2.2. Основні правила диференціювання функції. Таблиця похідних

Знаходження похідної називається диференціюванням функції. При знаходженні похідних користуються правилами диференціювання, а також таблицею похідних.

Таблиця похідних основних елементарних функцій

1. , (); 5.;

2. ; 6.;

2^. , (); 7.;

2^. ; 8.;

3. ; 9., ();

3^. ; 10., ();

4. ; 11.;

4^. ; 12..

Основні правила диференціювання

Нехай і– диференційовні функції, – стала. Тоді:

1. (похідна сталої величини дорівнює нулю);

2) (постійний множник можна виносити за знак похідної);

3. (похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних);

4. (похідна добутку двох функцій дорівнює добутку похідної першої функції на другу плюс добуток похідної другої функції на першу);

5) (похідна частки двох функцій дорівнює дробу, в чисельнику якого – добуток похідної чисельника на знаменник мінус добуток похідної знаменника на чисельник, а в знаменнику – квадрат знаменника).

Похідна складної функції

Нехай і . Тоді є складною функцією із проміжним аргументом і основним аргументом .

Наприклад та, тоді – складна функція.

Похідна складної функції визначається за формулою:

.

Функція диференціюється по , а диференціюється по .

Ця формула поширюється на будь-який ланцюжок з будь-якою скінченною кількістю диференційовних функцій.

Зауваження: На практиці при диференціюванні складної функції корисно виділяти «зовнішню» функцію і «внутрішню» функцію . Диференціювання починається завжди із зовнішньої функції, а внутрішня функція, як би складно вона не виглядала, вважається простим аргументом. Похідна внутрішньої функції знаходиться за звичайними правилами.

Таким чином, з огляду на правило знаходження похідної складної функції, таблицю основних елементарних функцій можна записати в розширеному вигляді.

Зведена таблиця формул диференціювання

1. , (); 5.;

2. ; 6.;

2^. ; 7.

2^. ; 8.

3. ; 9.;

3^. ; 10.;

4. ; 11.;

4^. ; 12..

Приклад 10.

Знайти похідні складних функцій:

а) ; б) ;в) ;

г) ;д) ;е) ;

є) ;ж) ; з) .

Розв’язок.

а)

.

б)

.

в)

.

г)

.

д)

.

е)

є)

.

ж)

з)

Для спрощення диференціювання, перетворимо функцію:

.

Одержимо:

.

Похідна оберненої функції

Нехай функції і – взаємо-обернені. Тоді, якщо ,, то:

, .

Приклад 11.

Знайти похідну функції .

Розв’язок.

,

тоді .

Диференціювання функцій, заданих параметрично

Якщо функція від незалежної змінноїзадана за допомогою допоміжної змінної (параметра):, то говорять, що функція задана параметрично і похідна визначається за формулою:

.

Приклад 12.

Знайти похідну , функції .

Розв’язок.

Знаходимо похідні івід змінної:

;

;

Тоді: .

Диференціювання неявної функції

Якщо залежність між і задана в неявному вигляді рівнянням, то похідна визначається в такий спосіб:

1. диференціюються обидві частини рівняння, розглядаючи при цьому , як функцію аргументу;

2. отримане рівняння розв’язується відносно .

У результаті отримують вираз для похідної від неявної функції у вигляді:

.

Приклад 13.

Обчислити похідну функції .

Розв’язок.

Диференціюємо обидві частини рівняння й виражаємо :

; ;

; ;

; ;

; .

Щоб позбутися від багатоповерхового дробу у відповіді, помножимо чисельник і знаменник дробу, який отримали, на вираз .

.