Указать, каким рядом Фурье будет представлена нечетная функция, заданная формулой f (x) = 2x при −π ≤ x ≤π
∞
aо
∞
a
cos nπ x +b
sin nπ x
a)
∑ b sin nx ;
b)
+
∑
;
n=1 n
2
n
3
n
3
n=1
a
∞
c)
о
+
∑
a cos nx ;
2
n =1
n
a
∞
d)
о
+
∑
a
cos nx +b sin nx .
2
n =1
n
n
Задание 2.
Указать, каким рядом Фурье будет представлена четная функция, заданная
формулой f (x) =
1 x4 при
−π ≤ x <π
2
∞
a)
a0
∞
cos nx ;b)
aо
a
cos nπ x +b
sin nπ x
;
+ ∑ a
+
∑
2 n=1 n
2
n
2
n
2
n=1
c)
a
+
∞
a
cos nx+b sin nx ;
0
∑
2
n=1
n
n
d)
∞
sin nπ x .
∑ b
n=1
n
2
Задание 3.
Указать, по каким формулам следует вычислять коэффициенты ряда Фурье для функции, заданной формулой
x+1
при −π≤x<0,
π
1
при
0≤x<
,
f (x) =
2
π
π
x-
при
≤x<π,
2
2
и период которой равен 2π .
1
π
1
π
1
π
a)
a0 =
∫
f (x)dx, an =
∫
f (x) cos nxdx,
bn =
∫ f ( x) sin nxdx, n = 1, 2, 3,…
π
π
π
−π
−π
−π
2
3
nπ x
dx,
n = 0,1, 2, 3,…
b) an
=
∫ f ( x) cos
bn = 0,
3
0
3
3
2
nπx
n = 0,1, 2, 3,…
c) an = 0,
bn
=
∫ f ( x) sin
dx,
3
0
3
3
3
1
f ( x) cos nπx dx,
1
nπ x
n = 0,1, 2, 3,…
d) an =
∫
bn =
∫
f ( x) sin
dx,
3
3
−3
3
−3
3
3
Задание 4.
Для периодической функции, заданной формулой f (x) = 2x при −3 ≤ x < 3 и
период которой равен
2l = 6 , указать значение суммы S
её ряда Фурье в точке
x = 3 .
a) S(3) = 0 ;
b)
S(3) = −6 ;
c) S(3) = 6 ;
d) S(3) не определена.
Задание 5.
Ряд Фурье для функции, заданной формулой f (x) = 2x ï ðè −3 ≤ x ≤ 3 будет иметь вид
a)
∞
b
sin nπ x
;
∑
n =1
n
3
c)
a0
∞
a cos nx ;
+
∑
2
n
=1
n
b)
aо
∞
a
cos nπ x +b
sin nπ x
;
+
∑
2
n
3
n
3
n=1
d)
a
+
∞
a
cos nx+b sin nx .
0
∑
2
n=1
n
n
Задание 6.
Сумма S(x) ряда Фурье для периодической функции f (x) , заданной формулой f (x) = 2x при −3 ≤ x < 3 и имеющей период 2l = 6 , равна функции f (x)
a) только на промежутках непрерывности f (x) ;
b) на всей числовой оси; c) в точках разрыва; d) ни в одной точке.
Задание 7.
Для какой из указанных на графиках функций разложение в ряд Фурье будет
иметь вид:
f (x)=
a
∞
a cos
nπx
.
0
+ ∑
2
n=1
n
2
a)
y
b)
y
-2
0
2
x
-π
0
π x
4
c)
y
y
d)
-2
0
2
x
-π
0
π
x
Задание 8.
Для какой из указанных на графиках функций разложение в ряд Фурье будет
иметь вид:
∞
sin nπx .
f (x)= ∑ b
n=1
n
2
a)
y
b)
y
-2
0
2
x
-π
0
π x
c)
y
y
d)
-π
0
π
x
0
2
x
-2
Задание 9.
Для какой из указанных на графиках функций разложение в ряд Фурье будет
иметь вид:
aо
∞
(a
cos nx+b sin nx) .
+
∑
2
n=1
n
n
5
a)
y
b)
y
-2
0
2
x
-π
0
π x
c)
y
d)
y
-π
0
π
x
-2
0
2
x
Задание 10.
Для какой из указанных на графиках функций разложение в ряд Фурье будет
∞
иметь вид: f (x)= ∑ bn sin nx . n=1
a)
y
b)
y
-π
0
π x
-π
0
π x
6
c)
y
-π
0
π
x
Задание 11.
Указать, каким рядом Фурье будет представлена функция, имеющая такой график
a)
aо
+
∞
a
cos nx +b
sin nx ;
∑
2
n=1
n
n
b)
aо
∞
a cos nπ x
+b
sin nπ x
;
+
∑
2
n
2
n
2
n=1
c)
aо
∞
cos nx ;
d)
∞
sin nπ x .
+
∑
a
∑ b
2
n=1
n
n=1
n
2
d)
y
-2
0
2
x
y
-π
0
π
x
Задание 12.
