Перепишем векторное уравнение (1) в скалярном виде

= J₂, (2)

где J₁ – момент инерции всей системы до сближения гирь,

Момент инерции гири рассчитываем как для материальной точки, m – масса гири.

J₂ – момент инерции всей системы после сближения гирь,

Выразим угловую скорость через частоту вращения по формуле и подставим в уравнение (2):  = 2

откуда

.

Внешние силы не создают вращающего момента относительно оси и, следовательно, не совершают работы.

Поэтому изменение кинетической энергии системы равно работе, совершённой человеком:

А = W_к = W₂ – W₁.

Кинетическая энергия начального положения тела

Кинетическая энергия конечного положения

После преобразований получим выражение

После подстановки числовых значений получим:

A = 870 Дж.

Ответ: = 4,2 ;A = 870 Дж.

Задача 8. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая 0,17 . В центре платформы стоит человек массой = 60 кг (рис.4.7). Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдёт на край платформы? С какой частотой будет вращаться платформа?

Дано:

R = 1,5 м

= 180 кг

= 0,17

= 60 кг

V - ? - ?

Рис.4.7

Решение

По закону сохранения момента импульса

= J₂,

где J₁ – момент инерции платформы J₀ и человека J_ч в центре платформы; J₂ – момент инерции платформы J₀ и человека J_ч, стоящего на краю; и – угловые скорости платформы с человеком в первом и втором положениях.

Момент инерции платформы (диска) ; момент инерции человека рассчитывают как для материальной точки. Поэтому

Выражая угловую скорость через частоту вращения по формуле  = 2 и подставляя все в уравнение (1), получим

Тогда

.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением

V = R =2 R.

Подставив числовые значения, получим

V = 2 ^. 3,14 ^. 0,1 ^. 1,5 = 0,94  1 .

Ответ: = 0,1 ;V = 1 .

Задача 9*. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью =15 с^-1. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью  начнёт вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на 180⁰? На 90⁰?

Момент инерции человека и скамьи J = 3 кг^.м², момент инерции колеса относительно своей оси J₀ = 0,5 кг^.м² (рис.4.8).

Дано:

= 15 с^-1

J₀ = 0,5 кг^.м²

J = 3 кг^.м²

= 180⁰

= 90⁰

- ?

Рис.4.8

Решение Систему тел можно считать изолированной, поэтому выполняется закон сохранения момента импульса

= J₂,

где – момент импульса тел системы в первом положении колеса;J₂– момент импульса тел системы при втором положении колеса.

Момент импульса – величина векторная, будем рассматривать проекции на ось вращения скамьи. Момент импульса системы до поворота колеса равен только моменту импульса колеса, т.е.

= .

После поворота колеса момент импульса системы складывается из момента импульса скамьи с человеком и момента импульса колеса. Момент импульса колеса при повороте вокруг горизонтальной оси изменит знак на обратный, поэтому

J₂= J  .

Согласно закону сохранения момента импульса

При повороте колеса на 90⁰ проекция момента импульса на ось вращения скамьи равна нулю, поэтому

J₀ = J; .

Ответ: 1)  = 5 с^-1; 2)  = 2,5 с^-1.