Вакарчук І.О. Квантова механіка

поглинає (значок “–”) атом за одиницю часу:

Перейдемо вiд пiдсумовування за k до iнтеґрування, маючи на увазi граничний перехiд V → ∞:

Переходимо в iнтеґралi за хвильовими векторами до сферичної системи координат:

dΩ елемент тiлесного кута. Визначимо тепер iнтенсивнiсть випромiнювання (поглинання) свiтла Ik(±,α) як кiлькiсть енерґiї iз заданою поляризацiєю α, що випромiнює (поглинає) атом за одиницю часу t в одиницю тiлесного кута Ω:

× (Nk,α + 1)|p12|2δ(E1 − E2 + ~ωk).

Завдяки δ-функцiї та з урахуванням того, що k = ωk/c, iнтеґру-

вання в цьому виразi виконуємо елементарно,

де частота переходу

ω = E2 − E1 .

~

511

Аналогiчно iнтенсивнiсть поглинання свiтла

I(−) = e2ω2 |p12|2Nk,α.

k,α 2πm2c3

Поглинання свiтла вiдсутнє Ik(−,α) = 0, якщо кiлькiсть фотонiв поля Nk,α = 0, тобто якщо поле перебуває в основному станi. Випро-

мiнювання, однак, у цьому випадку iснує i має назву спонтанного випромiнювання, iнтенсивнiсть якого

Незважаючи на те, що в основному, тобто вакуумному, станi електромагнiтного поля фотони вiдсутнi, завдяки iснуванню флюктуацiй, середнi квадратичнi вiдхилення для напруженостей вiдмiннi вiд нуля. Це забезпечує взаємодiю електрона з полем, яка i є причиною спонтанних квантових переходiв. Число Nk,α в iнтен-

сивностi випромiнювання зумовлює iндуковане випромiнювання, завдяки якому працюють лазери оптичнi квантовi ґенератори.

Повернiмось до умови детального балансу. На перший погляд, вона забороняє iснування атомних спектральних лiнiй поглинання чи випромiнювання: адже атом поглинає й випромiнює фотон iз тiєю ж самою ймовiрнiстю. Розгляньмо, наприклад, спектральнi лiнiї поглинання атомiв в атмосферi Сонця так званi фраунгоферовi лiнiї1. Здавалось би, атоми атмосфери Сонця поглинають i тут же випромiнюють фотони тої самої енерґiї. Насправдi, унаслiдок мiжатомних взаємодiй, виникає перерозподiл фотонiв, що випромiнюються, по всьому спектру. У цьому й полягає суть механiзму утворення фраунгоферових лiнiй2.

1Йозеф Фраунгофер (1787–1826) нiмецький фiзик, який, самостiйно

здобувши освiту, вивчав спектри планет i Сонця, уперше застосував для їх вивчення дифракцiйнi ґратки, пояснив наявнiсть темних лiнiй у сонячному спектрi.

2Механiзм утворення фраунгоферових лiнiй та їхню тонку структуру

вивчав вiдомий український астрофiзик Б. Т. Бабiй (1936–1993), який працював на кафедрi теоретичної фiзики та в Астрономiчнiй обсерваторiї Львiвського унiверситету.

512

§ 62. Електричне дипольне випромiнювання.

Правила вiдбору

Розглянемо докладнiше отриманi вирази для iнтенсивностей випромiнювання та поглинання свiтла. Для цього достатньо проаналiзувати вираз для iнтенсивностi спонтанного випромiнювання Ik,α, у якому зосередимо увагу на матричному елементi p12. Нас

˚

цiкавитиме передусiм дiлянка довжин хвиль λ & 1000 A, яка охо-

плює й видиму частину спектра. Виявляється, що в цьому випадку вираз для p12 значно спрощується. Дiйсно, хвильовi функцiї, на яких обчислюються матричнi елементи p12, помiтно вiдмiннi вiд

˚

нуля на вiддалях порядку розмiрiв атома a 1 A. Тому показник експоненти e−ikr, яка входить у p12, є малим:

kr ka = 2λπ a 10−3.