Указать, каким рядом Фурье будет
y
представлена
функция,
имеющая
такой график
a)
∞
sin nπ x ;
∑ b
n=1
n
2
b)
aо
∞
a
cos nπ x +b sin nπ x
;
+
∑
2
n
2
n
n=1
2
-2
0
2
x
aо
∞
cos nπ x ;
c)
+
∑ a
2
n=1
n
2
d)
aо
+
∞
a
cos nx+b sin nx .
∑
2
n=1
n
n
7
Задание 13.
Указать, каким рядом Фурье будет
y
представлена функция, имеющая
такой график
a)
aо
+
∞
a
cos nx ;
∑
2
n=1
n
b)
aо
∞
a cos nπ x
+b sin nπ x
;
+
∑
2
n
2
n
2
n=1
-π
0
π
x
aо
∞
c)
+
a
cos nx +b
sin nx ;
∑
2
n=1
n
n
∞
d)
sin nπ x .
∑ b
n=1
n
2
Задание 14. Указать, каким рядом Фурье будет представлена периодическая
функция, заданная формулой
f (x) = x2
при
−3<x≤3 .
a)
aо
∞
cos nπ x ;
b)
aо
∞
a
cos nπ x +b
sin nπ x
;
+
∑ a
+
∑
2
n=1 n
3
2
n
3
n
3
n=1
c)
aо
+
∞
a
cos nx +b sin nx ;
d)
∞
b
sin nπ x .
∑
∑
2
n=1
n
n
n=1
n
3
Задание 15.
Указать, каким рядом Фурье будет представлена периодическая функция,
заданная в основном интервале [−3,3)
формулой.
0
при −3≤x<0,
f (x) =
2x
при 0≤x<3.
a)
aо
∞
a
cos nπ x +b
sin nπ x
;
+
∑
2
n
3
n
3
n=1
c)aо + ∞∑ an cos nx ;
2 n=1
b)
aо
+
∞
a
cos nx +b sin nx ;
∑
2
n=1
n
n
d)
∞
sin nπ x .
∑ b
n=1
n
3
Задание 16.
Уравнение
∂2U
= a2 ∂2U
с начальными
U (x,0) =ϕ(x),
∂U
(x,0)
=ψ (x) и
∂t2
∂x2
∂t
граничными
U (0,t) = 0,
U (l,t) = 0 условиями
может описывать:
a)колебание струны с закрепленными концами;
b)колебание бесконечной струны;
8
c)распространение тепла в конечном стержне;
d)распространение тепла в бесконечном стержне.
Задание 17. Уравнение
∂U
= a2 ∂2U
с начальными условиями U (x,0) = f (x)
∂t
∂x2
описывает при t > 0, - ∞ < x < +∞:
a)распространение тепла в бесконечном стержне;
b)колебание бесконечной струны;
c)электрические колебания в проводнике;
d)колебание струны с закрепленными концами.
Задание 18.
Уравнение
∂U
= a2 ∂2U
с граничными U (0,t) = 0,
U (l,t) = 0 и начальными
∂t
∂x2
U (x,0) =ϕ(x),
0 ≤ x ≤ l
условиями описывает при
t > 0 :
a)распространение тепла в конечном стержне;
b)колебание струны с закрепленными концами;
c)колебание бесконечной струны;
d)распространение тепла в бесконечном стержне.
Задание 19.
Решение уравнения
∂2U
= a2 ∂2U
при 0 < x < l, t > 0 с
∂U
∂t2
∂x2
начальными
U (x,0) =ϕ(x),
(x,0)
=ψ (x)
и
граничными
∂t
U (0,t) = 0, U (l,t) = 0
условиями в общем случае имеет вид:
a)
∞
nπat
nπat
nπx
;
U (x,t) =
∑
A cos
+B
sin
sin
l
l
l
n
n
n=1
−
anπ 2
∞
t
nπx
l
b)
U (x,t) =
∑
C e
sin
;
l
n=1
n
x+at
c) U (x,t)=1
[ϕ
(x−at)+ϕ(x+at)]+
1
ψ (z)dz ;
∫
2
2a x−at
d)
задача поставлена некорректно.
Задание 20.
anπ 2
∞
−
t
nπx
l
Формула U (x,t) = ∑ C e
sin
дает решение
l
n=1
n
a)уравнения распространения тепла в конечном стержне;
b)уравнения колебания конечной струны;
9
c)уравнения колебания бесконечной струны;
d)уравнения Лапласа.
Задание 21.
Решение уравнения
∂U
= a2 ∂2U
при
∂t
∂x2
U (x,0) =ϕ(x) и граничными
U (0,t) = 0,
условиями в общем случае имеет вид:
0 < x < l, t > 0 с начальными
U (l,t) = 0
anπ 2
∞
−
t
nπx
a)
U (x,t) =
∑
C e
l
sin
;
n=1
n
l
b)
∞
nπat
nπat
nπ x
;
U (x,t) =
∑
A
cos
+B
sin
sin
l
l
l
n
n
n=1
c)U (x,t)=12[ϕ(x−at)+ϕ(x+at)];
d)задача поставлена некорректно.
Задание 22.
