Решение уравнений

1. Решение уравнения с одним неизвестным с помощью функции root

1 способ. Используется встроенная функция вида root(F(x), x),

где F(x) –– функция, представляющая собой левую часть уравнения вида F(x)=0.

Предварительно следует задать начальное значение переменной x, относительно которой решается уравнение, определяя его, например, из графика. В случае нескольких корней уравнения в ответе после нажатия клавиши (=) получим корень, ближайший к заданному значению. Если корень не может быть найден, то либо он не существует, либо надо изменить начальное значение переменной х.

Пример. Решить уравнение atan(x)=на отрезке [–10; 10] с точностью = 10^–5.

1. Приводим уравнение в виду f(x)=0

2. Построим график функции f(x).

3. Зададим точность вычислений

TOL:=10^-5

4. Задавая различные начальные значения переменной х, получим несколько корней уравнения. По графику можно определить приближенное решение –– точки пересечения функции f(x) с осью абсцисс. Всего таких точек три, т.е. уравнение имеет на этом отрезке 3 корня.

2 способ. Использование функции root вида root(F(x),x,a,b), где a, b –– границы отрезка, содержащего единственный корень;

2. Нахождение корней полиномов

Для нахождения корней полиномов (многочленов) имеется встроенная функция polyroots(a). Аргументом функции является вектор коэффициентов полинома .

Пример. Пусть требуется решить уравнение вида x³ + 2x² – 1 = 0

Вектор а имеет вид:

Т.к. в данном примере в многочлене отсутствует 1-я степень (х¹), то на ее месте следует писать 0. Многочлен можно представить в виде: x³ + 2x² +0 x¹– 1 x⁰ = 0. Поэтому в векторе а появился элемент, равный нулю.

3. Нахождение корней уравнений путем символьных преобразований

Во многих случаях, MathCAD позволяет найти аналитическое решение уравнения.

1 способ. Для этого необходимо воспользоваться пунктом Переменные/ Вычислить из меню Символы. Для того чтобы найти решение уравнения необходимо записать выражение и выделить в нем переменную (поставить указатель курсора возле переменной). Это необходимо для того, чтобы показать, какая именно величина является переменной, а какая –– фиксированным параметром:

После этого выбираем пункт Переменные/Вычислить из меню Символы и решение готово:

В данном случае был найден только один корень, хотя, очевидно, их бесконечно много.

В случае полинома MathCAD, а точнее –– встроенный символический процессор Maple –– находит все корни:

Для этого примера найдено 2 корня, хотя они и вырождены. Пример с комплексными корнями:

.

2 Способ. С помощью ключевого слова solve

Пример.

Решение систем уравнений и неравенств

1 способ. С помощью встроенной функции Find(x,y).

2 Способ. С помощью встроенной функции Minerr(X,y).

Для решения системы уравнений или неравенств необходимо выполнить следующее:

1. Задать начальные приближения для всех неизвестных, входящих в систему. MathCAD решает уравнения при помощи встроенных итерационных методов. На основе начального приближения строится последовательность, сходящаяся к искомому решению.

2. Напечатать ключевое слово Given (Дано). Оно указывает MathCAD, что далее следует система уравнений. Ключевое слово Given не пригодно для поиска индексированных переменных.

3. Ввести уравнения и неравенства в любом порядке ниже или правее ключевого слова Given. Удостоверьтесь, что между левыми и правыми частями уравнений стоит символ = (булево равенство). Используйте сочетание клавиш Ctrl и = для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >,  и .

4. Признаком окончания системы служит функция Find, если необходимо найти точное решение системы, либо функция Minerr, если система не может быть решена точно, и необходимо найти наилучшее приближение, обепечивающее минимальную погрешность. Функции Minerr и Find должны иметь столько же или меньше аргументов, сколько уравнений и неравенств содержит блок Given.

В том случае, если решение не может быть найдено при заданном выборе начального приближения, появится сообщение Did not find solution –– решение не найдено.

Пример. Решить систему уравнений при следующих ограничениях:

,

Можно сделать вывод, что в обоих способах получился один и тот же результат.