Вакарчук І.О. Квантова механіка

Беручи конкретнi значення квантових чисел n, l, легко перекона-

тись, що цей вираз точно збiгається з радiальною функцiєю водневої задачi з §41: саме для цього ми ввели тут додатковий фазовий множник (−)n. Ще раз наголошуємо, що в цьому параграфi квантове число n це радiальне квантове число, яке ми ранiше позначали через nr, так що тут головне квантове число дорiвнює

(n + l + 1).

§ 43. Атом водню. Iнтеґрал руху Лапласа–Рунґе–Ленца

Так зване випадкове виродження енерґетичних рiвнiв частинки, що рухається в полi кулонiвського потенцiалу, вказує на iснування додаткового iнтеґрала руху, специфiчного для цього поля. Щоб його виявити, почнемо розгляд на основi класичних рiвнянь iз наступним узагальненням на квантовий випадок5.

5Закон обернених квадратiв для центральної сили є, можливо, одним iз

найпростiших прикладiв фiзичних взаємодiй. Як закон Ньютона для ґравiтуючих мас, так i закон Кулона для нерухомих зарядiв були винайденi на пiдставi експериментальних спостережень. Iммануїл Кант (1724–1804) зрозумiв, що закон обернених квадратiв є наслiдком тривимiрностi нашого простору. Справдi, у D-вимiрному просторi силовi лiнiї поля, джерелом яких є заряд

або ґравiтуюча маса, зi збiльшенням вiдстанi вiд джерела розподiляються на чимраз бiльшу поверхню сфери радiуса r. Площа сфери зростає як rD−1, а от-

же, густина силових лiнiй, що проходять через поверхню сфери, i сама сила спадають як 1/rD−1. Вiдповiдне спадання для потенцiалу поля визначається

законом 1/rD−2.

Для iснування стiйких орбiт, наприклад, планет, що рухаються навколо зiрок або (класичною мовою) електронних орбiт в атомi, необхiдно, щоб вiд-

центровий потенцiал 1/r2 спадав iз вiдстанню швидше, нiж потенцiал поля

1/rD−2. В iншому випадку рух буде нестiйким i будемо мати або падiння тiл

на центр або вiддалення їх на безмежнiсть. Отже, для iснування зв’язаних

381

Запишемо рiвняння руху Ньютона для частинки масою m, що рухається в полi центральної сили з потенцiалом U = U(r):

mv˙ = −rr dUdr .

Помножимо це рiвняння векторно справа на момент кiлькостi руху L = [rp] = m[rv],

1 dU

[vL˙ ] = − r dr [r[rv]].

Розпишемо подвiйний векторний добуток i нагадаємо, що L є iн-

теґралом руху в центрально-симетричному полi, ˙ = 0:

L

Перед нами несподiвано виникла можливiсть отримати якiсно новий нетривiальний iнтеґрал руху. Справдi, якщо поле таке, що

−r2 dUdr = α = const,

станiв необхiдно, щоб 2 > D − 2, тобто D < 4. Якщо вимiрнiсть простору є

бiльшою, нiж три, то в ньому не можуть iснувати нi атоми, нi планетарнi системи, нi зiрки, нi галактики. Коли вимiрнiсть простору є меншою вiд трьох, то в ньому не iснує вiльного руху тiл: для D = 1 потенцiал зростає пропорцiйно до r, а при D = 2 маємо потенцiал ln r. В обох випадках силовий центр,

урештi-решт, притягне на себе пробне тiло.

Отже, лише у випадку D = 3 можуть бути як зв’язанi стани, так i вiльний

рух частинок, що дозволяє утворюватись i розпадатись складним структурам на атомному рiвнi та в макросвiтi.

Саме завдяки цьому й iснують такi свiдки нашого Свiту, як ми з Вами. В iнших Свiтах, для яких Природа пробувала “леґалiзувати” iншi компактифiкованi вимiрностi простору, таких свiдкiв немає.

382

тобто потенцiал

U = αr

є кулонiвським, то

dtd [vL] + αrr = 0.

Таким чином, вектор

A = [vL] + αrr

є iнтеґралом руху, ˙ = 0. Цей вектор був вiдомий ще П. С. Лап-

A

ласовi (1799 р.), а пiзнiше його дослiджували К. Рунґе (1919 р.) та В. Ленц (1924 р.)6.

