ) y.

Из

условия

π =

имеем

Y(π) =c sin

−

λ+n2

)

π=0

или

)

(

−(λ+n2 ) =m, m =0,1,2,...

В результате, собственные числа имеют вид: λnm = −(m2 + n2 ), а

соответствующие собственные функции выглядят так:

unm (x, y) = Xn (x)Ym ( y) = cnm sin nxsin my.

Вспоминая		свойство	ортанормированности		собственных			функций
π πu2	(x, y)dxdy =1,		получаем	коэффициенты		c	=	2	и

∫∫ nm						nm		π
0 0

unm (x, y) = π2 sin nxsin my .

Задача 4.2. Струна, закрепленная на концах x = 0 и x = l , имеет в начальный момент форму параболы u t=0 = 4l2h x (l − x). Найти методом Фурье смещение

точек струны от оси абцисс, если начальные скорости отсутствуют.

Решение. Решим задачу методом Фурье. С учетом начальных и граничных

условий решение одномерного волнового уравнения								∂2u	=a	2 ∂2u
								∂t2		∂x2
∞		nπat		nπat		nπx
u(x,t)= ∑	An cos		+ Bn sin		sin		. Коэффициенты			An
		l		l		l
n=1

имеет вид

иBn

	2 l		nπz	2		l	nπz
вычисляются по формулам An =		∫ϕ(z )sin		dz , Bn =		∫ψ(z )sin		dz .
вычисляются по формулам An =	l	∫ϕ(z )sin	l	dz , Bn =	nπa	∫ψ(z )sin	l	dz .
		0				0

Так как начальные скорости отсутствуют,			то ψ (x ) = 0 и Bn = 0 .
Следовательно,
∞	nπat		nπx
u(x,t) = ∑An cos		sin		,
			l
n=1	l

где

130

2 l

nπz

4h l

nπz

A =

0∫

ϕ( z) sin

dz =

0∫

z(l − z) sin

dz.

l l 2

Для вычисления коэффициентов Ап воспользуемся методом интегрирования по

частям, положив

= lz − z2 ,

= sin

nπz

dz.

Тогда

nπz

du = (l − 2z)dz, v = −

cos

nπ

Таким образом,

nπz

−

(l − z)z cos

∫

(l − 2z)cos

∫

(l − 2z)cos

dz.

l3 nπ

nπ

l2nπ

Еще

раз

интегрируем

по

частям:

= l − 2z,

dv2

= cos

nπz

dz,

nπz

du2 = −2dz,

v2 =

sin

, а тогда

nπ

nπz

2l l

nπz

16hl

nπz

16h

(l −2z)sin

sin

dz = −

cos

−(−1)

nπ∫

l(nπ)2 nπ

l2nπ nπ

(nπ)3

Итак,

16h ∞

−(−1)

nπat

nπx

u(x,t) =

∑

cos

sin

π3

n=1 n3

Но при

n =2k :1−

(

−1 n =0,

а при

n =2k +1 k =0,1,... :1−

(

−1 n =2,

поэтому

)

(

)

окончательно находим

∞

cos (2k +1)πat sin

(2k +1)πx .

32h

u( x,t) =

∑

π3

(2k

+1)3

k =0

Задача 4.3. Решить методом Фурье задачу о распространении тепла в

ограниченном стержне		∂2u , 0 < x < 4, t > 0,
∂u	=10	∂2u , 0 < x < 4, t > 0,
∂t		∂x2
при начальных условиях				x	при	0 ≤ x ≤ 2
u(x,0) = f (x) =				x	при	0 ≤ x ≤ 2
u(x,0) = f (x) =				− x	при	2 < x < 4
			4	− x	при	2 < x < 4

и граничных условиях

u(0,t) =u(4,t) =0.

Решение. Решение уравнения теплопроводности при однородных граничных условиях методом Фурье имеет вид

131

∞

nπa

−

nπx

u(x,t) = ∑Cne

sin

n=1

где a 2 = 10, l = 4,

Cn =

2 l

f (z )sin

nπz

dz =

f (z )sin

nπz

dz.

