Решение

Заряженная плоскость создаёт электрическое поле напряжённостью , в результате чего на шарик действует сила

Кроме того, на шарик действуют силы и, где- сила натяжения нити, а- сила тяжести. Равнодействующая этих сил направлена по одной линии с силойи уравновешивает её.

(1)

Для вычисления иприменим теорему Остроградского – Гаусса. Поле бесконечной плоскости вдали от её краёв является однородным (см. рис.8.12).

Выделим элементарный заряд и построим на нём цилиндрическую поверхность, перпендикулярную плоскости.

Поток проходит через основание цилиндра и не проходит через боковую поверхность, т.к. перпендикулярен плоскости и направлен вправо и влево от зарядаdq:

тогда

откуда а напряжённость поля равна

Подставив в выражение (1), получим:

9 .10 9

Вычислим Кл = 3^.10 ^-9 Кл.

Ответ: q = 3 ^.10^-9 Кл.

5. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными плоскостями с поверхностными плотностями заряда = 0,4 и= 0,1: а) заряды положительны; б) заряды разноименные (рис.8.13). Определить напряжённость электрического поля, созданного этими плоскостями в точкахА, В и С.

Дано

= 0,4 ^.10^-6

= 0,1 ^.10^-6

Е₁ - ? Е₂ - ? Е₃ - ?

а) б)

Рис.8.13

Решение

Каждая из плоскостей создаёт поле, напряжённость которого определяется по теореме Остроградского – Гаусса:

Суммарная напряжённость находится по правилу сложения векторов. Направления иуказаны на рис. 8.13(а, б).инаправлены по одной линии:

а) Заряды одноименные

б) заряды разноимённые, тогда

Е_А = Е₂ – Е₁; Е_В = Е₁ + Е₂; Е_С = Е₁ – Е₂.

_.

.

Ответ: а) Е_А = Е_С = 2,83 ^.10⁴ ;Е_В = 1,7 ^.10⁴ ;

б) Е_А = Е_С = 1,7 ^.10⁴ ;

Е_В = 2,83 ^.10⁴ .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Две плоские пластинки площадью 200 см², заряженные равными зарядами, притягиваются, находясь в керосине, с силой 2,5 10^-2 Н. Расстояние между пластинками столь мало, что напряжённость поля можно рассчитывать по формуле для бесконечных плоскостей. Определить: а) находящиеся на них заряды; б) индукцию электрического поля в керосине.

Ответ: а) q = 1,33 ^.10^-7 Кл; б) D = 3,3 ^.10^-6 .

Задача 2. Металлический шар радиусом 2 см окружён сферической металлической оболочкой радиусом 4 см, концентрической с шаром. На шаре находится заряд 2 ^.10^-8 Кл, на оболочке – заряд -4 ^.10^-8 Кл. Определить напряжённость поля: а) на расстоянии 3 см от центра шара; б) на расстоянии 5 см от центра.

Ответ: а) Е₁ = 2 ^.10⁵ ; б)Е₂ =  7,2 ^..

Задача 3. Плоский слой диэлектрика ( = 2) толщиной 0,5 см равномерно заряжен электричеством с объёмной плотностью заряда  = 3 ^.10^-4 . Какова напряжённость поля: а) в середине слоя? б) внутри слоя на расстоянии 0,1 см от поверхности? в) вне слоя?

Ответ: а) Е = 0; б) Е = 2,54 ^.10⁴ ; в)Е = 8,48 ^.10⁴ .

Задача 4. Шарик, сделанный из диэлектрика, радиусом R = 2 см заряжен с объёмной плотностью заряда  = 0,2 ^.10^-3 . Какова напряжённость поля на расстоянии: а) 3 см от центра шара; б) 1 см от центра.

Ответ: а) Е = 6,7 ^.10⁵ ; б)Е = 7,4 ^.10⁴ .

Задача 5*. Прямой металлический стержень диаметром d = 5 см и длиной l = 4 м несёт распределённый равномерно по его длине заряд q = 5 ^.10^-7 Кл. Определить напряжённость поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии r = 1 см от его поверхности.

Ответ: Е = 6,43 ^.10⁴ .

Задача 6*. На отрезке тонкого прямого проводника длиной l = 10 см равномерно распределён заряд с линейной плотностью  = 30 . Вычислить напряжённость, созданную этим зарядом, в точке, расположенной на оси проводника и удалённой от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.

Ответ: Е = 1,35 ^.10⁵ .

Задача 7*. Две длинные коаксиальные тонкостенные трубки радиусами R₁ = 2 см и R₂ = 4 см несут заряды, равномерно распределённые по поверхности с поверхностными плотностями = 10^-3 и= 5 ^.. Пространство между трубками заполнено эбонитом. Определить напряжённость поля в точках, находящихся на расстояниях: а)= 1 см; б)см; в) = 5 см от оси трубок. Построить график зависимости Е от r.

Ответ: а) Е₁ = 0; б) Е₂ = 29 в) Е₃ = 0.