Формула
U (x,t) =
∞
∑
n=1
A
cos
nπat
+B
sin
nπat
sin
nπ x
дает решение
l
l
n
n
l
a)уравнения колебания конечной струны;
b)уравнения распространения тепла в конечном стержне;
c)уравнения колебания бесконечной струны;
d)уравнения Лапласа.
Задание 23. Уравнение
∂2U
= a2 ∂2U
с начальными условиями
∂t2
∂x2
U (x,0) =ϕ(x) при - ∞ < x < +∞, t > 0
описывает
a)колебание бесконечной струны;
b)распространение тепла в бесконечном стержне;
c)колебание струны с закрепленными концами;
d)распространение тепла в конечном стержне.
Задание 24. Формула U (x,t)=
1
[ϕ(x−at)+ϕ(x+at)]+
1
x+at
ψ (z)dz
дает решение
∫
2
2a x−at
a)уравнения колебания бесконечной струны;
b)уравнения колебания конечной струны;
c)уравнения распространения тепла в конечном стержне;
d)уравнения Лапласа.
10
Задание 25.
Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения
∂2U
= a2 ∂2U
,
∂U
∂t2
∂x2
при U (x,0) =
ϕ(x),
(x,0) =ψ (x) ,
t > 0,
- ∞ < x < +∞ дается формулой:
∂t
x+at
a) U (x,t)
=1[ϕ(x−at)+ϕ
(x+at)]+
1
ψ (z)dz ;
∫
2
∞
2a x−at
b)
nπat
nπat
nπ x
, где
U (x,t) =
∑
A cos
+B
sin
sin
l
l
l
n
n
n=1
l
2
l
A
= 2
∫ϕ(x)sin nπ x dx , B
=
∫ψ (x)sin nπ x dx ;
n
l 0
l
n
nπa 0
l
anπ 2
∞
−
t
nπx
c)
U (x,t) =
∑
C e
l
sin
;
n=1
n
l
d)
задача поставлена некорректно.
Задание 26.
Формула U (x,t) = 1 [ϕ(x −5t)
2
a)
∂2U
=25∂2U
,
∂t2
∂x2
b)
∂2U
=25∂2U
,
∂t2
∂x2
c)
∂2U
= ∂2U ,
∂t2
∂x2
+ϕ(x +5t)]+101
U (x,0)=ϕ(x),
U (x,0)=ϕ(x),
t >0,
U (x,0) =ϕ(x),
x +5t
∫
ψ (z)dz задает решение задачи:
x −5t
∂U
(x,0)=ψ (x),
t >0, - ∞< x <+∞;
∂t
∂U
(x,0)=ψ (x),
U (0,t) =U (5,t) = 0
∂t
0 ≤ x ≤5 ;
∂U
(x,0) =ψ (x),
t >0, 0 ≤ x ≤5 ;
∂t
d)
∂U
= 25 ∂2U
,
U (x,0) =ϕ(x),
U (0,t) =U (5,t) = 0 , t >0, 0 ≤ x ≤5 .
∂t
∂x2
Задание 27. Уравнение
∂2U = a2 ∂2U
относится к
∂t2
∂x2
a)
гиперболическому типу;
b) эллиптическому типу;
c)
смешанному типу;
d)
параболическому типу.
Задание 28.
Уравнение ∂U = a2 ∂2U относится к
∂t
∂x2
a)
параболическому типу;
b) гиперболическому типу;
c)
смешанному типу;
d) эллиптическому типу.
11
Задание 29. Уравнение ∂2U +
∂2U
+
∂2U
= 0 относится к
∂x2
∂y2
∂z2
a) эллиптическому типу;
b)
параболическому типу;
c) смешанному типу;
d)
гиперболическому типу.
Задание 30.
Формула Даламбера решения задачи Коши для одномерного волнового
уравнения
t >0, - ∞<
∂2U
= a2 ∂2U
с начальными данными
U (x,0) =ϕ(x),
∂U
(x,0) =ψ (x),
∂t2
∂x2
∂t
x <+∞
имеет следующий вид:
1[ϕ(x−at)+ϕ(x+at)]+
1
x+at
a) U (x,t)=
∫ ψ (z)dz ;
2
2a x−at
b) U (x,t) =
∞
nπat
nπat
nπ x
;
∑
A
cos
+B
sin
sin
l
l
l
n=1
n
n
anπ 2
∞
−
t
nπx
c)
U (x,t) =
∑
C e
l
sin
;
n=1
n
l
d) задача поставлена некорректно.
Задание 31.
Если μ(x, y, z) = x + y + z - плотность тела T , то масса тела T равна
a) ∫∫∫(x + y + z)dxdydz ;
b) ∫∫∫xyzdxdydz ;
T
T
c) ∫∫∫ x2 + y2
T
Задание 32.
4 z
z = 4 − x2
O T
y
D
x
+ z2 dz ; d) ∫∫∫3dxdydz .
T
Выберите интеграл, к которому сведется тройной интеграл ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz по области T
T
изображенной на рисунке.
a) ∫∫dxdy
4−x2
b) ∫∫dxdy
4
∫ f (x, y)dz ;
∫
f (x, y, z)dz ;
D
0
D
4−x2
4
4
c) ∫∫dxdy∫ f (x, y, z)dz ;
d) ∫∫dxdy∫
f (x, y, z)dz .
