Занятие 8.

ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО – ГАУССА

Учебная цель: научиться применять теорему Остроградского – Гаусса к расчету электростатических полей. Выработать навыки самостоятельного решения задач на данную тему.

Литература

Основная: Детлаф А.А, Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. –Гл. 14, § 14.1 – 14.2.

Дополнительная: Савельева И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1989. – Т.2, гл.1, § 13,14.

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Чем вызвана необходимость введения вектора электрического смещения (вектора электрической индукции)?

2. Что характеризует вектор электрического смещения?

3. Напишите выражение, устанавливающее связь между вектором электрического смещения и вектором напряженности. В чем измеряется электрическое смещение в СИ?

4. Дайте определение потока электрического смещения, назовите единицу измерения в СИ.

5. Сформулируйте теорему Остроградского – Гаусса.

6. Поясните методику расчета электростатического поля с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.

7. Напишите выражения для вычисления напряженности электростатических полей:

• точечного заряда (заряженной сферы);

• заряженной нити (длинного цилиндра);

• заряженной плоскости.

Краткие теоретические сведения и основные формулы

Напряженность электрического поля зависит от свойств среды: нормальная составляющая напряженности поля при переходе из вакуума в среду всегда уменьшается во столько раз, во сколько возрастает диэлектрическая проницаемость. Вектор напряженности, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей.

Чтобы сохранить геометрическое изображение поля при наличии нескольких сред, вводят вспомогательное векторное поле, характеризуемое вектором электрического смещения (вектором электрической индукции) .

Для электрически изотропной среды

(8.1)

Электрическое смещение измеряется в СИ в .

В отличие от напряженности вектор электрического смещенияне зависит от свойств среды.

Вектор характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т.е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, которое имеется при наличии диэлектрика.

Как и поле полеизображается с помощью линий электрического смещения (линий индукции).

Линии индукции проводят так, чтобы в каждой точке их направление совпадало с направлением в этой точке, а число линий (поток электрического смещения_е), проходящих через единицу площади поверхности, перпендикулярной линиям индукции (густота линий индукции), равнялось бы численному значению вектора в данной точке:

(8.2)

Электрический поток через элементарную площадку dS

(8.3)

где - площадь проекции элементарной поверхностиdS на плоскость, перпендикулярную к вектору ;- единичный вектор, нормальный к площадкеdS;  = .

Полный поток _е электрического смещения через поверхность S называется алгебраическая сумма электрических потоков через элементарные площадки, на которые может быть разбита поверхность S:

(8.4)

Поток электрического смещения величина скалярная. В СИ измеряется в кулонах [Кл].

Для поля также имеет местопринцип суперпозиции: вектор электрической индукции суммарного поля нескольких зарядов равен геометрической сумме векторов электрической индукции, создаваемых в той же точке каждым из зарядов в отдельности, а поток электрического смещения равен алгебраической сумме потоков каждого из этих зарядов:

(8.5)

(8.6)

Кроме принципа суперпозиции в основе расчета электростатических полей лежит также теорема Остроградского – Гаусса.