Примеры решения задач

Задача 1. При какой скорости движения тела релятивистское сокращение длины тела составляло бы: а) 1 %; б) 50 %?

Дано:

- ? - ?

Решение

Релятивистское сокращение длины описывается формулой

где - длина тела в системе отсчёта, в которой оно неподвижно;с – скорость света в вакууме.

Отсюда

При получаем.

При ,.

Ответ: = 4,2·10⁷ ;= 2,6·10⁸ .

Задача 2. Среднее время жизни мюона мкс. Пучок мюонов движется со скоростью= 0,95с. Какова средняя длина их пробега в отсутствие столкновений?

Дано:

мкс

= 0,95 с

Решение

Среднее время жизни неподвижных частиц отличается от времени жизни частиц в системе отсчёта, относительно которой частицы движутся со скоростью . Это так называемыйэффект замедления времени:

поэтому

м.

Ответ: l = 2000 м.

Задача 3. Масса покоящегося поезда тонн. На какую величину увеличивается масса поезд при движении со скоростью= 72?

Дано:

= 72 = 20

= 3·10⁶ кг

Решение

Согласно соотношению Эйнштейна

Кинетическая энергия

Отсюда

Подставляя числовые значения, получим

кг.

Ответ: кг. Такую массу можно измерить, если речь идёт о пылинке, но для поезда наблюдать такое измерение массы невозможно, следовательно, можно применять закон классической механики, не учитывая релятивистских эффектов.

Задача 4. При какой скорости движения частицы её кинетическая энергия равна энергии покоя?

Дано:

-?

Решение

Полная энергия частицы равна сумме энергии покоя и кинетической энергии:

,

откуда

Заменив полную энергию и энергию покояв формуле, получим

Учитывая зависимость массы частицы от скорости , получаем

По условию задачи

Откуда ;.

Ответ: = 2,6·10⁸ .

Задача 5. Кинетическая энергия электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Дано:

= 1 МэВ = 1,6·10 ^-13 Дж

= 9,1·10^-31 кг

с = 3·10⁸

-?

Решение

Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если << c. Чтобы определить, какой является частица, достаточно сравнить её кинетическую энергию с энергией покоя.

Энергия покоя электрона 9,1·10^-31(3·10⁸)² = 8,2·10^-14 Дж = = 0,511 МэВ – частица релятивистская, так как

Релятивистская формула кинетической энергии

(1)

откуда находим .

Для простоты преобразований найдём то есть скорость частицы, выраженную в долях скорости света.

Величину подставим в формулу (1).

Выполнив преобразования, получим

Числовой расчёт удобнее вести, выразив энергию в мегаэлектронвольтах (МэВ):

Так как , то= 0,941· 3·10⁸ = 2,82·10⁸ .

Ответ: = 2,82·10⁸ .

Задача 5-А. Синхрофазотрон даёт пучок протонов с кинетической энергией в 10000 МэВ. Определить скорость протонов в этом пучке.

Дано:

W_k = 10 000 МэВ = 1,6·10^-9 Дж

= 1,67·10^-27 кг

с = 3·10 ⁸

-?