Заключение

Изложенный в опорном конспекте лекций учебный материал позволит студентам овладеть необходимыми знаниями по высшей математике, а также послужит основой для изучения остальных технических дисциплин.

3.3. Глоссарий

Векторное поле - если в каждой точке M некоторой пространственной области определена векторная величина, то говорят, что в этой области задано векторное поле.

Волновое уравнение одномерное или уравнение свободных колебаний струны

Гармонической функцией называется дважды непрерывно дифференцируемая

Диаметр области - максимальное расстояние между всевозможными парами точек области.

Дивергенция векторного поля –

z = z(x, y) - уравнение поверхности σ.

132

Задача Дирихле – краевая задача I рода для уравнения Пуассона или Лапласа

U = f , U S =U0 .

Задача Коши для волнового уравнения – задача по нахождению решения

Задача Коши для уравнения теплопроводности – задача по нахождению решения уравнения ∂∂Ut = a2 U , t > 0 при начальном условии U t =0 = ϕ .

Задача Неймана – краевая задача II рода для уравнения Пуассона или Лапласа

Интеграл Пуассона – решение одномерного уравнения теплопроводности с начальным условием U t =0 = ϕ(x), t > 0

b

Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода ∫K (x, y)U (y)dy = f (x).

a

Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода

b

U (x)= λ∫K (x, y)U (y)dy + f (x).

a

Интегральная сумма для функции f (M ) в пространственной области –

133

Корректная краевая задача – задача, у которой существует единственное решение и достаточно малому изменению начальных данных соответствует сколь угодно малое изменение решения.

Краевая задача – задача по нахождению решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым условиям.

Метод Фурье – способ решения линейного однородного уравнения в виде суммы частных решений с некоторыми коэффициентами, используя метод разделения переменных.

Метод Фурье для решения уравнения колебаний струны конечных размеров

– решение одномерного волнового уравнения с начальными условиями в виде

U (t, x)= ∑∞ An cos nπlat + Bn sin nπlat sin nπl x,

n=1

Метод Фурье для решения задачи о распространении тепла в стержне –

решение уравнения теплопроводности на отрезке в виде

Начальные условия – значения неизвестной функции U (x, y, z, t ) и ее

Неравенством Буняковского называют неравенство | ( f , ϕ) |≤ ( f , f )2 (ϕ, ϕ)2 ,

которое на языке интегралов имеет вид

134

Нормой функции f называется величина

Нормированной (или нормальной) функцией ϕ L2′(a, b) называется функция

1

ϕ, если её норма равна единице || ϕ||= (ϕ, ϕ)2 =1.

Обобщенная функция – линейный непрерывный функционал на множестве финитных, бесконечно дифференцируемых функций.

Ортогональными называются две функции ϕ, ψ L2′(a, b) , если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (ϕ, ψ) = 0.

ϕ1 , ϕ2 ,..., ϕn ,..., если они имеют положительную норму и попарно ортогональны.

поверхность.

135

Поверхностный интеграл второго рода по переменным х и у -

Потенциальное векторное поле - поле a потенциально, если существует

скалярное поле U для которого a служит градиентом, т.е.

a = gradU .

Поток векторного поля a через поверхность σ в выбранную сторону - поверхностный интеграл ∫∫andσ, где an - проекция поля a на единичную

σ

нормаль к поверхности σ, направление которой соответствует выбранной стороне поверхности.

Принцип максимума – гармоническая функция в конечной области достигает своего максимального и минимального значения на границе области. Пространством L2′ или L2′(a, b) будем называть множество всех кусочно-

непрерывных функций, определенных на [a, b], для которых введено скалярное

b

произведение ( f , ϕ) = ∫ f ( x)ϕ( x)dx.

a

Разложением функции f (x) в ряд по синусам называют ряд

136

137

Рядом Фурье функции f L2′ пo ортогональной системе ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn ,...

∞

ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn ,... ( || ϕk ||=1 , k =1, 2,... ) имеет вид f ∑( f , ϕk )ϕk , где

k =1

числа ( f , ϕk ) - называют коэффициентами Фурье.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на отрезке [a, b] (a < b) функций f и ϕ будем называть интеграл

b

( f , ϕ) = ∫ f (x)ϕ(x)dx.

a

Смешанная краевая задача для уравнений гиперболического и параболического типа – найти решение уравнения, удовлетворяющего как начальным, так и граничным условиям.

Собственные значения оператора Лапласа – числовые значения λ, для которых уравнение U = λU имеет ненулевые решения U .

Собственные функции оператора Лапласа – ненулевые решения U уравнения

U = λU.

Соленоидальное (трубчатое) векторное поле - поле a соленоидально, если

существует векторное поле b , для которого a является ротором.

Сторона двусторонней поверхности - совокупность ее точек вместе с приписанными нормалями в них, непрерывно переходящими друг в друга.

Телеграфное уравнение

замкнутой области Ω .

Формула Даламбера для одномерного волнового уравнения с начальными

где поверхность σ - граница тела Т.

Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме –

∫∫andσ = ∫∫∫divadxdydz .

σT

139

Формула Стокса в координатной форме –

∫ Pdx +Qdy + Rdz =

L

3.4. Методические указания к проведению практических занятий

Основной целью проведения практических занятий является выработка навыков решения задач по изучаемой теме. Для студентов всех форм обучения часть занятий, в соответствии с количеством часов, указанных в тематических планах (стр. 7-10), проводится в аудитории, в течение семестра, во время сессии или на форуме учебного сайта СЗТУ. Другая часть занятий ведется с использованием ДОТ: студенты рассматривают типовые задачи по изучаемой теме ([4], [6]), выполняют задания, выдаваемые персонально преподавателем. Инициативная работа на практических занятиях позволяет студентам набрать дополнительные баллы в балльно - рейтинговой системе.

140