Плоска та просторова задача для визначення напружено-деформативного стану у масивах грунту.

Якщо навантаження розподілене за смугою (теоретично нескінченної довжини), то така задача має назву двовимірної або плоскої (рис. 6.6, а). У цьому випадку складові напружень змінюються лише в напрямках двох координатних осей, зберігаючи постійне значення в напрямі однієї. У випадку дії навантаження, розподіленого за площадкою обмежених розмірів в усіх напрямах, напружений стан масиву характеризується зміною складових напружень у напрямах трьох координатних осей. На відміну від плоскої тривимірну задачу в механіці суцільного середовища називають просторовою(рис. 6.6, б).

Рис. 6.6. Схеми навантажень для.а - плоскої задачі; б - просторової задачі

У класичній механіці ґрунтів для визначення напружень і деформацій застосовують теорію лінійно деформованого середовища. Для використання її висновків до будь-якого тіла необхідне додержання лінійної залежності між напруженнями та деформаціями, або підпорядкування матеріалу тіла математичній залежності, аналогічній закону Гука.

При цьому наявність властивості пружних тіл повністю відновлювати свою форму після розвантаження не обов'язкова, якщо тільки мова йде про одноразове навантаження. У теорії лінійно деформованого середовища використовують математичні залежності теорії пружності, але, на відміну від останньої, в ній розглядають непружні, лінійно деформовані тіла при їх одноразовому навантаженні. Для використання у класичній механіці грунтів апробованих розв'язань приймають деякі припущення й обмеження, як-от: розрахунки ведуть лише в інтервалі навантажень, у межах котрих грунт можна вважати лінійно деформованим, а також вважають ґрунт за суцільне, однорідне та ізотропне середовище. Не відображає теорія пружності й деформації ґрунтів у часі.

2. Визначення напружень в масиві від дії зосередженої сили.

Задача ж.Буссінеска. Дія вертикальної зосередженої сили.

У 1885 р. французьким ученим Ж. Буссінеском була розв'язана задача про розподілення напружень у грунті при дії зосередженої сили. Задача має теоретичний і прикладний характер, ґрунт у цій задачі уявляється однорідним, ізотропним, лінійно деформованим напівпростором. що має нескінченне поширення за глибиною і за площею.

Розглянемо дію вертикальної зосередженої сили N. прикладеної у точці О до горизонтальної площини, що є поверхнею лінійно деформованого напівпростору (рис. 7.1, а). Під дією цієї сили в усіх точках напівпростору виникає складний напружений стан. У загальному випадку в кожній точці буде діяти шість складових напружень. Найбільше практичне значення мають напруження, що діють на площадках, паралельних поверхні напівпростору: σ_z, τ_xy, і τ_zx.

Рис. 7.1. Схеми дії сил: а - схема дії зосередженої сили; 6 - розподіл напруження на півкульовій поверхні: в-дія напруження в точці М₁.

Візьмемо довільну точку М₁ на глибині : і визначимо її положення у полярних координатах. Зрозуміло, що переміщення елементарного об'єму грунту в цій точці під дією сили N буде тим меншим, чим далі вона розташована від точки прикладання сили, тобто обернено пропорційним радіусу R. У той же час при одному й тому ж значенні R, переміщення точок будуть неоднаковими при різних значеннях кута β. Переміщення точки М₁ будуть максимальними, якщо кут β дорівнює нулю (на осі Z). При збільшенні кута β переміщення зменшуються і на поверхні грунту дорівнюють нулю (β=90⁰).

Вертикальне напруження:

,

де

.

Аналогічно знаходимо дотичні напруження:

,

.

Значення коефіцієнта К можна знайти в таблицях залежно від співвідношення r_i/z.