Решение

Работа сил торможения равна изменению кинетической энергии вентилятора A = W_k.

Кинетическая энергия вращения

где J – момент инерции;  - угловая скорость;  = 2 .

Тогда откуда

Подставляя числовые данные, получим

кг·м².

С другой стороны, работа сил торможения равна произведению момента силы М на угловой путь : А = М. Угловой путь можно выразить через число оборотов N формулой  = 2  N, тогда А = М 2 N, откуда

Подставив значения, получим

Н·м.

Ответ: J = 0,01 кг·м²; М = 0,094 Н·м.

Задача 6. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 7,2 . На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счёт его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути (рис. 5.6).

Дано:

= 7,2 = 2

sin  = 0,1

- ?

Решение По закону сохранения энергии

W₁ = W₂, (1)

где W₁ и W₂ – полная механическая энергия обруча в положениях 1 и 2.

При движении по горизонтальной поверхности обруч обладает кинетической энергией, которая полностью (нет трения) переходит в потенциальную. Кинетическая энергия катящегося обруча складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

где J – момент инерции обруча; J = m , m – масса обруча, R – радиус обруча.

По соотношению угловых и линейных величин выразим угловую скорость через линейную и радиус:

тогда

Потенциальная энергия W₂ = m g h, где h – высота горки;

Подставляя W₁ и W₂ в формулу (1), получим

Подставив числовые значения, получим

м.

Ответ: l = 4 м.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Два тела соскальзывают без трения и без начальной скорости с наклонных плоскостей 1 и 2. Сравнить скорости тел в конце соскальзывания (рис. 5.7).

Ответ: = .

Задача 2. Небольшое тело массой m устанавливают в верхней точке наклонной плоскости и сообщают ему начальную скорость , в результате чего оно начинает сползать по плоскости вниз. Разность высот верхней и нижней точек плоскости равнаh. В нижней точке плоскости n скорость имеет первоначальное значение . Какую работуА совершают силы трения на всём пути движения тела?

Ответ: А =  mg h.

Задача 3. По жёлобу, имеющему форму, показанную на рис. 5.8, с высоты h начинает скользить без трения небольшое тело (материальная точка). При каком минимальном значении высоты h тело опишет полную петлю, не отделяясь от жёлоба? Радиус петли R.

Рис. 5.8 Рис. 5.9

Ответ: h = 2,5 R.

Задача 4. Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины сферы вниз. На какой высоте h над центром сферы тело отделится от поверхности сферы и полетит свободно? Радиус сферы R (рис. 5.9).

Ответ: h = R.

Задача 5. Столб высотой h = 3 м и массой m = 50 кг падает из вертикального положения на Землю. Определить модуль момента импульса столба относительно точки опоры и скорость верхнего конца столба в момент удара о Землю.

Ответ:; .

Задача 6. С наклонной плоскости высотой h скользит не отрываясь тело массой m. У основания оно остановилось. Какую работу нужно совершить, чтобы втащить тело обратно на вершину наклонной плоскости по тому же пути?

Ответ: А = 2 mg h.

Задача 7. По наклонной плоскости высотой h = 0,5 м и длиной склона = 1 м скользит тело массойm = 3 кг. Тело приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью = 2,45. Найти: а) коэффициент трения тела о плоскость; б) количество тепла, выделенного при трении. Начальная скорость тела равна нулю.

Ответ: а)  = 0,22; б) Q = 5,7 Дж.

Задача 8. С наклонной плоскости высотой 1 м и длиной склона 10 м скользит тело массой 1 кг. Найти: а) кинетическую энергию тела у основания плоскости; б) скорость тела у основания плоскости; в) расстояние, пройденное телом по горизонтальной части пути до остановки. Коэффициент трения на всём пути равен 0,05.

Ответ: а) W_k = 4,99 Дж; б) = 3,1; в)s = 10 м.

Задача 9. Найти, какую мощность развивает двигатель автомобиля массой 1000 кг, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 : а) по горизонтальной дороге; б) в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути; в) под гору с тем же уклоном. Коэффициент трения равен 0,07.

Ответ: а) N = 6,9 кВт; б) N = 11,69 кВт; в) N = 1,89 кВт.

Задача 10. Вычислить работу, совершаемую при равноускоренном подъёме груза массой 100 кг на высоту 4 м за 2 с из состояния покоя.