Маючи в розпорядженнi цей iнтеґрал руху, легко знайти траєкторiю частинки. Помноживши його скалярно на радiус-вектор, одержуємо

(rA) = m1 (r [pL]) + α(rrr ) .

Циклiчно переставляючи вектори в мiшаному добутку, отримаємо

rA cos ϕ = L2 + αr, m

де кут ϕ це кут мiж радiус-вектором r i сталим напрямком, який задає вектор A. Звiдси знаходимо рiвняння траєкторiї

L2/m

r = −α + A cos ϕ,

яка є конiчним перерiзом.

6Насправдi, iсторiя цього iнтеґрала руху сягає часiв I. Ньютона (див.

H. Goldstein, Am. J. Phys. 44, No. 11, 1123 (1976)). Учень Й. Бернуллi Я. Германн у 1710 роцi опублiкував працю, в якiй, iнтеґруючи рiвняння руху тiла, що рухається пiд дiєю сили, обернено-пропорцiйної до квадрата вiдстанi, знайшов як сталу iнтеґрування величину A. Пiзнiше Й. Бернуллi показав, що зберiгається й напрям вектора A.

383

Знайдемо зв’язок модуля вектора A з повною енерґiєю E. Пiд-

тобто

A2 = 2L2 H + α2, m

де H = p2/2m + α/r це класичний гамiльтонiан. Отже,

r

A = α2 + 2L2 E. m

Тепер рiвняння траєкторiї для α < 0 запишемо в канонiчнiй фор-

мi:

p

r = 1 + ǫ cos ϕ,

p

де параметр p = L2/m|α|, а ексцентриситет ǫ = 1 + 2L2E/mα2.

Перейдемо тепер до квантовомеханiчного опису. Ми не будемо детально розписувати всi перетворення такий “верлiбровий” виклад формул, можливо, спонукає Читача до самостiйного виконання допомiжних вправ. Оператор, що вiдповiдає величинi A,

знаходимо, симетризуючи доданок iз векторним добутком i беручи пiвсуму:

Нагадаємо, що, мiняючи мiсцями вектори у векторному добутку, ми змiнюємо знак. Величина A є iнтеґралом руху i у квантовому

випадку

ˆ ˆ − ˆ ˆ

AH HA = 0.

384

Неважко переконатись, що iснують такi операторнi рiвностi:

Отже, оскiльки оператор ˆ комутує з гамiльтонiаном, то ко-

A

жна компонента вектора ˆ має з ˆ спiльну систему власних фун-

A H

кцiй. Однак компоненти вектора ˆ не комутують мiж собою, не

A

комутують вони також i з компонентами вектора ˆ. Це означає,

L

згiдно iз загальним твердженням, установленим у §17, що iснує виродження. Це i є те додаткове, або випадкове, виродження в кулонiвському полi за орбiтальним квантовим числом l, про яке

йшлося в §41 при обговореннi розв’язку водневої задачi. Бачимо, що це додаткове виродження зумовлене особливiстю саме кулонiвського поля, яке дозволяє iснування якiсно нового iнтеґрала руху A.

Уведiмо до розгляду оператор

Далi введiмо такi оператори:

ˆ = 1 ( ˆ + ˆ ),

J 2 L M

ˆ = 1 ( ˆ − ˆ ).

S 2 L M

Вони мають властивостi операторiв моменту кiлькостi руху, тобто їхнi переставнi спiввiдношення є такими:

[ˆˆ] = i~ ˆ,

JJ J

385

стему власних функцiй, тому записуємо цю рiвнiсть у зображеннi, де обидва оператори є дiагональними

Уведiмо квантове число n = 2j + 1, яке набуває значення n = 1, 2, 3, . . .. Тепер

mα2 En = −2~2n2 .

Ми отримали формулу Бора, α = −Ze2. Цей операторний (мат-

ричний) метод знаходження рiвнiв енерґiї електрона в атомi водню в 1926 роцi запропонував В. Паулi, який за декiлька мiсяцiв перед Е. Шрединґером знайшов вираз для En.

386

§ 44. Радiальне рiвняння Шрединґера в N-вимiрному

просторi

Ми вже неодноразово торкались проблеми вимiрностi простору. Вона є надзвичайно цiкавою пiд рiзними поглядами вiд фiлософського, з обговоренням спостережуваних фiзичних наслiдкiв iснування компактифiкованих вимiрiв, до практичного використання багатовимiрностi для знаходження точного розв’язку рiвняння Шрединґера з нескiнченним числом вимiрiв i побудови теорiї збурень, коли малим параметром слугує обернена вимiрнiсть простору.