∫

Вычислим коэффициенты Cn , учитывая начальное условие:

Cn =	1	2 z sin	nπz	dz +	1	4	(4 − z )sin	nπz	dz.
	2		4		2	∫
		∫					4
		0				2

Интегрируя по частям в каждом из интегралов, найдем

2	nπz					4z			nπz		2			4		2					nπz							8				nπ				16					nπz		2
2	nπz					4z			nπz		2			4		2					nπz							8				nπ				16					nπz		2
∫z sin				dz = −				cos					+			∫cos								dz = −						cos			+						sin				=
∫z sin	4			dz = −		nπ		cos	4				+	nπ		∫cos						4		dz = −				nπ		cos		2	+		(nπ)2				sin	4			=
0											0					0																											0
0											0					0																											0
									= −				8	cos			nπ			+			16			sin			nπ	,
									= −			nπ		cos						+		(nπ)2				sin				,
												nπ						2				(nπ)2						2
4		nπz					4(4 − z)						nπz		4			4			4				nπz						8			nπ				16				nπz		4
4		nπz					4(4 − z)						nπz		4			4			4				nπz						8			nπ				16				nπz		4
∫(4 − z)sin					dz = −					cos						−					∫cos						dz = −					cos				−				sin				=
∫(4 − z)sin			4		dz = −			nπ		cos			4			−			nπ		∫cos				4		dz = −				nπ	cos		2		−	(nπ)2			sin		4		=
2															2						2																							2
2															2						2																							2

= −	8	cos	nπ	+	16	sin	nπ	,
	nπ				(nπ)2
		2				2

т.к. sin nπ = 0. Следовательно,

Cn =

sin

nπ

n2π2

Подставив полученное выражение для Cn

в формулу для u(x,t), будем иметь

∞ 1

nπ

−

π2t

nπx

u(x,t) =

∑

sin

π2

n=1 n2

Задача 4.4. Найти решение уравнения методом Даламбера

∂2u

=25 ∂2u

(−∞< x < +∞, t >0)

∂t2

∂x2

с начальными условиями

∂u

t=0

=0,02cos x,

=0,1sin x.

Решение.

∂t

t=0

Формула

Даламбера

для

решения одномерного

волнового

уравнения имеет вид

u (x,t )

ϕ(x − at )+ ϕ(x + at ) +

x+at ψ(z )yz.

∫

x−at

В данном

случае

a = 5,

ϕ(x) = 0,02 cos x,

Ψ(x) = 0,1sin x, и

формула

Даламбера дает

132

	x+5t		sin zdz =
	+ 0,01	∫
u (x,t )= 0,01 cos(x −5t )+ cos(x + 5t )

x−5t

=0,01cos(x −5t )+ 0,01cos(x + 5t )+ 0,01(−cosz xx+−55tt )=

=0, 01cos (x − 5t )+ 0, 01cos (x + 5t )− 0, 01cos (x + 5t )+ 0, 01cos (x − 5t )=

=0, 02 cos (x − 5t ).

Итак, окончательное решение задачи имеет вид

u (x, t )= 0, 02 cos (x −5t ).

133

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.02.2016164 Кб10Маркетингт.doc
#
16.02.2016120 Кб19Мат.ч.1.doc
#
16.02.201646 Кб21Мат.ч.2.doc
#
16.02.2016773 Кб57Математика для 1 курса.pdf
#
18.11.20185 Мб42МАТЕМАТИКА методичка.doc
#
16.02.20162 Мб76Математика ч.1 (УМК 7,8).pdf
#
16.02.20162 Мб47Математика ч.2 (УМК).pdf
#
16.02.20162 Мб44Математика часть 1 УМК.pdf
#
16.02.201645 Кб27Математика(шифр 03).docx
#
16.02.20163 Мб50МатериаловедениеМУРЛ2007.doc
#
16.02.20166 Мб96МатериаловедениеУМК2008.doc