D
0
D
2
12
Задание 33.
z
Используя геометрический смысл тройного интеграла,
найдите ∫∫∫dxdydz . Область T изображена на рисунке.
1
T
y
1
a) 2;
b) 1;
c) 4;
d)
.
1
O
2
2
x
Задание 34.
Выберите интеграл, который равен объему области T .
a) ∫∫∫dxdydz ;
b) ∫∫∫(x + y + z)dxdydz
T
T
c) ∫∫∫xyzdxdydz ;
d) ∫∫∫ x2 + y2 + z2 dz .
T
T
Задание 35. Укажите среди приведенных повторных интегралов такой,
который равен
тройному интегралу
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz . Область T
изображена на рисунке.
T
1
2
1−y2
1
2
1
a) ∫dx∫dy ∫ f (x, y, z)dz ; b) ∫dx∫dy∫ f (x, y, z)dz ;
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
1−y2
1
c) ∫dx∫dy ∫ f (x, y, z)dz ; d) ∫dy ∫ dx∫ f (x, y, z)dz .
0
0
1−y2
0
0
0
Задание 36.
Если ∫∫∫(x + z)dxdydz равен 2, а ∫∫∫ ydxdydz равен 3, то ∫∫∫(x + y + z)dxdydz
T
T
T
равен
a) 5;
b) 6;
c) -1;
d) 1.
Задание 37.
Укажите, какая задача приводит к понятию тройного интеграла
a)Задача о вычислении массы тела;
b)Задача о вычислении площади плоской фигуры;
c)Задача о вычислении массы тонкого стержня;
d)Задача о нахождении длины кривой.
Задание 38.
Если ∫∫∫(xy + zx)dxdydz равен 3, то ∫∫∫2(xy + zx)dxdydz равен
T
T
a) 6;
b) -3;
c) 9;
d) 0.
13
Задание 39.
Выберите тройной интеграл, значение которого для любой области T R3 неотрицательно.
a) ∫∫∫(x2 + z2 )dxdydz ;
b) ∫∫∫(x2 + y2 − z2 )dxdydz ;
T
T
c) ∫∫∫(x2 y2 − z2 )dxdydz ;
d) ∫∫∫(2x + yz)dxdydz .
T
T
Задание 40.
Выберите интеграл, к которому сведется ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz при переходе к
цилиндрическим координатам.
T
a) ∫∫∫ f (ρcos ϕ,ρsin ϕ, z)ρdϕdρdz ;
b) ∫∫∫ f (ρcos ϕ,ρsin ϕ, z)dϕdρdz ;
T
T
c) ∫∫∫ f (ρcos ϕ,ρsin ϕ,0)ρdϕdρdz ;
d) ∫∫∫ f (ρcos ϕ,ρsin ϕ,0)dϕdρdz .
T
T
Задание 41.
Выберите выражение, которое определяет тройной интеграл.
n
a) lim ∑ f (xi , yi , zi ) Vi ;
λ→0 i=1
n
c) lim ∑ f (xi , yi , zi ) Si ;
λ→0 i=1
n
b) ∑ f (xi , yi , zi ) Vi ;
i=1
n
d) ∑ f (xi , yi , zi ) Si .
i=1
Задание 42.
1
2
3
Вычислите тройной интеграл ∫dx∫dy∫dz .
0
0
0
a) 6;
b) 2
c) 5;
d) 0.
Задание 43.
Укажите, чему равен якобиан преобразования при переходе от прямоугольных
координат
(x, y, z)
к цилиндрическим (ϕ,ρ, z)
a) ρ;
b) cos ϕ;
c) sin ϕ;
d) 1.
Задание 44.
Область T =T1 T2
изображена
на рисунке. Тогда
z
y
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz равен
T
O
T1
a) ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz + ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ;
T2
T1
T2
x
b) 2∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ;
T1
14
c) ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz − ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ;
d) 0.
T1
T2
Задание 45.
π
2
1
Вычислите повторный интеграл в полярных координатах ∫dϕ∫
ρdρ∫dz .
0
0
0
a) 2π;
b) π;
c) π ;
d) 0.
2
Задание 46.
Поверхностный интеграл ∫∫(2z + y2 )dσ
σ
равен 6. Определите, чему равен ∫∫(4z + 2 y2 )dσ.
σ
a)12;
b)3;
c)-3;
d)0.
Задание 47.
Выберите двойной интеграл, к которому сведется
z
z = 2
− x − 2 y
поверхностный интеграл ∫∫zdσ. Поверхность σ
y
σ
изображена на рисунке.
D
a) ∫∫(2 − x −2 y) 6dxdy ;
b) ∫∫(x + 2 y) 6dxdy ;
D
D
x
Задание 48.
Если μ(x, y, z) = x2 равна.
a) ∫∫(x2 + 2z)dσ;
σ
c) ∫∫ 6dxdy ;
d) ∫∫6 6dxdy.
