Решение

Объемная плотность энергии (т.е. энергия, заключенная в единице объема) определяется формулами

или .

Дано:

В = 1 Тл

w_т = 200

- ?

Из второй формулы можно определить  непосредственно:

Вычислим :

.

Ответ:  = 2000.

Задача 9. При некоторой силе тока плотность энергии магнитного поля соленоида (без сердечника) w = 0,2 . Во сколько раз увеличится плотность энергии поля при той же силе тока, если соленоид будет иметь железный сердечник?

Решение

; (1)

Дано:

I₁ = I₂

H₁ = I₁ n, H₂ = I₂ n, I₁ = I₂, H₁ = H₂ ;

. (2)

При одном и том же токе напряженность поля будет одна и та же.

(нет сердечника).

Тогда

.

Из формулы (1) следует

.

Из графика зависимости В от Н (см. приложение) находим

В₂ = 1 Тл, В₂ = Н.

Тогда

;

.

Ответ: .

Задача 10. Катушка имеет сопротивление R = 10 Ом и индуктивность L = 0,144 Гн. Через сколько времени после выключения в катушке возникнет ток, равный половине установившегося?

Решение

При выключении тока в катушке он не мгновенно становится равным нулю. При убывании тока в катуш-ке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока. Возникает экстраток размыкания. Этот ток будет изменяться по закону

Дано:

R = 10 Ом

L = 0,144 Гн

t - ?

,

где I₀ – установившийся ток в катушке (начальный ток), I – ток в момент времени t, R – сопротивление катушки, L – ее индуктивность.

Тогда

;

с.

Ответ: t  9 ^.10^-3 с.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. По катушке, индуктивность которой L = 0,03 мГн, течет ток I = 0,6 А. При выключении тока он изменяется практически до нуля за время t = 1,2^.10^-4 с. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре.

Ответ: Е_s = 0,15 В.

Задача 2. При помощи реостата равномерно увеличивают силу тока в катушке на I = 0,1 А в секунду. Индуктивность катушки L = 10^-2 Гн. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции.

Ответ: <Е_s > = 1 мВ.

Задача 3^*. Индуктивность катушки L = 2^.10^-3 Гн. Ток частотой  = 50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Чему равно среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей за интервал времени t, в течение которого ток в катушке изменится от минимального до максимального значения? Амплитудное значение силы тока I₀ = 10 А.

Ответ: Е_s = 4 В.

Задача 4. Катушка сопротивлением R₁ = 0,5 Ом с индуктивностью L = 4 мГн параллельно соединена с проводником сопротивлением R₂ = = 2,5 Ом, по которому течет постоянный ток I = 1 А. Определить количество электричества, которое будет индуцировано в катушке при размыкании цепи ключом k (рис.16.6).

Рис.16.6

Ответ: q = 1,33 мКл.

Задача 5. На картонный каркас длиной l = 50 см и площадью сечения S = 4 см² намотан в один слой провод диаметром d = 0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Вычислить индуктивность получившегося соленоида.

Ответ: L = 6,28 мГн.

Задача 6. Индуктивность соленоида, намотанного в один слой на немагнитный каркас, L = 1,6 мГн. Длина соленоида l = 1 м, сечение S = 20 см². Сколько витков приходится на каждый сантиметр длины соленоида?

Ответ: 8 витков на 1 см.

Задача 7. Сколько витков проволоки диаметром d = 0,4 мм с изоляцией ничтожной толщины нужно намотать на картонный цилиндр диаметром D = = 2 см чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью L = 1 мГн. Витки вплотную прилегают друг к другу.

Ответ: N = 1000 витков.

Задача 8. Соленоид индуктивностью L = 4 мГн содержит 600 витков. Чему равен магнитный поток, если сила тока, протекающего по обмотке, I = 12 А.

Ответ: Ф = 80 мкВб.

Задача 9. Индуктивность катушки без сердечника L = 0,02 Гн. Какое потокосцепление  создается, когда по обмотке течет ток I = 2 А? Какая <Е_s> возникнет в катушке, если ток выключить в течение Δt = 0,01 c?

Ответ:  = 0,04 Вб; <Е_s> = 4 В.

Задача 10. Длинный прямой соленоид, намотанный на немагнитный каркас, имеет N = 1000 витков. Индуктивность соленоида L = 3 мГн. Какой магнитный поток и какое потокосцепление создает соленоид при токе I = 1 А?

Ответ: Ф = 3 мкВб,  = 3 ^.10^-3 Вб.

Задача 11. Соленоид сечением S = 5 см² содержит N = 1200 витков. Индукция магнитного поля В внутри соленоида при токе I = 2 А равна 0,01 Тл. Определить индуктивность L соленоида.

Ответ: L = 3 мГн.

Задача 12. Соленоид содержит N = 1000 витков. Сечение сердечника S = 10 см². По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией В = 1,5 Тл. Найти среднее значение ЭДС, которая возникает на зажимах соленоида, если ток уменьшится до нуля за время t = 5^.10^{- 4} с.

Ответ: <Е> = 3000 В.