Ответ: А = 4720 Дж.

Задача 11. Найти работу подъёма груза по наклонной плоскости, если масса груза 100 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол наклона  = 30⁰, коэффициент трения 0,1 и груз движется с ускорением 1 .

Ответ: А = 1350 Дж.

Задача 12. На тело, двигавшееся со скоростью 2 , подействовала сила 2 Н в направлении скорости. Через 10 с после начала действия силы кинетическая энергия тела 100 Дж. Найти массу тела, принимая его за материальную точку.

Ответ: = 3,82 кг;= 26,2 кг.

Задача 13. Материальная точка массой 2 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению x = 10 – 2 t +–0,2(м). Найти мощность, затрачиваемую на движение точки, в моменты времени: а)= = 2 с; б)= 5 с.

Ответ: а) N = 0,32 Вт; б) N = 56 Вт.

Задача 14. Под действием постоянной силы вагонетка прошла 5 м и приобрела скорость 2 . Определить работу силы, если масса вагонетки 400 кг и коэффициент трения 0,01.

Ответ: А = 996 Дж.

Задача 15. Тело массой 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью 20 , через 3 с упало на землю. Определить кинетическую энергию, которую имело тело в момент удара о землю.

Ответ: W = 633 Дж.

Задача 16*. Камень брошен вверх под углом  = 60⁰ к плоскости горизонта. Кинетическая энергия камня в начальный момент 20 Дж. Определить кинетическую и потенциальную энергию камня в высшей точки траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: W_к = 5 Дж; W_n = 15 Дж.

Задача 17. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наименьшую скорость он должен развить, чтобы, включив мотор, проехать по треку, имеющему форму «мёртвой петли» радиусом 4 м. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: = 14.

Задача 18. Пуля, летящая со скоростью 400 , попадает в вал и проходит до остановки 0,5 м. Определить силу сопротивления вала движению пули, если её масса 24 г.

Ответ: F = 3800 Н.

Задача 19. Поезд массой 600 тонн, отойдя от станции на 2,5 км, приобретает скорость 60 . Какую среднюю мощность развивает локомотив, если коэффициент трения 0,005?

Ответ: N = 5,2 · 10⁵ Вт.

Задача 20. Груз массой 2 кг, падающий с высоты 5 м, проникает в мягкий грунт на глубину 5 см. Определить среднюю силу сопротивления грунта.

Ответ: <F> = 2000 Н.

Задача 21. Брусок скользит сначала по наклонной плоскости длиной 42 см и высотой 7 см, а потом по горизонтальной плоскости, после чего останавливается. Определить коэффициент трения, считая его постоянным, если по горизонтальной плоскости до остановки брусок проходит расстояние 142 см?

Ответ:  = 0,04.

Задача 22. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 . Найти его кинетическую энергию.

Ответ: W = 24 Дж.

Задача 23. Шар диаметром 6 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая 4 . Масса шара 0,25 кг. Найти его кинетическую энергию и момент импульса.

Ответ: W = 0,1 Дж, .

Задача 24. Обруч и диск имеют одинаковые массы и катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью. Кинетическая энергия обруча 40 Дж. Найти кинетическую энергию диска.

Ответ: W = 30 Дж.

Задача 25. Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и отталкивается от неё. Скорость шара до удара 10 , после удара 8. Найти количество тепла, выделившееся при ударе.

Ответ: Q = 2,5·10^-3 Дж.

Задача 26. Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной скоростью, соответствующей 5 , равна 60 Дж. Найти момент импульса этого вала.

Ответ: L = 3,8 .

Задача 27. Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью 9 , если его масса вместе с велосипедом 80 кг, причём на колёса приходится 3 кг. Колёса считать обручами.

Ответ: W = 253 Дж.

Задача 28. Сплошной цилиндр массой 4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость оси цилиндра 1 _. Найти его кинетическую энергию.

Ответ: W = 3 Дж.

Задача 29. С какой наименьшей высоты Н должен съехать велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму мёртвой петли радиусом 3 метра, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли. Масса велосипедиста с велосипедом 75 кг, на массу колёс (обручи) приходится 3 кг.

Ответ: Н = 7,56 м.

Задача 30. Медный шар (плотность  = 8600 ) радиусом 10 см вращается с частотой 2, вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения в два раза?

