Решение

Найдём энергию покоя протона :

=1,5·10^-10 Дж = 939 МэВ.

Релятивистская формула кинетической энергии

откуда находим скорость протона . Для простоты преобразований введёмтогдаоткуда

Расчёт удобнее вести, подставив числовые значения энергии в МэВ:

.

Ответ: = 2,988·10⁸ .

Примечание. После решения задач 5 и 5-А можно сравнить возможности ускорения протонов и электронов.

Задача 6. Определить импульс и кинетическую энергию электрона, движущегося со скоростью = 0,9с, где с – скорость света в вакууме.

Дано:

= 0,9 с

P -? W_k - ?

Решение

I способ.

Импульс частицы равен произведению массы частицы на её скорость:

P = m. (1)

Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле

, (2)

где m – масса движущейся частицы; – масса покоящейся частицы;- скорость частицы, выраженная в долях скорости света.

Заменив в формуле (1) массу m по формуле (2) и приняв во внимание, что , получим

Подставив числовые значения, получим

.

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией и энергией покояэтой частицы, то естьW_k = m –=(m –) .

Учитывая формулу (2), получим

Подставляя числовые значения, получим

Дж.

II способ.

Можно найти кинетическую энергию, используя формулу связи кинетической энергии W_k и импульса:

Подставив числовые значения, получим

Дж.

Ответ: P = 5,6·10^-22 , W_k = 1,06·10^-13 Дж.

Задача 7. На сколько процентов изменится продольный размер протона и электрона после прохождения ими разности потенциалов U = 10⁶ В?

Дано:

U = 10⁶ В

m_p = 1,67·10 ^-27 кг

m_е = 9,11·10 ^-31 кг

Решение

Заряд протона и электрона имеет одинаковые числовые значения, поэтому они после прохождения разности потенциалов U приобретает одинаковую кинетическую энергию, равную работе электрического поля:

W_е = qU = 1,6··= 1,6·Дж = 1 МэВ.

Продольный размер тела

,

где – длина в системе, неподвижной относительно тела;l – длина тела, движущегося со скоростью .

Относительное изменение продольного размера

Из релятивистской формулы кинетической энергии найдём значение :

qU,

откуда

Тогда

Для электрона c² = 0,511 МэВ; для протона c² = 939 МэВ.

Подставив числовые данные, получим для электрона

Для протона

Ответ:

Задача 8. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость 0,4 с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения -частицу со скоростью 0,75 с относительно ускорителя. Найти скорость частицы относительно ядра.

Дано:

= 0,4 с

u = 0,75 с

- ?

Решение

Скорость тела u относительно неподвижной системы выражается формулой

где - относительная скорость (скорость тела относительно движущейся системы отсчёта);– переносная скорость (скорость движущейся системы отсчёта).

Преобразуя это выражение, найдём скорость :

Подставив данные, получим

Ответ:

Задача 9. До какой энергии нужно ускорить частицы в циклотроне, если относительное увеличение массы частицы не должно превышать 5 %? Задачу решить для: а) электронов; б) протонов.

Дано:

m_e = 9,1кг

m_p = 1,67кг

W_k - ?