Задача 13. Обмотка соленоида с железным сердечником содержит N = 500 витков. Длина сердечника l = 50 см. Как и во сколько раз изменится индуктивность соленоида, если сила тока, протекающего по обмотке, возрастет от I₁ = 0,1 A до I₂ = 1 А (см. график в приложении).

Ответ: уменьшится в 6,54 раза.

Задача 14. Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой , во второй катушке возникает ЭДС индукцииE_i = 0,1 В. Определить коэффициент взаимной индукции катушек.

Ответ: М = 0,02 Гн.

Задача 15. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет N₁ = 251 виток. Средний диаметр тороида <D> = 8 см, диаметр витков d = 2 см. На тороид намотана вторичная обмотка, имеющая N₂ = 100 витков. При замыкании первичной обмотки в ней в течение t = 0,001 с устанавливается ток I = 3 А. Найти среднее значение ЭДС индукции, возникающей во вторичной обмотке.

Ответ: <E_i> = 0,118 В.

Задача 16. Какова индуктивность катушки с железным сердечником, если за время t = 0,5 с ток в цепи изменится от I₁ = 10 А до I₂ = 5 А, а возникшая при этом ЭДС самоиндукции Е_s = 25 В?

Ответ: L = 2,5 Гн.

Задача 17^*. На железный тороид, средний диаметр <D> которого 50 см, а площадь поперечного сечения S = 20 см², намотаны равномерно N = 600 витков проволоки, по которой пропускают ток I = 1,5 А. Магнитная проницаемость железа равна 400. Чему равна индуктивность тороида? Чему равен магнитный поток в тороиде?

Ответ: Ф = 5,8^.10^-4 Вб, L = 0,23 Гн.

Задача 18. Определить силу тока I в цепи через t = 0,01 с после ее размыкания. Сопротивление цепи R = 20 Ом, индуктивность L = 0,1 Гн. До размыкания в цепи шел ток I₀ = 50 А.

Ответ: I = 6,75 А.

Задача 19. Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 1 Гн. Через сколько времени сила тока замыкания достигает 0,9 предельного значения?

Ответ: t = 0,23 с.

Задача 20^*. Электрическую цепь сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 1 Гн разомкнули. Через сколько времени сила тока уменьшится до 0,001 первоначального значения?

Ответ: t = 0,69 с.

Задача 21. К источнику тока с внутренним сопротивлением r = 2 Ом подключена катушка, индуктивность которой L = 0,5 Гн, а сопротивление R = 8 Ом. Найти время, в течение которого ток в катушке, нарастая, достигает значения, отличающегося от максимального на 1 %.

Ответ: t = 0,23 с.

Задача 22^*. В цепи (рис.16.7) R₁ = 5 Ом, R₂ = 95 Ом, L = 0,34 Гн, E = 38 В. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало. Определить силу тока I в сопротивлении R₂ в следующих трех случаях: а) до размыкания цепи; б) в момент размыкания (t₁ = 0); в) через t₂ = 0,01 с после размыкания.

Рис.16.7

Ответ: а) I = 0,4 А; б) I = 7,6 А; в) I = 0,4 А.

Задача 23. Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки, индуктивность которой 0,001 Гн? Диаметр катушки 4 см, диаметр проволоки 0,6 мм. Витки плотно прилегают друг к другу.

Ответ: N = 380 витков.

Задача 24. 1) Найти индуктивность катушки, имеющей 400 витков на длине 20 см. Площадь поперечного сечения катушки 9 см²; 2) найти индуктивность этой катушки, если внутрь катушки введен железный сердечник. Магнитная проницаемость железа сердечника в условиях работы равна 400.

Ответ: 1) L = 0,9 мГн; 2) L = 0,36 Гн.

Задача 25. Катушка с железным сердечником имеет площадь поперечного сечения 20 см² и число витков, равное 500. Индуктивность катушки с сердечником равна 0,28 Гн при силе тока через обмотку в 5 А. Найти магнитную проницаемость железного сердечника в этих условиях.

Ответ:  =445.

Задача 26. Соленоид длиной 50 см и площадью поперечного сечения 2 см² имеет индуктивность 2^.10^-7 Гн. При какой силе тока объемная плотность энергии поля внутри соленоида равна 10^-3 ?

Ответ: I = 1 А.

Задача 27. Сколько витков на единицу длины имеет катушка, индуктивность которой L = 0,001 Гн, если при силе тока I = 1 А магнитный поток сквозь катушку Ф = 2^.10^{- 6} Вб?

Ответ: N = 500 витков.

Задача 28. Площадь поперечного сечения соленоида с железным сердечником равна 10 см². Найти магнитную проницаемость материала сердечника при условии, что полный магнитный поток через поперечное сечение соленоида равен 1,4^.10^-3 Вб.

Ответ:  = 445.

Задача 29. При какой силе тока, текущего через соленоид с железным сердечником, магнитный поток через поперечное сечение соленоида равен 1,4^.10^-3 Вб, если индуктивность соленоида при этом равна 0,44 Гн. Длина соленоида 1 м, площадь поперечного сечения 10 см².

Ответ: I = 2,8 А.

