Вакарчук І.О. Квантова механіка

де елемент поверхнi одиничної сфери

dΩ = (sin θ1)N−2(sin θ2)N−3 . . . sin θN−2dθ1 . . . dθN−2 dϕ,

причому повна поверхня

Тут ми скористались табличним iнтеґралом:

З виписаної вище умови нормування хвильової функцiї знаходимо, що

0

З першої умови нормування визначаємо сталi Aj у виразi для функцiй Yl,m(θ, ϕ):

або пiсля замiни змiнних t = cos θj+1

Z1

A2j+1 (1 − t2)(p−1)/2[Cnp/2(t)] dt = 1,

391

Виписаний iнтеґрал нормування полiномiв Ґеґенбауера є вiдомим, i ми отримуємо:

Перевiримо, чи збiгаються одержанi тут ультрасферичнi гармонiки при N = 3 зi знайденими ранiше сферичними функцiями

Yl,m(θ, ϕ) з §34. У цьому випадку, беручи до уваги, що при N = 3, θ1 = θ, m0 = l, mN−2 = m1 ≡ m, m ≥ 0 з нашої загальної формули для Yl,m(θ, ϕ) знаходимо:

а з урахуванням властивостей -функцiй i зокрема, що (m + l + 1) = (m + l)!, а

Цi функцiї з точнiстю до фазового множника (−)m = eiπm збiга-

ються з наведеними в §34 сферичними гармонiками. Переходимо тепер до радiальної функцiї. Умова нормування

для неї пiдказує нам, що, замiсть функцiї R(x), вигiдно ввести

шрединґерiвську хвильову функцiю

χ(x) = x(N−1)/2R(x),

тобто функцiю, яка нормована звичайним чином без вагового множника

Z∞

χ2(x) dx = 1.

0

392

Запишiмо рiвняння для нової функцiї χ(x), пiдставляючи в радi-

альне рiвняння

R(x) = x−(N−1)/2χ(x).

Отже, пiсля множення всього рiвняння злiва на x(N−1)/2, маємо:

називаємо узагальненим або ефективним орбiтальним квантовим числом. Тепер остаточно радiальне рiвняння для N-вимiрiв на-

бирає вигляду, який формально збiгається з тим, що ми мали у тривимiрному просторi:

Цiкаво, що ця аналогiя дозволяє знаходити енерґетичний спектр N-вимiрних моделей шляхом “аналiтичного продовження”

результатiв для простору трьох вимiрiв. Наприклад, для просторового осцилятора формула для рiвнiв енерґiї En,l = ~ω(2n + l +

393

3/2) замiною l → l переходить в енерґiю N-вимiрного просторо-

вого осцилятора

En,l = ~ω (2n + l + N/2) ,

вiдповiдно хвильова функцiя Rn,l(r) переходить в Rn,l (x) =

x−(N−1)/2χn,l (x). Для одновимiрного випадку N = 1 вiдцентрова енерґiя l (l + 1) = (l − 1)l повинна дорiвнювати нулевi, тобто l = 0 або l = 1. При l = 0 цей розв’язок вiдтворює стани лiнiйно-

го гармонiчного осцилятора з парними хвильовими функцiями, а при l = 1 з непарними.

Аналогiчно з формули Бора для енерґiї En електрона в атомi водню з §41, записаної через радiальне квантове число, En = −me4/2~2(nr + l + 1)2, замiна l → l дає енерґетичнi рiвнi N-

вимiрного атома водню:

2me4

En = −~2(2n + N − 3)2 ,

де, як звичайно, n = nr + l + 1 головне квантове число.

Застерiгаємо Читача вiд можливого непорозумiння. У виносцi на стор. 381 йшлося про те, що кулонiвський закон взаємодiї є наслiдком вимiрностi простору, U 1/xN−2. Тут ми говоримо про N-вимiрний атом водню з потенцiальною енерґiєю U 1/x, яка є “чужою” для простору розмiрностi N 6= 3. Отже, мова не йде про рух частинки в N-вимiрному просторi з природним для нього законом U 1/xN−2, коли, як уже зазначалося, для N ≥ 4 не iснує зв’язаних станiв. Зазначимо, що для N = 1 природним “кулонiвським” потенцiалом є U = αx, α > 0 (нагадаємо, що тут x = |x|), рух у такому полi ми вивчали в §24.

