Скорочені теоретичні відомості

1. Границі і неперервність функції

1. Границя числової послідовності і функції в точці і на нескінченності. Односторонні границі функції в точці.

Нехай задана множина всіх натуральних чисел, розташованих у порядку їхнього зростання: .

Якщо кожному числу із множини натуральних чисел за певним законом ставиться у відповідність одне дійсне число , то множина дійсних чисел називаєтьсячисловою послідовністю.

Коротко числова послідовність позначається . Найчастіше послідовність задається формулою його загального члена.

Наприклад, загальний член визначає послідовність:

.

Число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого завгодно малого, наперед заданого, числаможна знайти такий номер послідовності, що для всіх членів послідовності з номеромвиконується нерівність. Графічно це означає, що всі члени послідовності із номеромперебувають у проміжку віддо( рис. 1).

Якщо така границя існує, то послідовність називається збіжною, у протилежному випадку – розбіжною.

Границя послідовності позначається:

Нехай функція визначена в деякому околі точки. У самій точці функція може бути й не визначена.

Число називається границею функції в точці (при), якщо для будь-якої числової послідовностізначень аргументу(), відповідна послідовність значень функціїпрагне до числаа.

Дане визначення границі функції графічно показано на рис. 2. При цьому передбачається, що послідовність належить області визначення функції.

Таким чином, число називається границею функції в точці (при), якщо для будь-якого завгодно малого числазнайдеться таке число, що для всіх значень аргументу, що задовольняють нерівності, буде виконуватися нерівність.

Границя функції в точці позначається:

.

Іноді буває так, що границя функції в точці має різну величину, колизліва, тобтоменше, і колисправа, тобтобільше. У такому випадку говорять проодносторонні границі функції в точці: лівосторонню і правосторонню відповідно.

Лівостороння границя функції в точці позначається:

.

Правостороння границя функції в точці позначається:

.

Число називаєтьсяграницею функції на нескінченності (при ), якщо для будь-якого завгодно малого числаможна вказати таке число, що для всіх значень аргументу, що задовольняють нерівності, буде виконуватися нерівність.

Границя функції на нескінченності позначається:

.

Зауваження: Позначення є узагальненням дляі. Якщо вибір знака є принциповим, то це повинне відображатися в умові завдання.

1.2. Основні теореми про границі

Практичне обчислення границь ґрунтується на наступних теоремах.

Якщо існують і, то:

1. Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їхніх границь:

.

2. Границя добутку двох функцій дорівнює добутку їхніх границь:

.

3. Границя частки дорівнює границі чисельника, поділеній на границю знаменника, за умови, що границя знаменника не дорівнює нулю:

, якщо .

4. Постійний множник можна виносити за знак границі:

, якщо .

5. Границя степеня з натуральним показником дорівнює такому же степеню границі:

.

Використовуються також наступні визначні границі:

І) (перша визначна границя).

Наслідки із першої визначної границі:

; ; ; ,

а також:

;;;,

де – деяка функція.

ІІ) (друга визначна границя) або .

Наслідки із другої визначної границі:

; ,

де – деякі функції.