3 Способ. Символьное решение систем уравнений

Во многих случаях решение системы уравнений может быть найдено не только численно, но и аналитически. Для этого также используется ключевое слово Given и функция Find, но вместо знака равенства после функции следует поставить символического преобразования  (Ctrl+.):

Решение записано в виде матрицы. Каждый столбец соответствует паре (x,y), то есть, найдены решения и.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, методом обратной матрицы, методом Крамера, с помощью встроенной функции Lsolve.

Рассмотрим решение системы уравнений (Ax=b) тремя способами: а) путем обращения матрицы коэффициентов А; б) с помощью встроенной функции lsolve (A, b); в) методом Гаусса

Порядок решения

1. Задаем переменную ORIGIN:

2. Записываем матрицу коэффициентов и вектор свободных членов:

3. Находим решение системы:

4 способ (метод обратной матрицы)

5 способ ( с помощью встроенной функции Lsolve)

6 способ (методом Гаусса)

А) сформировать расширенную матрицу системы, используя функцию augment (A, b), которая формирует матрицу, добавляя к столбцам матрицы системы А справа столбец правых частей b (в приведенном примере расширенной матрице присвоено имя Ar).

В) Функция rref (Ar) выполняет элементарные операции со строками расширенной матрицы системы Ar –– приводит ее к ступенчатому виду с единичной матрицей в первых столбцах, т.е. выполняет прямой и обратный ходы гауссова исключения, Ag –– имя результата (ступенчатой формы матрицы Ar).

С) Функция submatrix (Ag, 1, 3, 4, 4), выделяя последний столбец матрицы Ag, формирует столбец решения системы. Проверка позволяет убедиться в правильности решения.

7 Способ (методом Крамера)

Сначала необходимо сформировать три матрицы А1, А2, А3, в которых последовательно коэффициенты при неизвестных заменяются свободными членами соответствующего уравнения. Т.е. столбцы матрицы А последовательно заменяются вектором b.

Вычислим определители четырех матриц: А, А1, А2, А3. Назовем их ∆А, ∆А1, ∆А2, ∆А3.

Корни системы находятся делением определителя матрицы с замененным столбцом на определитель матрицы А.

Как видим, решения системы совпадают при решении системы любым из перечисленных способов.

Аппроксимация функций

Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции g(x) (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций f(x) и g(x) могут быть различные.

В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной.

Аппроксимация функции по методу наименьших квадратов

Пусть в результате проведенного эксперимента получена таблица значений изменяемой величины (табл. 4).

				Таблица 4
X	x1	x2	...	xn
Y	y1	y2	...	yn

При анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами х и y, т.е. функцию заданного типа:

y = F(x).

(2)

Как правило, общий вид этой функциональной зависимости известен, а некоторые числовые параметры закона неизвестны.

Вид функциональной зависимости y = F(x) выбирают из известных графиков элементарных функций. К таким элементарным функциям относятся:

1) y = kx+b –– линейная;

2) y = kx^m –– степенная;

3) –– экспоненциальная;

4) y = kln(x)+b –– логарифмическая;

5) –– гиперболическая;

6) y=ax²+bx+c –– квадратичная;

7) –– полином и др.

Требуется найти функцию F(x), причем такую, чтобы сумма квадратов отклонений

(3)

была минимальной. В этом есть суть метода наименьших квадратов. Так как x_i и y_i есть постоянные числа, то S есть функция параметров a, b, c, k, m и т.д. Следовательно, нужно найти минимум функции нескольких переменных. Необходимое условие существования экстремума функции — равенство нулю всех частных производных первого порядка. Получаем систему с количеством уравнений и неизвестных, равным количеству параметров функции F(x).

Решив эту систему относительно параметров a, b, c, k и m, находим реальный вид аппроксимирующей зависимости. Так, если требуется построить многочлен

(4)

то имеем систему уравнений, решая которую находим неизвестные коэффициенты многочлена (4).

(5)