Задача 2.

С целью изучения производительности труда токарей на маши­ностроительном заводе было проведено выборочное обследование 100 рабочих. В результате обследования получены данные о затра­тах времени на обработку одной детали:

Время обработки одной детали (мин.)	18-20	20-22	22-24	24-26	26-28	28-30	Итого
Число работающих	2	8	24	50	12	4	100

Определить:

1. Среднее время обработки одной детали.

2. Дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3. Коэффициент вариации.

4. Моду и медиану,

5. Построить график распределения рабочих по времени обра­ботки одной детали,

6. Сделать выводы.

Решение:

Проведём в таблице расчёты:

Время обработки одной детали (мин.)	Середина интервала (х)	Число работающих (f)	fнак	xf
18-20	19	2	2	38	60,06
20-22	21	8	10	168	96,88
22-24	23	24	34	552	52,57
24-26	25	50	84	1250	13,52
26-28	27	12	96	324	76,20
28-30	29	4	100	116	81,72
∑	-	100	-	2448	380,96

Определим среднее арифметическое:

мин

Определим дисперсию:

Определим среднее квадратическое отклонение:

Определим коэффициент вариации:

Так как коэффициент вариации меньше 33%, то можно сделать вывод, что совокупность работающих является однородной по времени обработки деталей, а полученное среднее – надёжным.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Для нахождения моды в интервальном ряду используется формула:

, где

х_Мо – начало модального интервала;

i_Мо – величина модального интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо-1 – частота предмодального интервала;

f_Мо+1 – частота постмодального интервала.

Модальным интервалом является 4-й, так как характеризуется максимальной частотой – 50. Тогда:

мин

Медиана – срединная величина, центральный член упорядоченного ряда совокупности. Для нахождения медианы в интервальном ряду используется формула:

, где

х_Ме – начало медианного интервала;

i_Ме – величина медианного интервала;

f_Ме – частота медианного интервала;

S_Ме-1 – накопленная частота предмедианного интервала.

Определим медианный интервал. Им считается тот, до которого сумма накопленных частот меньше половины всей численности ряда, а с прибавлением его численности – больше половины. Середина накопленных частот – 100/2 = 50. Сумма первых трёх меньше половины (34), а если прибавить 50 – больше половины численности совокупности (84). Следовательно, медианным является 4-й интервал. Рассчитаем медиану:

мин

Построим график:

Таким образом, среднее время обработки одной детали равно 24,48 мин., типичное – 24,81 мин., а срединное – 24,64 мин.

Задача 3.

В области проведено выборочное обследование 900 семей, имеющих садовые участки. В результате выявлено, что 65% семей имеют садовый участок размером свыше шести соток.

С одного садового участка собирали в среднем по 100 кг фрук­тов. Среднее квадратическое отклонение равно 20 кг.

Требуется с вероятностью 0,954 определить в целом по области пределы доли садовых участков размером свыше шести соток и сбо­ра фруктов с одного участка.

Решение:

Рассчитаем среднюю ошибку выборки при оценивании генеральной доли для повторной выборки:

Найдем предельную ошибку выборки (при вероятности 0,954 t = 2):

Δ = μ*t = 0,016*2 = 0,032.

Построим доверительный интервал для доли: (w - Δ; w + Δ)

(0,65 - 0,032; 0,65 + 0,032) или (0,618; 0,682)

Вывод: с доверительной вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля садовых участков размером свыше шести соток в генеральной совокупности не выйдет за пределы от 61,8% до 68,2%.

Найдем среднюю ошибку выборки для повторного отбора при оценивании генерального среднего:

кг

Найдем предельную ошибку выборки:

Δ = μ*t = 0,67*2 = 1,34 кг

Построим доверительный интервал для среднего: (- Δ; + Δ)

(100 – 1,34; 100 + 1,34) или (98,66; 101,34)

Вывод: с доверительной вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний сбор фруктов в генеральной совокупности не выйдет за пределы от 98,66 до 101,34 кг.