2.4.6. Асимптоти графіка функції

Побудова графіка функції полегшується, якщо знати його асимптоти.

Асимптотою графіка функції називається пряма, яка має таку властивість, що відстань від змінної точки на графіку до прямої прагне до нуля при необмеженому видаленні точки на графіку від початку координат (тобто при прагненні аргументу до нескінченності).

Розрізняють вертикальні та похилі асимптоти. Частковим випадком похилої асимптоти є горизонтальна асимптота.

Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо .

Вертикальні асимптоти проходять через точки нескінченного розриву функції. Тому вертикальні асимптоти графік функції може мати лише в точках розриву другого роду або на границях області визначення.

Похилі асимптоти отримують при дослідженні поведінки функції на нескінченності.

Рівняння похилої асимптоти має вигляд , де

, .

Зазначені границі потрібно знаходити окремо при і.Якщо ці границі будуть різними, то графік функції має дві різні похилі асимптоти: лівосторонню при і правосторонню при . Якщо ці границі рівні при і, то функція має одну похилу асимптоту.Якщо хоча б одна із зазначених границь, при знаходженні й дорівнює або не існує, то похилих асимптот немає.

В частковому випадку, якщо , а, графік функції має горизонтальну асимптоту, рівняння якої . Це пряма, паралельна вісі .

Приклад 21.

Знайти асимптоти графіка функції .

Розв’язок.

Функція визначена на всій числовій вісі, крім . Область визначення функції має вигляд: .

Отже, точка – точка розриву функції. Дослідимо точку розриву і обчислимо односторонні границі функції в зазначеній точці.

; .

Оскільки односторонні границі рівні , то в точці функція має розрив другого роду. Відповідно графік функції має вертикальну асимптоту (вісь).

Можливе рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді . Обчислимо значення параметрів і (для дрібно-раціональної функції границі будуть однакові при ).

;

.

Підставляючи знайдені значення і, одержимо рівняння похилої асимптоти .

Графік функції показано на рис.8

2.4.7. Повне дослідження функції і побудова її графіка

Для побудови графіка функції необхідно з'ясувати його характерні риси, тобто дослідити функцію. Повне дослідження функції проводять за наступною схемою:

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на неперервність. Знайти вертикальні асимптоти.

3. Дослідити функцію на парність і непарність.

4. Дослідити функцію на періодичність.

5. Знайти точки перетину графіка функції із вісями координат.

6. Визначити проміжки монотонності і екстремуми функції.

7. Визначити проміжки опуклості, вгнутості і точки перегину.

8. Знайти похилі асимптоти графіка функції. Якщо графік не має похилих асимптот, дослідити поведінку функції при .

9. Побудувати графік функції (при необхідності знайти додаткові точки графіка функції).

Приклад 22.

Провести повне дослідження функцій і побудувати їхні графіки:

а) ; б).

Розв’язок.

а) .

1. Область визначення функції.

Функція визначена при всіх значеннях , крім тих, у яких знаменник перетворюється в нуль, тобто

, .

Область визначення функції .

2. Неперервність функції.

Функція визначена при всіх значеннях , крім . Отже, точки і – точки розриву функції. Дослідимо точки розриву, знайдемо односторонні границі функції в зазначених точках.

;

;

;

.

Оскільки односторонні границі дорівнюють , то в точках і функція має розриви другого роду. Отже, графік функції має дві вертикальні асимптоти і .

3. Парність, непарність.

Оскільки , то функція непарна і її графік симетричний відносно початку координат.

4. Періодичність.

Оскільки не існує значення , при якому виконується рівність , то функція неперіодична.

5. Точки перетину із осями координат.

Точки перетину графіка функції із координатними вісями шукаємо, дорівнюючи аргумент і функцію нулю.

Із віссю : ;;.

Точка перетину графіка функції із віссю має координати: .

Із віссю : .

Точка перетину графіка функції із віссю має координати: .

Отже, графік функції проходить через початок координат, інших точок перетину графіка функції із координатними вісями немає.

6. Проміжки зростання, спадання функції, екстремуми.