Отже, ми маємо змогу розкласти експоненту в ряд:

e−ikr = 1 − ikr + · · · .

У результатi

p12 = h1|(ek,αpˆ)|2i − ih1|(kr)(ek,αpˆ)|2i + · · · .

Зрозумiло, що у випадку рентґенiвського випромiнювання, коли

˚

λ 1 A, а kr 1, необхiдно розраховувати цей матричний еле-

мент точно, не розкладаючи експоненту в ряд.

У цьому параграфi ми обмежимось лише першим доданком розкладу:

p12 = h1|ek,αpˆ|2i.

Проведемо ряд простих перетворень iз використанням вiдомих нам формул:

Скористаємось тим, що

513

а

X

=Enδ1,nhn|r|2i = E1h1|r|2i.

де матричний елемент оператора координати електрона

r12 = h1|r|2i.

Уведемо оператор дипольного моменту електрона

d = er.

Отже, тепер

mω

p12 = ie d12ek,α,

а iнтенсивнiсть спонтанного випромiнювання

Ми бачимо, що вона залежить вiд електричного дипольного моменту електрона, тому таке випромiнювання називають дипольним випромiнюванням, а вiдповiднi квантовi переходи дипольними переходами.

Розглянемо випромiнювання, пiдсумоване за поляризацiями:

Уведемо напрямнi косинуси вiдповiдно до рис. 53, вибираючи вiсь z уздовж k:

514

Використаємо властивостi напрямних косинусiв (теорема Пiфагора):

де кут \

θ = (k, d12).

Рис. 53. Напрямнi косинуси дипольного моменту d12.

Проiнтеґруємо цей вираз за кутами i знайдемо повне спонтанне випромiнювання за одиницю часу.

I(ω) = 4 ω4 |d12|2.

3 c3

Цей вираз виявляє повну аналогiю з класичною формулою для iнтенсивностi дипольного випромiнювання. У класичному виразi матричний елемент оператора дипольного моменту d12 замiнює-

ться компонентою розкладу в ряд Фур’є класичного дипольного моменту частинки. Це цiлком узгоджується з принципом вiдповiдностi Бора. Треба лише пам’ятати, що в класичному виразi числовий коефiцiєнт, як правило, пишуть не 4/3, а 2/3, тому що

вкласичному розкладi частоти змiнюються в межах (−∞, ∞), а

внашому випадку вiд 0 до ∞.

515

Як бачимо, характер випромiнювання повнiстю визначається матричним елементом d12 = er12. Отже, випромiнювання та поглинання свiтла можливi лише тодi, коли r12 6= 0. Зрозумiло, що вiн вiдмiнний вiд нуля не для будь-яких станiв |1i та |2i. Суку-

пнiсть умов, що накладаються на хвильовi функцiї початкового й кiнцевого станiв для того, щоб матричний елемент r12 не дорiвню-

вав нулевi, називають правилами вiдбору дипольних переходiв. Займемось тепер цими правилами. Почнемо з найпростiшого

випадку одновимiрного гармонiчного осцилятора. Розрахуємо ма-

тричний елемент координати x12 = h1|x|2i, де |1i = |ni, |2i = |n′i

осциляторнi хвильовi функцiї. Використаємо зображення операторiв породження та знищення з осциляторної задачi:

тобто переходи можливi лише мiж сусiднiми рiвнями.

Тепер сформулюємо правило вiдбору для випадку, коли електрон рухається в центрально-симетричному полi. Нехай хвильовi функцiї

Розглянемо спочатку квант, що поляризований уздовж осi z

(рис. 54):

mω p12 = i z12.

516

Рис. 54. Вектори ek,α та k для лiнiйної поляризацiї свiтла.

