Решение

Для определения потенциала шара используем связь напряжённости поля с потенциалом

-d = E dr; .

Напряжённость электрического поля вне шара равна Проинтегрируем правую и левую части уравнения:

Полученное выражение является разностью потенциалов двух точек поля, созданного шаром. Если вторую точку взять в бесконечности, т.е. , то= 0 (в бесконечности отсутствует взаимодействие зарядов и потенциальная энергия равна 0).

Тогда - потенциал точки, находящейся на расстоянии от центра шара

а) Потенциал на поверхности шара:

В.

б) Если окружить шар заземлённой оболочкой, то потенциал оболочки (потенциал Земли равен 0).

- разность потенциалов оболочки и шара. = 0, значит

В = 75 В.

Ответ: а) = 300 В; б)= 75 В.

Задача 6. Металлический шар радиусом R = 10 см заряжен до потенциала = 300 В. Каким стал потенциал этого шара после того, как его поместили внутрь сферы радиусом R₂ = 15 см и на короткое время замкнули сферу с шаром (рис.9.6)?

Дано:

R₁ = 10 см = 0,1 м

= 300 В

R₂ = 15 см = 0,15 м

 = 1

-?

Рис.9.6

Решение

Применяя теорему Остроградского – Гаусса к сфере, мы определили, что напряжённость электрического поля внутри сферы равна нулю (см. занятие 8).

(внутри сферы).

Отсюда следует, что потенциал внутри заряженной сферы является величиной постоянной (производная равна нулю от постоянной величины). При замыкании сферы и шара весь заряд перейдёт на сферу. Сфера будет иметь заряд , а заряд шара станет равен нулю.

Потенциал сферы – оболочки

Тогда 200 В.

Потенциал внутри сферы постоянен и равен потенциалу поверхности сферы. Значит, = 200 В.

Ответ: = 200 В.

Задача 7. Две концентрические металлические сферы радиусом R₁ = 4 см и R₂ = 10 см имеют соответственно заряды = 2 нКл и = 3 нКл. Пространство между сферами заполнено эбонитом ( = 3). Определить потенциал электрического поля на расстояниях = 2 см,= 6 см и= 20 см от центра сфер (рис.9.7).

Дано:

R₁ = 4 см = 0,04 м

R₂ = 10 см = 0,1 м

= -2 нКл =  2 ^.10^-9 Кл

= 3 нКл = 3 ^.10^-9 Кл

= 2 см = 0,02 м

= 6 см = 0,06 м

= 20 см = 0,2 м

-? - ?- ?

Рис.9.7

Решение

По теореме Остроградского – Гаусса найдём напряжённость в точках 1, 2, 3:

Е₁ = 0 (внутри сферы заряд отсутствует);

(поверхность охватывает заряд и, проходя через точку 3).

Для определения потенциала в точках 1, 2, 3 воспользуемся связью напряжённости с потенциалом

С помощью этого отношения можно определить разность потенциалов двух точек. Воспользуемся тем, что потенциал в бесконечности принимается равным нулю. Тогда можно определить потенциал внешней сферы:

= 1 (внешняя сфера).

Найдём теперь потенциал между сферами (точка 2):

В.

Е₁ = 0, следовательно, =const, т.е. потенциал внутри сферы одинаков во всех её точках и равен потенциалу на поверхности сферы

Тогда потенциал сферы радиусом R₁­ равен

В = 280 В.

Ответ: = 280 В;= 130 В.