Знаходимо першу похідну:

.

Знаходимо критичні точки першого роду:

; .

Розіб'ємо область визначення критичними точками першого роду на інтервали і визначимо в кожному з них знак похідної .

		– 1		0		1
	+	не існує	+	0	+	не існує	+
	↗	не існує	↗	0	↗	не існує	↗

Оскільки при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то екстремуму немає.

7. Проміжки опуклості, вгнутості, точки перегину.

Знаходимо другу похідну:

.

Знаходимо критичні точки другого роду: ;

; ;.

Розіб'ємо область визначення критичними точками другого роду на інтервали і визначимо в кожному з них знак другої похідної .

		– 1		0		1
	+	не існує	–	0	+	не існує	–
		не існує		0		не існує	

точка

перегину

Оскільки при переході через критичну точку друга похідна змінює знак, то – абсциса точки перегину. Точка перегину: .

8. Похилі асимптоти.

Рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді . Обчислимо значення параметрів і (для дрібно-раціональної функції границі будуть однакові при ).

;

.

Оскільки і, то графік функції має горизонтальну асимптоту (вісь).

9. Побудова графіка.

Побудуємо графік функції, з огляду на пункти 1-8 (рис. 9).

Додатково знайдемо кілька точок графіка функції:

	–3	–2	–1,5	–0,5	0,5	1,5	2	3
	0,38	0,67	1,2	–0,67	0,67	–1,2	–0,67	–0,38

б) .

1. Область визначення функції.

Логарифмічна функція визначена при, крім цього знаменник не може дорівнювати нулю, тобто.

Тоді область визначення функції має вигляд: .

2. Неперервність функції.

Оскільки функція не визначена в точці , то це точка розриву. Дослідимо характер точки розриву, знайдемо односторонні границі функції.

;

.

Оскільки односторонні границі дорівнюють , то в точці функція має розрив другого роду. Отже, функція в цій точці має вертикальну асимптоту .

Дослідимо також поводження функції на границі області визначення:

.

Це означає, що при справа графік функції прагне до точки .

3. Парність, непарність.

Оскільки і, то функція ні парна ні непарна, тобто загального вигляду.

4. Періодичність.

Оскільки не існує значення , при якому виконується рівність , то функція неперіодична.

5. Точки перетину із вісями координат.

Із віссю :;;.

Оскільки отримана система не має розв’язку, це означає, що точок перетину графіка із віссю немає.

Із віссю : оскількине належить області визначення, то точок перетину із віссюнемає.

Графік функції не перетинає координатні вісі.

6. Проміжки зростання, спадання функції, екстремуми.

Знаходимо першу похідну:

.

Знаходимо критичні точки першого роду:

; ;;.

Розіб'ємо область визначення критичними точками першого роду на інтервали і визначимо в кожному із них знак похідної .

		1		е
	–	не існує	–	0	+
	↘	не існує	↘	2е	↗

min

Оскільки при переході через критичну точку похідна змінює знак із «–» на «+», то в цій точці – мінімум функції.

Знайдемо значення функції в точці :.

7. Проміжки опуклості, вгнутості, точки перегину.

Знаходимо другу похідну:

.

Знаходимо критичні точки другого роду: .

; ;.

Розіб'ємо область визначення критичними точками другого роду на інтервали і визначимо в кожному із них знак другої похідної .

		1
	–	не існує	+	0	–
		не існує		е2	

точка

перегину

Оскільки при переході через критичну точку друга похідна змінює знак, то– абсциса точки перегину.

Знайдемо значення функції в точці :

.

8. Похилі асимптоти.

Обчислимо значення параметрів і (з огляду на область визначення функції можна розглядати лише випадок при).

;

.

Оскільки , то графік функції похилих асимптот не має.

Дослідимо поведінку функції при :

(дивись вище знаходження параметра ).

9. Побудова графіка.

Побудуємо графік функції, з огляду на пункти 1-8 (рис. 10).

Додатково знайдемо кілька точок графіка функції:

	0,5	1,5	2	5	8	11
	–1,44	7,4	5,77	6,21	7,69	9,11