Тепер маємо

z12 = h1|z|2i = hn, l, m|r cos θ|n′, l′, m′i

Z∞

=r2Rn,l(r)rRn′,l′ (r) dr

0

Z2π Z π

×Yl,m(θ, ϕ) cos θ Yl′,m′ (θ, ϕ) sin θ dϕ dθ

00

Тут через R скорочено позначено радiальну частину матричного

елемента

Z ∞

R = r2Rn,l(r)rRn′,l′ (r) dr,

0

яка вiдмiнна вiд нуля при довiльних значеннях квантових чисел i може бути розрахована для конкретних випадкiв. Використаємо властивiсть сферичних функцiй

eimϕ

Yl,m(θ, ϕ) = √ Θl,m(θ),

2π

517

яку неважко перевiрити за допомогою явних виразiв для приєднаних полiномiв Лежандра:

cos θ Θl,m(θ) = Al,mΘl−1,m(θ) + Bl,mΘl+1,m(θ),

Скористаємось умовою ортогональностi сферичних функцiй i отримаємо

z12 = Rδm′,m(Al,mδl−1,l′ + Bl,mδl+1,l′ ).

Нехай тепер фотон випромiнюється в напрямку осi z, тодi вектори ek,α лежать у площинi xy. Розглянемо випадок циркулярно поляризованого свiтла, одиничнi вектори поляризацiї якого ek,+ та ek,− визначаються формулою:

1

ek,± = √ (ek,1 ± iek,2),

2

одиничнi вектори ek,1 та ek,2 напрямленi вздовж осей x та y вiдповiдно. Знак “−”, коли x-компонента випереджує y-компоненту за фазою на π/2 (тобто y-компонента має множник e−iπ/2 = −i), вiдповiдає лiвiй круговiй поляризацiї: з кiнця вектора k, напрямленого вздовж осi z, поворот вiд x до y пiде проти годинникової стрiлки. Знак “+” вiдповiдає правiй круговiй поляризацiї, в цьому випадку x-компонента вiдстає вiд y-компоненти на π/2. За-

уважимо, що, коли одиничнi вектори поляризацiї є комплексними

518

та умови ортогональностi функцiй Θl,m(θ) отримуємо, що

R ′ ′ h1|ek,+r|2i = √2 δm′,m−1 Al,mδl−1,l′ + Bl,mδl+1,l′ .

Аналогiчно з

sin θ Θl′,m′ (θ) = A′l′,m′ Θl′−1,m′−1(θ) + Bl′′,m′ Θl′+1,m′−1(θ)

519

маємо:

Звiдси випливають умови, за яких матричний елемент p12 6= 0:

Зведемо тепер разом одержанi правила вiдбору для лiнiйної та циркулярної поляризацiй у наближеннi дипольних переходiв:

нням закону збереження проекцiї моменту iмпульсу системи “атом плюс поле” в процесах випромiнювання та поглинання свiтла. Власний момент кiлькостi руху фотона дорiвнює ~. При випромiнюваннi лiнiйно поляризованого свiтла з атома виноситься момент кiлькостi руху з нульовою проекцiєю на вiсь z, m = 0: фотон поширюється в площинi xy. Для колової поляризацiї проекцiя моменту iмпульсу фотона на вiсь z дорiвнює ±~ i вiдповiдно

до цього змiнюється проекцiя моменту кiлькостi руху атома. Квантовi переходи, якi пiдкоряються правилам вiдбору, нази-

ваються дозволеними. Якщо правило вiдбору не виконується, то електричне дипольне випромiнювання вiдсутнє, а вiдповiднi квантовi переходи називають забороненими. Урахування наступних членiв розкладу в матричному елементi p12 може зробити такi

переходи можливими.

Правила вiдбору пов’язанi з симетрiєю задачi, i зокрема з парнiстю хвильових функцiй, яка для центрального поля визначається орбiтальним квантовим числом l. Наприклад, якщо початковий i кiнцевий стани є сферично-симетричними, то матричний елемент p12 тотожно рiвний нулевi. Справдi, при iнтеґруваннi по r в точному виразi для p12 (див. попереднiй параграф) направимо вiсь z уздовж вектора поляризацiї ek,α. При цьому ek,αpˆ|2i буде непарною функцiєю z, а стан |1i парною. Фаза (kr) експоненти в p12 не залежить вiд z, оскiльки хвильовий вектор k є перпендикулярним до вектора поляризацiї ek,α. Тому загалом пiдiнтеґральний

520