У зв’язку з цим докладнiше розглянемо рух частинки маси m в N-вимiрному просторi в центрально-симетричному силовому

полi. Запишемо стацiонарне рiвняння Шрединґера

pˆ2

2m + U ψ(x) = E ψ(x),

де радiус-вектор частинки в декартових координатах x =

(x1, . . . , xN ), оператор iмпульсу pˆ = (−i~∂/∂x1, . . . , −i~∂/∂xN ), потенцiальнаqенерґiя U = U(x) залежить вiд модуля радiус-

вектора x = x21 + . . . + x2N . Наше завдання полягає в тому, щоб

записати це рiвняння в гiперсферичних координатах i видiлити з нього радiальну частину.

Зв’язок мiж декартовими (x1, . . . , xN ) i гiперсферичними координатами для N-вимiрiв є таким7:

7Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Т. II. М.: На-

ука, 1974.

387

є ортогональними мiж собою:

(eiej) = 0, i 6= j.

Це легко перевiрити прямими обчисленнями, що не становлять якихось труднощiв.

Запишiмо потрiбний для нашої мети оператор Лапласа в гiперсферичних координатах, користуючись звичайною схемою переходу вiд декартових координат до будь-яких iнших. Отже, виконуючи цю просту, але, можливо, для декого нудну вправу, отримуємо:

(θ1, θ2, . . . , θN−2).

388

Бачимо, що як i в тривимiрному просторi, воно дозволяє роздiлити змiннi8 :

ψ(x) = R(x)Y (θ, ϕ),

де R(x) радiальна складова хвильової функцiї, а кутова частина Y (θ, ϕ) є сферичною гармонiкою (яку часто називають також

ультрасферичною гармонiкою), що задовольняє рiвняння Лапласа

2(xlY (θ, ϕ)) = 0.

Звiдси, використовуючи наведений вище вираз для оператора 2,

маємо, що

або

θ,ϕY (θ, ϕ) = −l(N + l − 2)Y (θ, ϕ).

Якщо вимiрнiсть простору N = 3, то ми приходимо до вже зна-

йомого рiвняння на власнi значення для звичайних сферичних функцiй.

Явний вигляд кутової частини лапласiана показує, що i це рiвняння дозволяє роздiлити змiннi. Отже, функцiю Y (θ, ϕ) запису-

ємо у виглядi добутку функцiй:

e±imN−2ϕ

Yl,m(θ, ϕ) = √ 2π

NY−3

× Aj+1(sin θj+1)mj+1 Cmj+1−j/2+N/2−1(cos θj+1), mj −mj+1

j=0

де Cnν(cos θj ) полiноми Ґеґенбауера або ультрасферичнi полiноми степеня n i порядку ν, причому цiлi числа m0 = l,

8У загальному випадку при переходi вiд декартових до криволiнiйних ко-

gik (М. Т. Сенькiв. Векторний i тензорний аналiз. Львiв: Львiвський ун-т, 1990; [10]). Наприклад, для сферичних координат (N = 3) g11 = 1, g22 = r2, g33 = r2 sin2 θ; gik = 0, i 6= k, а якобiан переходу J = √g.

389

m1, m2, . . . , mN−2 такi, що l ≥ m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mN−2 ≥ 0, Aj

сталi нормування. Цi полiноми задовольняють диференцiальне рiвняння

(1 − t2)y′′ − (2ν + 1)ty′ + n(n + 2ν)y = 0, y = y(t) ≡ Cnν (t);

їх можна визначити також за допомогою твiрної функцiї

n=0

Полiноми Ґеґенбауера для пiвцiлих значень верхнiх iндексiв можна записати через полiноми Лежандра (див. §34),

а для цiлих значень верхнiх iндексiв їх заступають похiднi вiд полiномiв Чебишова

Tl(t) = cos(l arccos t).

Використовуючи виписанi вище рiвняння на власнi значення для кутової частини лапласiана, записуємо радiальне рiвняння Шрединґера так:

Енерґiя, як i для випадку трьох вимiрiв, не залежить вiд “магнiтних” квантових чисел m1, . . . , mN−2.

Обговоримо умови нормування. Для дискретного спектра очевидно Z

|ψ(x)|2 dx = 1,

де для елемента об’єму ми скористались таким позначенням: dx ≡ dx1dx2 . . . dxN . У гiперсферичних координатах

390