Задача 30^*. В соленоид длиной 50 см вставлен железный сердечник, для которого зависимость B = f (H) неизвестна. Число витков соленоида на единицу длины равно 400, площадь поперечного сечения соленоида 10 см². 1) Найти магнитную проницаемость сердечника при силе тока через обмотку соленоида в 5 А. Известно что, магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение соленоида с сердечником, равен 1,6^.10^-3 Вб; 2) найти индуктивность соленоида.

Ответ: 1)  = 640; 2) L = 6,4^.10^-2 Гн.

Задача 31^*. Имеется катушка длиной 20 см и диаметром 2 см. Обмотка катушки состоит из 200 витков медного провода площадью сечения 1 мм². Катушка включена в цепь с некоторой ЭДС. При помощи переключателя ЭДС выключается и катушка замыкается накоротко. Через сколько времени после выключения ЭДС сила тока в цепи уменьшится в 2 раза?

Ответ: t = 2,5^.10^-4 с.

Задача 32^*. Для измерения магнитной проницаемости железа из него был изготовлен сердечник тороида длиной l = 50 см и площадью поперечного сечения S = 4 см² . Одна из обмоток тороида имела N₁ = 500 витков и была присоединена к источнику ЭДС, другая имела N₂ = 1000 витков и была присоединена к гальванометру. Найти магнитную проницаемость железа, если известно, что при переключении в первичной обмотке тока в 1 А через гальванометр прошло количество электричества, равное 0,06 Кл. Сопротивление вторичной обмотки равно 20 Ом.

Ответ:  = 1200.

Задача 33. Индукция магнитного поля тороида со стальным сердечником возросла от В₁ = 0,5 Тл до В₂ = 1 Тл. Найти, во сколько раз изменилась объемная плотность энергии магнитного поля.

Ответ: 16 раз.

Задача 34. Найти плотность энергии магнитного поля в железном сердечнике соленоида, если напряженность намагничивающего поля Н = 1600 ? (см. график в приложении).

Ответ: w_т = 1,1^.10³ .

Задача 35. Соленоид содержит 1000 витков. Сила тока в обмотке соленоида I = 1 А, магнитный поток Ф = 0,01 Вб. Вычислить энергию магнитного поля.

Ответ: W_т = 5 Дж.

Задача 36. Катушка длиной l = 50 см и диаметром d = 5 см содержит N = 200 витков. По катушке течет ток I = 1 А. Определите: 1) индуктивность катушки; 2) магнитный поток, пронизывающий площадь её поперечного сечения.

Ответ: 1) L = 197 мкГн; 2) Ф = 985 нВб.

Задача 37. Длинный соленоид индуктивностью L = 4 мГн содержит N = 600 витков. Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см². Определите магнитную индукцию поля внутри соленоида, если сила тока, протекающего по его обмотке, равна 6 А.

Ответ: В = 0,02 Тл.

Задача 38. Две длинные катушки намотаны на общий сердечник, причем индуктивности этих катушек L₁ = 0,64 Гн и L₂ = 0,04 Гн. Определите, во сколько раз число витков первой катушки больше, чем второй.

Ответ: .

Задача 39. Через катушку, индуктивность L которой равна 200 мГн, протекает ток, изменяющийся по закону . Определите: 1) закон изменения ЭДС самоиндукции; 2) максимальное значение ЭДС самоиндукции.

Ответ: 1) В; 2)В.

Задача 40. Имеется катушка индуктивностью L = 0,1 Гн и сопротивлением R = 0,8 Ом. Определите, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через t = 30 мс, если источник тока отключить и катушку замкнуть накоротко.

Ответ: .

Задача 41. Определите, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,95 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением R = 12 Ом и индуктивностью 0,5 Гн.

Ответ: t = 125 мс.

Задача 42. Катушку индуктивностью L = 0,6 Гн подключают к источнику тока. Определите сопротивление катушки, если за время t = 3 с сила тока через катушку достигает 80% предельного значения.

Ответ: R = 322 Ом.

Задача 43*. Бесконечно длинный соленоид длиной l = 0,8 м имеет однослойную обмотку из алюминиевого провода массой m = 400 г. Определите время релаксации  для этого соленоида. Плотность и удельное сопротивление алюминия равны соответственно и’ = 26 нОмм.

Ответ:  = 712 мкс.

Задача 44. Два соленоида (L₁ = 0,64 Гн, L₂ = 1 Гн) одинаковой длины и практически равных сечений вставлены один в другой. Определите взаимную индуктивность соленоидов.

Ответ: L₁₂ = 0,8 Гн.

Задача 45. Две катушки намотаны на один сердечник. Индуктивность первой катушки L₁ = 0,12 Гн, второй - L₂ = 3 Гн. Сопротивление второй катушки R₂ = 300 Ом. Определите силу тока I₂ во второй катушке, если за время t = 0,01 с силу тока в первой катушке уменьшить от I₁ до нуля.

Ответ: I₂ = 0,1 А.

Задача 46. Обмотка электромагнита, находясь под постоянным напряжением, имеет сопротивление R = 15 Ом и индуктивность L = 0,3 Гн. Определите время, за которое в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в сердечнике.

Ответ: t = 0,01 c.