Размерность и базис векторного пространства

Определение. Вектор называется линейной комбинацией вектороввекторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

(8.1)

где – какие угодно действительные числа.

Определение. Векторы векторного пространстваназываются линейно зависимыми, если существуют, такие числа, не равные одновременно нулю, что:

(8.2)

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если равенство справедливо лишь при, и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чиселотлично от нуля.

Можно показать, что если векторы линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы. В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если равенство (8.2) справедливо лишь при, и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чиселотлично от нуля.

Примером линейно независимых векторов являются два неколлинеарных, т.е. не параллельных одной прямой, вектора ина плоскости. Действительно, условие (8.2) будет выполняться лишь в случае, когда , ибо если, например,, тои векторыиколлинеарны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Отметим некоторые свойства векторов линейного пространства.

1. Если среди векторов имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

2. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы — линейно зависимые.

Определение. Линейное пространство называется-мерным, если в нем существуетлинейно независимых векторов, а любые извекторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число называется размерностью пространстваи обозначается.

Определение. Совокупность линейно независимых векторов-мерного пространстваназывается базисом.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Каждый вектор линейного пространстваможно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса:

Это равенство называется разложением вектора по базису, а числа— координатами вектораотносительно этого базиса. В силу единственности разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.

Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, – противоположные по знаку координаты.

Теорема. Если – система линейно независимых векторов пространстваи любой векторлинейно выражается через, то пространствоявляется-мерным пространством, а векторы – его базисом.

Базисом векторного пространства называется любая независимая система линейно независимых–векторов этого пространства, количество которых равно, т.е. выбор системы базисных векторов векторного пространстванеоднозначен, и может быть осуществлен большим числом способов.

Нередко приходится встречаться с заменой переменных, при которой старые переменные линейно выражаются через новые, например, при переходе от одного базиса пространства к другому. Такую замену переменных называют обычно их линейным преобразованием.

Линейным преобразованием переменных называется выражение системы переменных через новую систему переменныхс помощью линейных однородных функций:

Линейное преобразование вполне определяется таблицей размером , составленной из коэффициентов при. Такая таблица, составленная из элементовназываетсяматрицей , а само преобразование представляет собой пример матричной операции. Понятие матрицы требует более детального рассмотрения, что и будет сделано в следующем разделе.