D
D
+ 2z плотность поверхности σ, то масса поверхности σ
b) ∫∫(2x + 2)dσ;
c) ∫∫ 4x2 + 4dσ;
d) ∫∫2zdσ.
σ
σ
σ
Задание 49.
Выберите выражение, которое определяет дифференциал площади поверхности, если поверхность задается уравнением z = z (x, y).
a) 1+(z′x )2 +(z′y )2 dxdy ;
b)
1+ z2 dxdy ;
c) (z′x + z′y )dxdy ;
d)
z′x z′y dxdy .
15
Задание 50.
Если поверхность σ разбита кривой на две части σ1 и σ2 , то ∫∫ f (x, y, z)dσ
равен.
σ
a) ∫∫ f (x, y, z)dσ+ ∫∫ f (x, y, z)dσ; b) 2∫∫ f (x, y, z)dσ;
σ1
σ2
σ2
c) ∫∫ f (x, y, z)dσ ∫∫ f (x, y, z)dσ;
d) ∫∫ f (x, y, z)dσ − ∫∫ f (x, y, z)dσ.
σ1
σ2
σ1
σ2
Задание 51.
Укажите, чему равен интеграл ∫∫dσ .
σ
a)площади поверхности σ ;
b)площади проекции поверхности σ на плоскость Oxy ;
c)нулю;
d)сумме площадей проекций поверхности σ на координатные плоскости.
Задание 52.
Если ∫∫(x + y + z)dσ = 2 , а ∫∫ ydσ = −1, то ∫∫(x + 2 y + z)dσ равен.
σ
σ
σ
d) 0.
a) 1;
b) 3;
c) −2;
Задание 53.
Укажите задачу, которая приводит к понятию поверхностного интеграла первого рода.
a)задача о вычислении массы поверхности;
b)задача о вычислении объема цилиндрического тела, ограниченного сверху заданной поверхности;
c)задача о вычислении количества жидкости, протекающей через поверхность;
d)задача о вычислении работы по перемещению точки по контуру, ограничивающему поверхность.
Задание 54.
Из приведенных интегралов выберите тот, который для любой поверхности σ неотрицательный.
a) ∫∫(x2 + 2)dσ ;
b) ∫∫xydσ ;
c) ∫∫(x + y)dσ ;
d) ∫∫xydσ .
σ
σ
σ
σ
16
Задание 55.
Закончите формулировку теоремы о среднем: «Если функция f (x, y, z) непрерывна на поверхности σ , то на этой поверхности найдется хотя бы одна такая точка (x, y, z ), что…»
a) ∫∫ f (x, y, z)dσ = f (x, y, z )Sσ , где Sσ
- площадь поверхности σ ;
b)
σ ∫∫
f (x, y, z)dσ = f (x, y, z )S(xy),
где
S(xy)
-
площадь
проекции
σ
поверхности σ на плоскость Oxy ;
c)
∫∫
f (x, y, z)dσ = f (x, y, z )S(xz) ,
где
S(xz)
-
площадь
проекции
σ
поверхности σ на плоскость Oxz ;
d)
∫∫
f (x, y, z)dσ = f (x, y, z )S(yz),
где
S(yz)
-
площадь
проекции
σ
поверхности σ на плоскость Oyz .
Задание 56.
Если
∫∫ f (x, y, z)dσ = 2 ,
а
∫∫g (x, y, z)dσ = 3, то определите, чему равен
σ
σ
f
(x, y, z)− g (x, y, z) dσ .
∫∫
σ
a) −1;
b) 1;
c) 5 ;
d) 6.
Задание 57.
Поверхность
σ =σ1 σ2
изображена
на
рисунке.
z
∫∫ f (x, y, z)dσ = 3 ,
∫∫ f (x, y, z)dσ =1.
Определите,
σ1
y
σ1
σ2
O
чему равен ∫∫ f
(x, y, z)dσ .
σ2
σ
c) 6;
d) 8.
x
a) 4;
b) 2;
Задание 58.
уравнением z = z (x, y).
D
Поверхность σ
задается
- проекция σ на
плоскость
Oxy .
Выберите
двойной
интеграл,
к
которому
сведется
∫∫ f (x, y, z)dσ
σ
a) ∫∫
f (x, y, z (x, y)) 1+(z′x )2 +(z′y )2 dxdy ;
b) ∫∫ f (x, y, z (x, y))dxdy
D
f (x, y, z (x, y))z′x z′y dxdy ;
D
(x, y,0)dxdy .
c) ∫∫
d) ∫∫ f
D
D
17
Задание 59.
z
Вычислите
поверхностный интеграл
∫∫
dσ
.
z =1− y2
σ
5 − 4z
y Поверхность σ изображена на рисунке.
x
1
a) 2;
b) 4;
c) 6;
d) 8.
2
Задание 60.
Укажите,
какие
значения может
принимать
поверхностный
интеграл
∫∫(
x2
)
+ 2xy dσ .
σ
a) любого знака;
b) только положительные;
c) только неотрицательные;
d) только отрицательные.
Задание 61.
рода ∫∫3dxdy по
z
Вычислите поверхностный интеграл II
1
σ
нижней стороне плоскости σ , изображенной на рисунке.
