Поток вектора электростатического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов:

(8.7)

Методика расчета электростатических полей с помощью теоремы Остроградского – Гаусса заключается в следующем.

В соответствии с условием задачи выбирается замкнутая поверхность, охватывающая заряженное тело, создающее рассчитываемое электростатическое поле. Рассчитывается поток электрического смещения через эту поверхность и в соответствии с теоремой Остроградского – Гаусса приравнивается к заряду, находящемуся на этом теле.

Таким методом вычисляется, например, напряженность электростатических полей:

- точечного заряда (заряженной сферы):

(8.8)

- заряженной нити (длинного цилиндра):

(8.9)

где - линейная плотность заряда;

- заряженной плоскости:

(8.10)

где - поверхностная плотность заряда.

В случае, если электростатическое поле создается двумя параллельными заряженными плоскостями, то напряженность результирующего поля равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых каждой плоскостью:

(8.11)

Если параллельные плоскости имеют равные по величине, противоположные по знаку заряды, и их площади также одинаковы то вне плоскостейЕ = 0, а между плоскостями

Примеры решения задач

Задача 1. Эбонитовый шар радиусом R = 5 см несёт заряд, равномерно распределённый с объёмной плотностью заряда  = 10^-8 Кл/м³. Определить напряжённость и индукцию электрического поля в следующих точках: а) на расстоянии = 3 см от центра шара; б) на поверхности шарав) на расстоянии= 10 см от центра шара. Построить графики зависимостииотr.

Дано:

 = 10^-8

 = 3

R = 5 см = 5 ^.10^-2 м

= 3 см = 3 ^.10^-2 м

= 5 ^.10^-2 м

= 10 см = 10^-1 м

Е - ? D - ?

Решение

Метод решения задач:

1. Изобразить на рисунке линии индукции электрического поля, созданного данным заряженным телом.

2. Выбрать форму и размер замкнутой вспомогательной поверхности, охватывающей заряд, и проходящей через точку, в которой определяется индукция.

Форма поверхности должна быть такой, чтобы линии индукции были параллельны или перпендикулярны к ней.

3. Определить величину потока _е через выбранную поверхность

Рис.8.1

4. Определить величину заряда, охваченного выбранной вспомогательной поверхностью.

5. Приравнять поток линий индукции к величине заряда, охваченного поверхностью

6. Определить индукцию и напряжённостьэлектрического поля.

Рассмотрим применение теоремы на примере сплошного объёмно заряженного шара (рис.8.1).

1. Линии индукции заряженного шара начинаются в его центре и являются прямыми линиями, направленными по радиусам.

2. Поле шара является сферически симметричным, вектор будет перпендикулярен любой сферической поверхности с центром в центре шара.

Следовательно, вспомогательная поверхность представляет собой сферу, проведённую через заданную точку.

3. Поток вектора индукции через выбранную сферическую поверхность

т.к. перпендикулярен сфере и совпадает с направлением нормали к ней, т. е. = 0.

Тогда

Для точки 1 (r < R) поверхностью является сфера, проходящая через точку 1 внутри шара.

4. Заряд, охваченный этой сферой, равен = V₁, где - объёмная плотность заряда, т.е. заряд, приходящийся на единицу объёма.

Объём шара Заряд

5. Приравняем поток к заряду

5. Находим и:

~ 4 .

Повторим рассуждения для точек 2 и 3. Выбранные вспомогательные поверхности будут сферическими.

Точка 2. Радиус вспомогательной поверхности равен радиусу шара, т.к. точка лежит на поверхности шара ().

; .

На поверхности напряжённость имеет два значения Е₂ и , отличающиеся в  раз.

Точка 3.

или

.

Построим графики зависимостейиотr (рис. 8.2, 8.3).

Рис.8.2 Рис.8.3

Из решения и графиков видно, что линии индукции электрического поля непрерывны, от среды не зависят, а линии напряжённости электрического поля терпят разрыв на границе двух сред. В эбоните напряжённость меньше, чем в воздухе, следовательно, плотность линий (число линий, пронизывающих единицу площади) в воздухе больше, чем в эбоните.

Ответ: а) D₁ = 10^-10 ; Е₁ = 4 ; б)D₂ = 1,67 ^.10^-10 ; Е₂ = 6 ;= 18; в)D₃ = 4 ^.10^-11 ; E₃ = 4,5 .

Качественная задача. Точечный заряд q помещён в центре шара, сделанного из парафина. Относительная диэлектрическая проницаемость парафина равна 2. Нарисуйте линии напряжённости и линии индукции электрического поля, созданного этим зарядом.