Задача 8. На металлической сфере радиусом R = 10 см находится заряд q = 10^-9 Кл. Определить напряжённость электрического поля в следующих точках: а) на расстоянии = 8 см от центра сферы; б) на поверхности её; в) на расстоянии = 15 см от центра сферы. Построить график

Ответ: а) Е₁ = 0; б) Е₂ = 900 ; в)Е₃ = 400 .

Задача 9. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусом R₁ = 6 см и R₂ = 10 см несут соответственно заряды = 1 нКл и= 0,5 нКл. Найти напряжённость электрического поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях: а) = 5 см; б)= 9 см; в)= 15 см.

Ответ: а) Е₁ = 0; б) Е₂ = 1,11 ; в)Е₃ = 0,2 .

Задача 10. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими одинаковый равномерно распределённый по площади заряд (= 10^-3 ). Определить напряжённость поля: а) между пластинами; б) вне пластин. Построить график изменения напряжённости вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

Ответ: а) Е₁ = 0; б) Е₂ = 113 _.

Задача 11. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими равномерно распределённый заряд с поверхностными плотностями = 10^-3 и= 3^.10^-3 . Найти напряжённость поля: а) между пластинами; б) вне пластин. Построить график изменения напряжённости вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

Ответ: а) б)2= 226

Задача 12. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими равномерно распределённый по площади заряд с поверхностными плотностями = 2^. 10^-3 и=5 ^. 10^-3 . Определить напряжённость поля: а) между пластинами: б) вне пластин. Построить график изменения напряжённости вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

Ответ: а) Е₁ = 396 ; б)Е₂ = 170 .

Задача 13. Две бесконечные параллельные пластины равномерно заряжены с поверхностной плотностью заряда = 10^-2 и= 3 ^.10^-2 . Какова сила взаимодействия, приходящаяся на единицу площади пластин?

Ответ: .

Задача 14. Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределённые по площади заряды с поверхностными плотностями = 10^-3 и= 2. Определить напряжённость электрического поля, создаваемого пластинами. Начертить картину силовых линий.

Ответ:

Задача 15. Две бесконечные плоскости, несущие одинаковый заряд, пересекаются под углом  = 60⁰. Поверхностная плотность заряда на пластинах одинакова и равна  = 0,1 . Найти напряжённость, создаваемую плоскостями, и начертить картину силовых линий.

Ответ:

Задача 16*. Полый стеклянный шар несёт равномерно распределённый по объёму заряд ( = 0,1 ). Внутренний радиус шараR₁ = 5 см, наружный R₂ = 10 см. Вычислить напряжённость и индукцию электрического поля в точках, отстоящих от центра шара на расстоянии: а) = 3 см; б)= 6 см; в)= 12 см. Построить графикииотr..

Ответ: а) Е₁ = 0; D₁ = 0; б) Е₂ = 13,6;D₂ = 8,43 ^.10^-10 ;

в) Е₃ = 229 ;D₃ = 2 ^.10^-9 .

Задача 17. Длинный парафиновый цилиндр радиусом R = 2 см несёт заряд, распределённый по объёму с объёмной плотностью  = 10^-2 . Определить напряжённость и индукцию электрического поля в точках, находящихся от оси цилиндра на расстоянии: а)= 1 см; б)= 3 см. Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Построить графики зависимостейиотr.

Ответ: а) Е₁ = 2,83 ;Е₂ = 7,55; б)D₁ = 5 ^.10^-11

D₂ = 6,67 ^.10^-11

Задача 18*. Большая плоская пластина толщиной d = 1 см несёт заряд, равномерно распределённый по объёму, с объёмной плотностью  = 0,1 . Найти напряжённость электрического поля вблизи центральной части пластины, вне её, на малом расстоянии от поверхности пластины.

Ответ: Е = 56,5 .

Задача 19*. Лист стекла толщиной d = 2 см равномерно заряжен с объёмной плотностью  = 1 . Определить напряжённость и индукцию электрического поля в точкахА, В, С (рис.8.14) . Построить график зависимости отx.

Ответ: Е₁ = 0; Е₂ = 80,8

D₂ = 5 ^.10^-9 ;

= 162 (x << d);

= 1130 (x  d);

D₃ = 10^-8 .

Задача 20. Большая металлическая пластина несёт заряд, равномерно распределённый по поверхности ( = 10^-2 ). На малом расстоянии от пластины находится точечный зарядq = 10^-7 Кл. Найти силу, действующую на заряд.

Ответ: F = 56,5 мкН.

Задача 21. Точечный заряд q = 10^-6 Кл находится вблизи большой, равномерно заряженной пластины против её середины. Вычислить поверхностную плотность заряда пластины, если на точечный заряд действует сила F = 6 ^.10^-2 Н.

Ответ:  = 1,06 ^.10^-6 .

Задача 22. Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд q = 3 ^.10^-8 Кл. Поле конденсатора действует на заряд с силой F₁ = 10^-2 Н. Определить силу взаимного притяжения пластин, если площадь пластины S = 100 см².

Ответ: Н.

Задача 23. Параллельно бесконечной пластине, несущей заряд, равномерно распределённый по поверхности с поверхностной плотностью  = 2, расположена тонкая нить с равномерно распределённым зарядом ( = 4). Какова сила, действующая на единицу длины нити?