O
1
y
a) -3; Б) 3;
В) −6;
Г) 6.
2
x
Задание 62.
σ
Закончите
определение: «Если для любой точки поверхности
и любого
замкнутого контура на ней окажется, что после обхода контура направление нормали не изменится, то поверхность называется…»
a) двусторонней;
b) односторонней;
c) трехсторонней;
d) четырехсторонней.
Задание 63.
Если поверхность σ задается уравнением x =ϕ(y, z), нормаль к поверхности образует острый угол с осью Ox , а D -проекция поверхности, σ на плоскость Oyz , то поверхностный интеграл ∫∫F (x, y, z)dydz равен
σ
∫∫
F
(
)
b) −
∫∫
F
(
)
a)
ϕ(y, z), y, z dydz ;
ϕ(y, z), y, z dydz ;
D
D
c) ∫∫F (0, y, z)dydz ;
d) −∫∫F (0, y, z)dydz .
D
D
18
Задание 64.
Если σ - цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Ox , то поверхностный интеграл ∫∫ f (x, y, z)dydz равен
σ
a) 0; b) ∫∫ f (x,0, z)dydz ;
c) ∫∫ f (0, y, z)dydz ;
d) ∫∫ f (x, y,0)dydz .
σ
σ
σ
Задание 65.
Если поверхностный интеграл ∫∫(x − yz)dxdz по выбранной стороне
σ
поверхности σ равен 2, то ∫∫(yz − x)dxdz по той же стороне поверхности
равен
σ
b) 2;
c) 0;
d) 3.
a) −2;
Задание 66.
Если поверхностный интеграл ∫∫(2 y + xz2 )dxdz по выбранной стороне
σ
∫∫(
)
поверхности σ равен 1, то интеграл
2 y
+ xz2
dxdz по противоположной
стороне поверхности σ
равен.
σ
c) 0;
d) 2.
a) −1;
b) 1;
Задание 67.
Если
поверхность σ
разбита кривой
на
две
части σ1 и σ2 , то
∫∫F (x, y, z)dxdz равен
σ
a) ∫∫F (x, y, z)dxdz + ∫∫F (x, y, z)dxdz ;
b);
σ1
σ2
∫∫F (x, y, z)dxdz ∫∫F (x, y, z)dxdz
σ1
σ2
c) 2∫∫F (x, y, z)dxdz ;
d) ∫∫F (x, y, z)dxdz − ∫∫F (x, y, z)dxdz .
σ1
σ1
σ2
Задание 68.
Укажите, какая поверхность из перечисленных будет односторонней.
a) лента Мебиуса;
b) однополостный гиперболоид;
c) двуполостный гиперболоид;
d) эллипсоид.
19
Задание 69.
Если ∫∫P(x, y, z)dydz
по
выбранной
стороне
поверхности σ
равен 2,
а
σ
∫∫Q(x, y, z)dxdz
по
той
же
стороне
поверхности равен
−1,
то
σ
∫∫P(x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dxdz равен.
σ
a) 1;
b) −1;
c) 3;
d) −2.
Задание 70.
∫∫(x2 + y2 + z2 )dxdy
z
Укажите,
чему равен
по
2
x2 + y2
=1
σ
внешней стороне поверхности изображенной на
y
рисунке.
a) 0;
b)1;
c) 2;
d) −1.
x
1
Задание 71.
интеграл ∫∫Pdydz +Qdxdz + Rdydx
Укажите,
какому
интегралу
равен
по
σ
внешней
стороне
замкнутой
поверхности
σ
в
соответствие
с
теоремой
Остроградского-Гаусса,
если
T
-
это
область, которую
ограничивает
поверхность σ .
∂P ∂Q ∂R
a)∫∫∫T ∂x + ∂y + ∂z dxdydz ;
c)∫∫∫P Q Rdxdydz ;
T
b) ∫∫∫(P +Q + R)dxdydz ;
T
d) ∫∫∂P ∂Q ∂Rdxdydz .
T ∂x ∂y ∂z
Задание 72.
Если интеграл ∫∫(x + 2z)dxdy
по выбранной стороне поверхности σ равен
σ
−3, то интеграл ∫∫(3x + 6z)dxdy по той же стороне поверхности σ равен
σ
b) 9 ;
c) 0;
d) 3.
a) −9;
20
Задание 73.
Используя формулу Стокса перехода от криволинейного интеграла к поверхностному, определите чему равен интеграл ∫2dx −5dy +7dz , если L -
Поверхности σ1 и σ2 и направление нормалей изображены
z
n1
σ1
на рисунке. Определите, как связаны между собой потоки
σ2
векторного
поля
a = xk
через
эти поверхности
в
O
y
указанных направлениях?
x
a) равны по модулю, по противоположных знаков;
n2
b) равны;
c) поток через σ1 в два раза больше, чем через σ2 ;
d) поток через σ1 в два раза меньше, чем через σ2 .
Задание 99.
