Однородные системы уравнений

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство: Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит. В случаесистема имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при.

Следствие 1: Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство: Если у системы уравнений , то рангсистемы не превышает числа уравнений, т.е.. Таким образом, выполняется условиеи, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2: Однородная система уравнений снеизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство: Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которойс определителем, имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме, а это значит, что матрицавырожденная, т.е..

Разрешенные системы линейных уравнений

Переменная называется разрешенной, если какое-нибудь уравнение системы содержитс коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы переменнаяне входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.

Например, система уравнений:

содержит разрешенные переменные . Переменныеиразрешенными не являются.

Если каждое уравнение содержит разрешенную переменную, то такую систему называют разрешенной. Очевидно, что приведенная в качестве примера система уравнений является разрешенной.

Выбрав из каждого уравнения разрешенной системы по одной разрешенной переменной, можно сформировать набор попарно различных переменных, который называется набором разрешенных переменных данной системы. В общем случае набор разрешенных переменных определен неоднозначно. Например, у рассмотренной выше системы можно выбрать два набора разрешенных переменных: и_.

Переменные системы, которые не входят в данный набор разрешенных неизвестных, называются свободными. Если в системе фиксирован набор разрешенных переменных , то переменныеявляются свободными; если в набор разрешенных переменных системы входят, то свободными переменными являются.

Допустим, что разрешенная система уравнений содержит переменные _, и что набор является набором разрешенных переменных данной системы. Возможны два случая:и.

В первом случае, когда , все переменные системы образуют набор разрешенных переменных системы. Из определения набора разрешенных переменных вытекает, что данная система содержитуравнений. Из определения разрешенных переменных следует, что переменнаясодержится только в первом уравнении, переменная– только во втором и т.д., переменная– только в–м уравнении. Таким образом, разрешенная система имеет вид:

Очевидно, что такая система уравнений имеет только одно решение .

Во втором случае, когда разрешенная система состоит изуравнений вида:

Переменные являются свободными переменными системы. Если выразить разрешенные переменные системычерез ее свободные переменные, то система примет вид:

Теорема (свойство свободных переменных). Если свободным переменным системы придать произвольные значения, тогда:

1. можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно;

2. если у решений исистемы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.

Доказательство: Если значения свободных переменных подставить в систему, то получится:

То есть:

является решением системы уравнений, так как после подстановки координат в эту систему получаются верные равенства. Поскольку узначения свободных переменных равны, соответственно,то– и есть искомое решение системы.

Следствие. Все решения системы получаются так же, как и решение .

Значения для свободных переменных можно выбирать бесконечным числом различных способов, поэтому система уравнений является неопределенной.

Разрешенная система уравнений совместна всегда. Она будет определенной, если число уравнений равно числу неизвестных, и неопределенной, если число уравнений меньше числа неизвестных.