Ответ: А = 34 Дж.

Задача 31. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило за 1 мин скорость вращения от 5 до 3. Момент инер-ции колесаJ = 2 кг·м². Найти: а) тормозящий момент; б) работу сил торможения.

Ответ: а) М = 0,42 Н·м; б) А = 630 Дж.

Задача 32. Маховое колесо начинает вращаться с постоянным угловым ускорением  = 0,5 и через 15 с после начала вращения приобретает момент импульса, равный 73,5. Найти его кинетическую энергию через 20 с после начала вращения.

Ответ: W = 490 Дж.

Задача 33. Маховик вращается по закону  = 2 + 16 t – 2рад. Момент инерции маховика= 50 кг·м². Чему равна мощность в момент времени t = 3 с?

Ответ: N = 800 Вт.

Задача 34. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без начальной скорости однородные цилиндр и шар одинаковых радиусов и масс. Во сколько раз скорость одного тела будет больше скорости другого: а) в данный момент времени; б) на данном уровне.

Ответ: а) б)

Задача 35. Шар и цилиндр одинаковых масс и радиусов вкатываются с одинаковой линейной скоростью на наклонную плоскость. Найти отношение высот их подъёма.

Ответ:

Задача 36. Как далеко может вкатиться однородный обруч, движущийся со скоростью 9,8 , на горку с углом наклона 35⁰?

Ответ: = 17 м.

Задача 37*. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной = 2 м и высотойh = 0,1 м?

Ответ: t = 4 с.

Задача 38. Тело массой 10 кг брошено с высоты 100 м вертикально вниз со скоростью 14 . Определить среднюю силу сопротивления грунта, если тело углубилось в него на 0,2 м.

Ответ: <F> = 49098 Н.

Задача 39. Тело, брошенное вертикально вниз с высоты 75 м со скоростью 10 , в момент удара о землю имело кинетическую энергию в 1600 Дж. Найти: а) массу тела; б) потенциальную и кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

Ответ: а) m = 2 кг; б) W_к = 900 Дж, W_n = 700 Дж.

Задача 40. Сани с грузом массой 120 кг скатываются с горы, имеющей угол 14⁰. Длина спуска 60 м, коэффициент трения 0,14. Определить кинетическую энергию саней в конце спуска.

Ответ: W_к = 7352 Дж.

Задача 41. Сила F = 0,5 Н действует на тело массой m = 10 кг в течение времени t = 2 с. Найти конечную кинетическую энергию тела, если начальная кинетическая энергия равна нулю.

Ответ: W_к = 0,05 Дж.

Задача 42. Подъёмный кран за 7 часов поднимает 3000 тонн строительных материалов на высоту 10 м. Какова мощность двигателя крана, если КПД крана 0,6?

Ответ: N = 19,44 кВт.

Задача 43*. Транспортёр поднимает 200 кг песка на автомашину за 1 с. Длина ленты транспортёра 3 м, угол наклона её к горизонту 30⁰. КПД транспортёра  = 0,85. Найти мощность, развиваемую электродвигателем.

Ответ: N = 3,46 кВт.

Задача 44*. Автомобиль массой 1000 кг движется под гору при выключенном моторе с постоянной скоростью 54 . Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Какую мощность должен развивать двигатель этого автомобиля, чтобы он двигался с той же скоростью в гору с тем же уклоном?

Ответ: N = 11,8 кВт.

Задача 45. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью 2 , прошёл до полной остановки 20,4 м. Найти коэффициент трения камня о лёд, считая его постоянным.

Ответ:  = 0,01.

Задача 46. Диск катится в течение 3 с и останавливается, пройдя расстояние 10 м. Определить коэффициент трения, считая его постоянным.

Ответ:  = 0,34.

Задача 47. Цилиндр катится по горизонтальной плоскости. Какую часть составляет энергия вращательного движения от общей кинетической энергии?

Ответ:

Задача 48. Шар катится по горизонтальной плоскости. Какую часть составляет энергия поступательного движения от общей кинетической энергии?

Ответ:

Задача 49. Определите работу, совершаемую при подъёме груза массой т = 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона α = 30⁰ к горизонту на расстояние s = 4 м, если время подъёма t = 2 с, а коэффициент трения μ = 0,06.

Ответ: А = 1,48 кДж.