Укажите, какая задача приводит к понятию потока векторного поля через заданную поверхность.
a)задача о количестве жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени;
b)задача о вычислении площади поверхности;
c)задача о вычислении объема тела, ограниченного замкнутой поверхностью;
d)задача о вычислении массы тела, ограниченного заданной поверхностью.
Задание 100.
z
z =1− y2
1 n
σ
y
x 1
1
Вычислите поток векторного поля a = xi через поверхность σ, изображенную на рисунке. Направление нормали указано на рисунке.
a) 0; b) 2; d) 1.
25
Задание 101.
Поверхность σ задается уравнением z = z(x, y) . Нормаль к ней образует острый угол с осью Oz . D - проекция σ на плоскость Oxy . Выберите двойной интеграл, к которому сведется вычисление потока векторного поля a = ax (x, y, z)i + ay (x, y, z) j + az (x, y, z)k через поверхность σ.
a)∫∫D ax (x, y, z(x, y))(−z′x )+ ay (x, y, z(x, y))(−z′y )+ az (x, y, z(x, y)) dxdy ;
b)∫∫D ax (x, y, z(x, y))z′x + ay (x, y, z(x, y))z′y + az (x, y, z(x, y)) dxdy ;
c)∫∫D ax (x, y, z(x, y))z′x + ay (x, y, z(x, y))(−z′y )+ az (x, y, z(x, y)) dxdy ;
d)∫∫D ax (x, y, z(x, y))(−z′x )+ ay (x, y, z(x, y))z′y + az (x, y, z(x, y)) dxdy .
Задание 102.
Определите, чему равен поток
векторного
поля
a = xzj , если
σ -
цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Oy .
a) 0;
b) 1;
c) 2;
d) 3.
Задание 103.
Выберите интеграл,
который
определяет
поток
векторного
поля
a = 3xi − zj + 2k через
поверхность σ. α,β, γ
- углы, которые образуют
нормаль к поверхности σ с координатными осями.
a) ∫∫(3xcos α − z cosβ+ 2cos γ)dσ;
b) ∫∫(3x − z + 2)dσ;
D
D
c) ∫∫(3cos α)dσ;
d) ∫∫(3cos α −cosβ+ cos γ)dσ.
D
D
Задание 104.
Дивергенция векторного поля a равна нулю. Поток поля a через поверхность
z
σ1
σ1 равен 2. Определите, чему равен поток поля a
n1
через поверхность σ2 . Поверхности σ1 и σ2 , а
также направления нормалей изображены на
σ2 n2
рисунке.
b) 2;
c) 0;
d) 4.
O
a) −2;
y
x
26
Задание 105.
Если поток векторного поля a через поверхность σ в выбранном направлении равен 3, то чему равен поток этого поля через поверхность σ в
противоположном направлении?
c) 0;
d) 6.
a) −3;
b) 3;
Задание 106.
Выберите формулу, по которой считается циркуляция C векторного поля
a = axi + ay j + az k по замкнутому контуру L .
a) C = ∫ax dx + ay dy + az dz ;
b) C = ∫
∂a
x
dx
+ ∫
∂ay
dy
+ ∫
∂a
z dz ;
∂y
L
L
∂x
L
L
∂z
c) C =
∫
(
a
+ a
+ a
z )
d) C =
∫
∂ax
∂ay
∂az
x
y
dl ;
L ∂x
+
∂y
+
∂z
dl .
L
Задание 107.
Найдите, циркуляцию векторного поля a = 2 j
y
C
B
по линии
1
ABCOA, изображенной на рисунке.
A x
а) 0;
b) 2;
c) −2;
d) 4.
O
1
Задание 108.
Найдите rota векторного поля a = 2 yi + xj + zk . a) −k ; b) − j ; c) j ; d) 2k .
Задание 109.
Дано векторное поле a = xi +(y + z) j +3k . Выберите выражение соответствующее rota .
i
j
k
i
j
k
a)
∂
∂
∂
; b)
∂
∂
∂
;
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
x
(y + z)
3
1
1
0
27
i
j
k
i
j
k
c)
∂
∂
∂
;
d)
∂
∂
∂
.
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
x
2
y
2
1
1+ z
0
+ yz
3z
2
2
Задание 110.
Если циркуляция поля a по замкнутому контуру L в заданном направлении
равна 3, то циркуляция поля a
по этому же контуру в противоположном
направлении равна
−3;
b) 3;
c) 0;
d) 6.
a)
Задание 111.
Используя теорему Стокса, найдите циркуляцию поля
a = 2i + 2 j +3k по
замкнутому контуру L .
a) 0;
b) 7;
c) 12 ;
d) 17 .
Задание 112.
Циркуляция векторного поля a = xi + 2 yj + xzk
по некоторому замкнутому
контуру
равна
3.
Определите
чему
равна
циркуляция
поля
b = 2xi + 4 yj + 2xzk
по тому же контуру в том же направлении.
a) 6;
b) −3;
c) −6;
d) 0.
Задание 113.
Замкнутый,
контур
L ,
изображенный
на рисунке
y
L2
cостоит из двух частей L1 и L2 . Линейный интеграл
поля a по кривой L1 равен 2. Линейный интеграл по
кривой
L2
равен
3.