Ответ: .

Задача 24. Две одинаковые круглые пластины площадью по 100 см² каждая расположены параллельно друг другу. Заряд одной пластины = 10^-7 Кл, другой  = 10^-7 Кл. Определить силу притяжения пластин, если расстояние между ними: а) = 2 см; б)= 10 м.

Ответ: а) F₁ = 5,65Н; б)F₂ = 9Н.

Задача 25. Две параллельные бесконечно длинные прямые нити несут заряд, равномерно распределённый по длине с линейной плотностью = 0,1и= 0,2. Определить силу взаимодействия, приходящуюся на единицу длины нити, если расстояние между ними

r = 10 см.

Ответ: .

Задача 26*. Прямая бесконечная тонкая нить несёт заряд, равномерно распределённый по длине (= 1). В плоскости, содержащей нить, находится тонкий стержень длинойl, перпендикулярный к нити. Ближайший конец стержня находится от нити на расстоянии l. Определить силу, действующую на стержень, если он заряжен с линейной плотностью заряда = 0,1.

Ответ: Н.

Задача 27*. Металлический шар имеет заряд = 0,1 мкКл. На расстоянии, от его поверхности, равном радиусу шара, находится конец нити, вытянутой вдоль силовой линии. Нить несёт равномерно распределённый по длине заряд= 10^-2 мкКл. Длина нити равна радиусу шара. Определить силу, действующую на нить, если радиус шара R = 10 см.

Ответ: мкН.

Задача 28. Бесконечная плоскость несёт заряд, равномерно распределённый с поверхностной плотностью  = 1 . На некотором расстоянии от плоскости, параллельно ей расположен круг радиусомr = 10 см. Вычислить поток вектора напряжённости через этот круг.

Ответ: = 1,78В^.м.

Задача 29. Плоская квадратная пластина со стороной а = 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной, равномерно заряженной ( = 10^-4 ) плоскости. Плоскость пластины составляет угол = 30⁰ с линиями поля. Найти поток вектора через эту пластину.

Ответ: 2,5Кл.

Задача 29. В центре сферы радиусом R = 20 см находится точечный заряд q = 10^-2 мкКл. Определить поток вектора напряжённости через часть сферической поверхности площадью S = 20 см².

Ответ: В^.м.

Задача 31*. Прямоугольная плоская площадка со сторонами а = 3 см и b = 2 см находится на расстоянии R = 1 м от точечного заряда q = 1 мкКл. Площадка ориентирована так, что линии напряжённости составляют угол  = 30⁰ с её поверхностью. Найти поток вектора напряжённости через площадку.

Ответ: = 2,7 В^.м.

Задача 32*. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью заряда  = 400 , и бесконечной прямой нитью с линейной плотностью заряда = 100 . На расстоянии 10 см от нити находится точечный зарядq = 10 нКл. Определить по величине и направлению силу, действующую на заряд, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.

Ответ: Н;

1,26 =

Задача 33. Две плоские пластинки площадью 200 см², заряженные равными зарядами, притягиваются, находясь в керосине, с силой F = 2,5Н. Расстояние между пластинами столь мало, что напряжённость поля можно рассчитывать по формуле для бесконечных плоскостей. Определить: а) находящиеся на них заряды; б) индукцию электрического поляв керосине.

Ответ: а) q = 1,33 ^.10^-7 Кл; б) D = 6,6 ^.10^-6 .

Задача 34. Металлический шар радиусом 5 см окружён металлической сферической оболочкой радиусом 10 см, концентрической с шаром. На шаре находится заряд –8 ^.10^-8 Кл, на оболочке заряд 4 ^.10^-8 Кл. Определить напряжённость поля: а) на расстоянии 6 см от центра шара; б) на расстоянии 15 см от центра.

Ответ: а) Е₁ =  2 ^.10⁵ ; б)Е =  1,6 ^.10⁴ .

Задача 35. Фарфоровый шар радиусом R =10см заряжен равномерно с объемной плотностью =15. Определите напряженность электрического поля :1) на расстоянии 5см от центра шара; 2) на поверхности шара ; 3) на расстоянии 15см от центра шара.Постройте график зависимости . Диэлектрическая проницаемость фарфора. = 5.

Ответ: 1) Е₁=5,65 ; 2) Е_R=11,3 , Е_R=56,5 ; 3) Е_R=25,1 .

Задача 36. Длинный прямой провод ,расположенный в вакууме , несет заряд, равномерно распределенный по всей длине с линейной плотностью 2 . Определите напряженность Е электрического поля на расстоянииr =1 м от провода .

Ответ: Е=.

Задача 37. Внутренний цилиндрический проводник длинного коаксиального провода радиусом 1,5мм заряжен с линейной плотностью =0,20. Внешний цилиндрический проводник этого проводаR=3мм заряжен с линейной плотностью = 0,15. Пространство между проводниками заполнено резиной (=3) .Определите напряженность электростатического поля в точках , лежащих от оси провода на расстояниях: 1) 1мм; 2) 2мм ; 3) 5мм.