2.4.2. Зростання і спадання функції на інтервалі

Функція називається зростаючою на інтервалі , якщо більшому значенню аргументу із цього інтервалу відповідає більше значення функції, тобто при, де і – будь-які дві точки із інтервалу є справедливою нерівність .

Якщо більшому значенню аргументу із цього інтервалу відповідає менше значення функції, тобто при є справедливою нерівність ,то функція називається спадною на інтервалі .

Зростання і спадання функції на інтервалі тісно пов'язано із знаком похідної функції у точках цього інтервалу.

Необхідні умови зростання і спадання функції:

Якщо диференційовна функція на інтервалі зростає (спадає), то її похідна на цьому інтервалі не від’ємна (не додатна), тобто().

Достатні умови зростання і спадання функції:

Якщо неперервна на відрізку функція в кожній точці відрізка має додатну (від’ємну) похідну, то вона зростає (спадає) на цьому відрізку.

Інтервали, у яких функція є лише зростаючою або лише спадною, називаються проміжками монотонності.

Ці проміжки обмежені критичними точками І роду – значеннями аргументу, при яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Для знаходження проміжків монотонності, необхідно нанести на числову вісь граничні точки області визначення та усі критичні точки функції. Числова вісь при цьому розбивається на деяку кількість інтервалів, на кожному з яких похідна не змінює знак. Для того щоб дізнатися зростає або спадає функція на даному інтервалі, достатньо з'ясувати який знак має похідна в довільній точці цього інтервалу. Якщо в цій точці , то функція зростає на даному інтервалі, якщо – то функція спадає на даному інтервалі.

2.4.3. Екстремуми функції

Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх точок цього околу виконується нерівність.

Значення функції в точці максимуму називаєтьсямаксимумом функції.

Точка називається точкою мінімуму функції ,якщо існує такий окіл точки , що для всіх точок цього околу виконується нерівність.

Значення функції в точці мінімуму називаєтьсямінімумом функції.

Максимум і мінімум об’єднуються під загальною назвою екстремум функції, а точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.

Функція на всій області визначенняможе мати кілька точок екстремуму. Це означає, що поняття максимуму і мінімуму функції носять локальний характер. Це найбільше і найменше значення функції тільки в околі розглянутої точки, а не у всій області її визначення.

Необхідна умова існування екстремуму функції:

Якщо неперервна функція в точці має екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує, тобто точка екстремуму є критичною точкою І роду.

Зауваження: Не у всякій критичній точці функція має екстремум.

Так, наприклад, для функції (графік функції показано на рис. 5) похідна. Похідна існує при будь-якому значенні аргументу і дорівнює нулю при , тобто функція має одну критичну точку І-го роду: .Однак у даній критичній точці екстремуму немає.

SHAPE \* MERGEFORMAT

Щоб перевірити, чи має функція в критичній точці екстремум, необхідно додаткове дослідження. Для цього використовують достатні умови існування екстремуму.

Перша достатня умова існування екстремуму.

Якщо неперервна функція має похідну у всіх точках інтервалу, що містить критичну точку , (за винятком, можливо, самої цієї точки) і похідна при переході через точку зліва направо змінює знак з плюса на мінус, то функція в цій точці має максимум, а якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс – мінімум.

Друга достатня умова існування екстремуму.

Якщо в точці перша похідна дорівнює нулю , а друга похідна існує і не дорівнює нулю , то при функція в цій точці має максимум, а при функція має мінімум.

Зауваження: У тих випадках, коли в критичній точці друга похідна дорівнює нулю або не існує, то друга достатня ознака існування екстремуму не застосовується.

Схема дослідження функції на монотонність і екстремум

1. Знайти область визначення функції .

2. Знайти першу похідну .

3. Знайти критичні точки І роду.

4. Розбити область визначення функції критичними точками на інтервали.

5. Визначити знак похідної на отриманих інтервалах (методом підстановки значень аргументу або методом інтервалів).

6. Зробити висновок про інтервали монотонності.

7. Визначити, використовуючи першу достатню ознаку екстремуму, які із критичних точок є точками екстремуму.

8. Обчислити значення функції в отриманих точках екстремуму.

9. Результати оформити у вигляді таблиці.

Приклад 18.

Знайти проміжки монотонності і точки екстремуму функції .

Розв’язок.

Функція визначена на всій числовій осі. Область визначення функції має вигляд: .

Знайдемо першу похідну функції:

.

Знайдемо критичні точки першого роду:

.

Дріб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю і знаменник не дорівнює нулю:

; ;.

Отже, точки та – критичні точки І роду.

Розбиваємо всю числову вісь на інтервали і визначаємо знак похідної на кожному з інтервалів.

		– 1		0
	+	0	–	не існує	+
	↗	1	↘	0	↗

max min

Оскільки на інтервалах похідна додатна, то на цих інтервалах функція зростає.

Оскільки на інтервалі похідна від’ємна, то на цьому інтервалі функція спадає.

Оскільки при переході через критичну точку похідна змінює знак з «+» на «–», то в цій точці функція має максимум.

Оскільки при переході через критичну точку похідна змінює знак з «–» на «+», то в цій точці – мінімум функції.

Визначимо значення функції у критичних точках.

;

.

Наближений вигляд графіка функції показано на рис 6.