Определите
чему
равна
L1 x циркуляция поля a по контуру L .
d) 0.
O
a) 5 ;
b) 1;
c) 1;
Задание 114.
Выберите поверхностный интеграл, которому в соответствие с теоремой Стокса равна циркуляция векторного поля a по замкнутому контуру L . σ- поверхность, которую ограничивает контур L .
a) ∫∫(rota)n dσ;
b) ∫∫divadσ;
c) ∫∫(a rota)dσ;
d) ∫∫grad (diva)dσ.
σ
σ
σ
σ
28
Задание 115.
y
Вычислите
линейный
интеграл
векторного поля
y = x A
a = (x − y)i
+ 2 yj
по линии OA ,
изображенной на
рисунке.
a) 1;
b) 2;
c) 0;
d) 4.
x
O 1
Задание 116.
Ротор векторного поля a равен xk , σ - поверхность, которую ограничивает контур L . Нормаль n соответствует положительному направлению обхода контура L . α,β, γ углы, которые образуют n с осями координат. Выберите поверхностный интеграл, к которому сведется вычисление циркуляции по контуру L в соответствии с формулой Стокса.
a) ∫∫xcos γdσ;
b) ∫∫xcosβdσ;
σ
σ
c)∫∫xcosαdσ; d) ∫∫x(cos α + cosβ+ cos γ)dσ.
σσ
Задание 117.
rota = 3i . Определите чему равен rot2a .
a) 6i ; b) −6i ; c) 0; d) 5i .
Задание 118.
rota = 2k , а rotb = 5 j . Определите чему равен rot (a +b ).
a) 5 j + 2k ; b) 7i ; c) 7k ; d) 7 j .
Задание 119.
z C
Линейные интегралы векторного поля
a по кривым
AB, BC,CA равны соответственно 2,−2,3. Определите чему
O
B
равна циркуляции этого поля a по контуру ABCA.
y
a) 3;
b) 0;
c) 7;
d) −12.
A
x
Задание 120.
y m
A• •B n x
Линейные интегралы векторного поля a по кривым AnB
и AmB равны 3.
Определите чему
равна циркуляция
поля a по контуру AnBmA?
−6.
a) 0;
b) 6;
c) 9 ;
d)
O
29
Задание 121.
Найдите U , если U = x + 2 y − z2 , а =
∂
i +
∂
j +
∂
k .
∂x
∂y
∂z
a) i + 2 j − 2zk; b) xi + 2 yj − z2k;
c) 0 ;
d) −2k .
Задание 122.
Закончите определение: «скалярное поле U называется гармоническим, если
a) U = 0;
b) U = 0 ;
c) ×( U )= 0;
d) ( U )= 0.
Задание 123.
Выберите равенство, которое определяет условие потенциальности векторного поля a .
a) ×a = 0; b) a = 0 ; c) a = ×b; d) a ≠ 0.
Задание 124.
Закончите фразу: «Если a = ×b , то векторное поле a …»
a) соленоидальное;
b) гармоническое;
c) потенциальное;
d) непотенциальное.
Задание 125.
Закончите фразу: « Векторное поле a называется потенциальным если…»
a) a = U;
b) a = 0 ;
c) a = ×b;
d) ( a)= 0.
Задание 126.
Векторное поле a является соленоидальным, если
a) a = 0; b) ×a = 0 ; c) a = U; d) ×a = i + j + k.
Задание 127.
Запишите с помощью - оператора Гамильтона diva . a) a ; b) × ×a ; c) ×a ; d) ( a).
Задание 128.
Если ×a = 3i + 2 yj − xk , то (×a) равно a) 2; b) 3 + 2 y − x; c) −6xy ; d) 4.
Задание 129.
Найдите u , если u = x2 + 2 y + 2z .
30
a) 2; b) 2x + 4 ; c) 0; d) 2x .
Задание 130.
Укажите, какое слагаемое нужно добавить в определение оператора
Гамильтона =
∂
i
+
∂
j +….
∂x
∂
∂x
∂
∂
∂
a)
k ;
b) 2
k ;
c) −2
k ;
d) −
k .
∂z
∂z
∂z
∂z
Задание 131.
Запишите с помощью - оператора Гамильтона rota .
d) ( a).
a) ×a;
b) × ×a ;
c) a;
Задание 132.
Выберите выражение, которое для любого векторного поля a равно числу ноль
a) (×a);
b) ( a);
c) ×(×a);
d) ×a.
Задание 133.
Выберите выражение, которое для любого скалярного поля U равно нольвектору.
a) ×( U );
b) ( U );
c) U;
d) 2U.
Задание 134.
Найдите a , если a = 2xi + y2 j + xzk .
a) 2 + 2 y + x;
b) 2x + y2 + xz; c) x2 +
y3
+
xz2
;
d) 2x2 y2z.
3
2
Задание 135.
Найдите ×a , если a = zi + yj + 2xk .
a) − j; b) j ; c) k ; d) −k .
31
МАТЕМАТИКА, часть 1
4-й семестр
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
Технический редактор Т.В. Шабанова Сводный темплан 2009 г.