Задача 50. Тело массой т = 5 кг падает с высоты h = 20 м. определите сумму потенциальной и кинетической энергий тела в точке, находящейся от поверхности Земли на высоте h₁ = 5 м. Трением тела о воздух пренебречь. Сравните эту энергию с первоначальной энергией тела.

Ответ: W₁ = 981 дж.

Задача 51. Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с Землей обладает импульсом р = 100 и кинетической энергиейW = 500 Дж. Определите: 1) с какой начальной высоты тело падало; 2) массу тела.

Ответ: 1) h = 5,1 м; 2) т = 10 кг.

Задача 52. С башни высотой Н = 20 м горизонтально со скоростью = 10брошен камень массойт = 400 г. пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момента времени t = 1 с после начала движения: 1) кинетическую энергию; 2) потенциальную энергию.

Ответ: 1) W_к = 39,2 Дж; 2) W_п = 59,2 Дж.

Задача 53. Ядро массой т = 5 кг бросают под углом α = 60⁰ к горизонту, совершая при этом работу 500 Дж. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1) через какое время ядро упадет на землю; 2) какое расстояние по горизонтали оно пролетит.

Ответ: 1) t = 2,5 с; 2) s = 17,6 м.

Задача 54. Тело массой т = 0,5 кг бросают со скоростью = 10под угломα = 30⁰ к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите кинетическую W_к, потенциальную W_п и полную W энергии тела: 1) через t = 0,4 с после начала движения; 2) в высшей точке траектории.

Ответ: 1) W_к = 19 Дж; W_п = 5,9 дж; W = 24,9 Дж;

2) W_к = 18,7 Дж; W_п = 6,2 дж; W = 24,9 Дж.

Задача 55. Тележка проходит расстояние s = 300 м под гору с уклоном α = 5⁰ и продолжает двигаться в гору с тем же уклоном. Принимая коэффициент трения μ постоянным и равным 0,05, определите расстояние х, на которое поднимается тележка.

Ответ: х = 81,8 м.

Задача 56. Тело массой т = 70 кг движется под действием постоянной силы F = 63 Н. определите, на каком пути s скорость этого тела возрастает в п = 3 раза по сравнению с момента времени, когда скорость тела была равна = 1,5.

Ответ: s = 10 м.

Задача 57. Подвешенный на нити шарик массой т = 200 г отклоняют на угол α = 45⁰. определите силу натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия.

Ответ: F_нат = mg (3 – 2 cos α) = 3,11 Н.

Задача 58^*. Шайба массой т скользит без трения с высоты h по желобу, переходящему в петлю радиусом R. Определите: 1) силу давления F шайбы на опору в точке, определяемой углом α (рис. 5.10); 2) угол α, при котором произойдет отрыв шайбы.

Рис. 5.10

Ответ: 1) ;

2) .

Задача 59. Гиря массой т = 10 кг падает с высоты h = 0,5 м на подставку, скрепленную с пружиной жесткостью k = 30 .определите при этом смещение х пружины.

Ответ: х = 21,6 см.

Задача 60. Пуля массой т = 15 г, летящая с горизонтальной скоростью = 0,5, попадает в баллистический маятникМ = 6 кг и застревает в нем. Определите высоту h, на которую поднимается маятник, откачнувшись после удара.

Ответ: h = 7,9 см.

Задача 61. Пуля массой т = 15 г, летящая горизонтально, попадает в баллистический маятник длиной l = 1 м и массой М = 1,5 кг и застревает в нем (рис. 5.11). Маятник в результате этого отклонился на угол φ = 30⁰. Определите скорость пули.

Рис. 5.11

Ответ: = 164.

Задача 62. Пуля массой т = 15 г, летящая горизонтально со скоростью = 200, попадает в баллистический маятник длинойl = 1 м и массой М = 1,5 кг и застревает в нем. Определите угол отклонения φ маятника.

Ответ: φ = 36,9⁰.

Задача 63. Пуля массой т = 12 г, летящая с горизонтальной скоростью = 0,6, попадает в мешок с песком массойМ = 10 кг, висящий на длинной нити, и застревает в нем. Определите: 1) высоту, на которую поднимается мешок, отклонившись после удара; 2) долю кинетической энергии, израсходованной на пробивание песка.

Ответ: 1) h = 2,64 см; 2) .

121