Приклад. За допомогою правила квантування Бора–Зоммерфельда обчислити енерґетичнi рiвнi атома водню та iзотропного гармонiчного осцилятора

вN-вимiрному просторi.

Зозначення гiперсферичних координат обчислюємо квадрат елемента довжини дуги (dr)2, вiдтак знаходимо квадрат швидкостi частинки v = dr/dt, її кiнетичну енерґiю (тут для радiальної координати вживаємо позначення r

замiсть x)9,

9Э. Маделунг. Математический аппарат физики. М.: Наука, 1986, с. 285.

394

i функцiю Лаґранжа (як рiзницю кiнетичної й потенцiальної енерґiй), похiднi

де крапками позначено похiднi за часом. Записуємо кiнетичну енерґiю через узагальненi iмпульси i знаходимо класичну функцiю Гамiльтона частинки в полi U:

Завдяки iнтеґраловi руху LN−2 ми виключили з функцiї Гамiльтона кутову координату θN−2 й отримали задачу вже з (N − 3)-ма кутовими змiнними θj .

395

Далi використовуємо наступне рiвняння Гамiльтона для p˙N−3, яке дає “свiй” iнтеґрал руху. Повторюючи цю процедуру (N − 2) рази, отримуємо, що

причому Lj ≥ 0, Lj > Lj+1, LN−1 ≡ pϕ, L1 ≡ L, а функцiя Гамiльтона, або енерґiя E, тепер є такою:

Отже, фактично ми виконали роздiлення змiнних i звели нашу задачу до N

одновимiрних задач.

Переходимо до умов квантування Бора–Зоммерфельда. Радiальна умова квантування для U = −e2/r з урахуванням сталої величини νr = 1/2 дає нам такi рiвнi енерґiї (див. Приклад 3 до §30, у якому замiсть pϕ потрiбно пiдставити величину L i nr замiнити на (nr + 1/2)):

me4

E = − 2[L + ~(nr + 1/2)]2 ,

де nr = 0, 1, 2, . . . радiальне квантове число.

Аналогiчно для iзотропного гармонiчного осцилятора, U = mω2r2/2, з Прикладу 4 до §30 знаходимо замiною pϕ = ~(l + 1/2) на L енерґiю

E = ~ω(2nr + 1 + L/~), nr = 0, 1, 2, . . . .

Величину L обчислимо з кутових умов квантування:

nϕ = 0, 1, 2, . . . азимутальне квантове число; nj = 0, 1, 2, . . . широтно-

кутовi квантовi числа. Цi рiвняння потребують пояснень. У правiй частинi умови квантування для pϕ до квантового числа nϕ не додаємо сталої величини νϕ, точне значення якої, як ми знаємо з §30, диктує характер потенцi-

альної енерґiї i вiдповiднi граничнi умови на хвильову функцiю. Зокрема, в нашому випадку на її залежнiсть вiд азимутальної змiнної ϕ накладаємо перiодичнi граничнi умови, i отже, νϕ = 0. Щодо залежностi хвильової функцiї вiд широтних кутiв θj , то тут ситуацiя iнша. З виразiв для iнтеґралiв руху Lj бачимо, що “потенцiальна енерґiя”, тобто величина 1/ sin2 θj , є гладкою

функцiєю, i тому, згiдно з тими мiркуваннями й висновками, якi ми наводили в §30 щодо чисельних значень величин νj , вони дорiвнюють 1/2 для всiх значень j = 1, 2, . . . , N − 2.

Зважаючи на те, що pϕ = const, з умови квантування маємо pϕ = ~nϕ. Iнтеґрали за θj в рештi умов квантування також беремо нескладно:

396

де a = Lj /Lj+1, а кут θmin визначаємо з умови рiвностi нулевi пiдкореневого виразу (точка повороту), sin θmin = Lj+1/Lj . Далi без коментарiв обчислюємо

потрiбний iнтеґрал:

i з умов квантування одержуємо таке рiвняння:

Lj − Lj+1 = ~ (nj + 1/2) .

Пiдсумуймо обидвi частини цього виразу за j вiд j = 1 до j = N − 2.

Очевидно в лiвiй частинi “виживуть” лише перший доданок iз першої суми L1 ≡ L i останнiй доданок iз другої LN+1 ≡ pϕ решта доданкiв взаємно

скоротяться. У результатi шукана величина

де ми ввели орбiтальне квантове число l = 0, 1, 2, . . . .

Тепер, маючи величину L, повертаємося до формули для енерґiї й оста-

точно знаходимо:

me4

E = − 2~2 [n + (N − 3)/2]2 ,

n = nr + l + 1 = 1, 2, . . . головне квантове число.

Для осцилятора рiвнi енерґiї, пiсля пiдстановки величини L у наведений

вище вираз, є такими:

E = ~ω(2nr + l + N/2).

Отже, квазiкласичне квантування i в N-вимiрному випадку дає точний

результат для рiвнiв енерґiї електрона в атомi водню. Зробимо зауваження стосовно так званої “маятникової орбiти”, коли nϕ = 0 (див. Приклад 3 до §30).

Ми вилучали її з розгляду, оскiльки за класичними уявленнями така траєкторiя електрона проходить крiзь ядро, що є неможливим, i уникли проблеми “нуль у знаменнику” у виразi для енерґiї при nr = 0. Насправдi, nϕ може до-

рiвнювати нулевi, а проблема “нуль у знаменнику” зникає сама собою, якщо брати до уваги й сталi величини νr = 1/2, νθ = 1/2, якi при nr = nϕ = nθ = 0

397

Г Л А В А VIII

ТЕОРIЯ ЗБУРЕНЬ

§ 45. Стацiонарна теорiя збурень. Невироджений випадок

Досi ми розглядали переважно задачi, що мають точний розв’язок, як наприклад, задачi про гармонiчний осцилятор або атом водню. У бiльшостi задач квантової механiки таких простих розв’язкiв не iснує. Тому було створено цiлу низку наближених методiв розв’язку рiвняння Шрединґера як стацiонарного, так i нестацiонарного. Причому в багатьох випадках є можливiсть на-

ближено звести вихiдну задачу з гамiльтонiаном ˆ до простiшої,

H

гамiльтонiан якої ˆ дозволяє отримати точний розв’язок. Якщо

H0

ˆ та ˆ не сильно рiзняться, тобто якщо вiдповiднi власнi значен-

H H0

ня є достатньо близькими, то систему з гамiльтонiаном ˆ розгля-

H0

даємо як опорну (систему вiдлiку), що є нульовим наближенням до вихiдної. Отже, нехай гамiльтонiан

ний метод розв’язку задачi на власнi значення та власнi функцiї

для ˆ має назву стацiонарної теорiї збурень. Якщо ˆ залежить

H V

вiд часу, то задача знаходження хвильових функцiй для будьякого моменту t називається нестацiонарною теорiєю збурень. Є,

однак, клас задач, для яких простi методи теорiї збурень не працюють: збурення не є малим. У цих випадках вдаються до таких пiдходiв, як варiацiйний принцип або знаходять “несподiванi” малi параметри, а це, як ми побачимо далi на конкретних прикладах,уже мистецтво.

399

Отже, нехай ми маємо систему з гамiльтонiаном ˆ , для якої

H0

вiдомi власнi значення En(0) та власнi функцiї ψn(0). Iншими слова-

ми, рiвняння

вважається розв’язаним. Необхiдно знайти власнi значення En та

власнi функцiї гамiльтонiана ˆ , тобто розв’язати стацiонарне

ψn H

рiвняння Шрединґера

ˆ

Hψn = Enψn.

Уведемо для зручностi параметр вмикання взаємодiї λ:

причому 0 ≤ λ ≤ 1. При λ = 0 маємо “нульову” задачу, а при λ = 1

вихiдну. Таким чином, маємо рiвняння

Оскiльки система функцiй ψm(0) є повною, то розкладемо невiдому функцiю ψn у ряд

Тепер вихiдне рiвняння Шрединґера набуває вигляду

Домножимо це рiвняння злiва на хвильову функцiю ψn(0)′ та проiнтеґруємо за змiнними q, вiд яких залежать хвильовi функцiї:

де матричний елемент оператора збурення

Z

(0) ˆ (0)

Vn′m = ψn′ V ψm dq.

400