Вакарчук І.О. Квантова механіка

l + [n − l − 1] − n

×[n − l − 1](2l + [n − l − 1] + 1) .

Тепер у розгорнутому виглядi

w(x) = a0L(x),

L(x) = 1 + (n − l − 1) (−x) 1!(2l + 2)

+(n − l − 1)(n − l − 2) (−x)2 2!(2l + 2)(2l + 3)

+(n − l − 1)(n − l − 2)(n − l − 3) (−x)3 + · · ·

3!(2l + 2)(2l + 3)(2l + 4)

Сталу a0 визначимо пiзнiше з умови нормування. Цей полiном

вiдомий у математицi як приєднаний, або узагальнений, полiном Лаґерра. Є рiзнi його означення, якi вiдрiзняються сталими множниками та характером iндексацiї. Ми зафiксуємо їх пiзнiше.

Покажемо, що полiном L(x) можна записати компактнiше,

якщо спробувати зобразити його як послiдовну дiю оператора (1 − d/dx) на змiнну x у деякому степенi. Вираз (1 − d/dx)mxp є полiномом з (m + 1) доданком (при p > m). Наш полiном має (n − l) доданкiв, тому приймаємо m = n − l − 1. Використовуючи

розклад бiнома Ньютона, маємо

361

Пiдберiмо число p так, щоб коефiцiєнти у фiгурних дужках у цьому виразi i в розкладi для w при вiдповiдних степенях x збiгались. Для найстаршого степеня x маємо рiвняння

Отже, p = 2l + n − l = n + l. Неважко переконатись, що таке значення числа p забезпечує рiвнiсть для всiх коефiцiєнтiв. Тому

362

Вираз у фiгурних дужках, як бачимо, i є полiномом L(x). Таким

чином,

Другу рiвнiсть отримуємо “пронесенням” експоненти ex налiво i зсувом d/dx на одиницю. Тому приєднаний полiном Лаґерра мо-

жна записати й у такому зручному для рiзних обчислень компактному виглядi:

Одне зi стандартних означень приєднаного полiнома Лаґерра з усталеною в теоретичнiй фiзицi iндексацiєю є таким (див. виноску на стор. 355):

Якщо взяти k = 2l + 1, а p = n + l, то з точнiстю до сталої наш полiном L(x) збiгається з полiномом L2nl++1l (x). Справдi, виконуючи

без коментарiв ряд простих, подiбних до попереднiх перетворень,

363

Вираз у фiгурних дужках i є нашим полiномом L(x). Отже,

L2nl++1l (x) = −(2l + 1)!(n − l − 1)! L(x).

Використовуючи для L(x) його компактний вигляд, можна також

записати, що

Збираючи одержанi результати разом i перепозначаючи сталi величини, запишемо вираз для радiальної хвильової функцiї в такому виглядi:

де Cn,l стала нормування. Повна хвильова функцiя

ψn,l,m(r) = Yl,m(θ, ϕ)Rn,l(r)

364

повинна нормуватись на одиницю, тобто

Iнтеґрали за кутами через нормованiсть сферичної функцiї дають одиницю, i звiдси випливає умова нормування для радiальної

функцiї:

Z ∞

r2Rn,l2 (r)dr = 1.

0

Обчислюємо його, використовуючи компактний вираз для одного з приєднаних полiномiв Лаґерра:

365

Позаiнтеґральний член дорiвнює нулевi, тому багатократне iнтеґрування дає

Унаслiдок того, що L2nl++1l (x) є полiном степеня (n − l − 1), то похi-

днi пiд iнтеґралом залишать внесок лише двох найстарших членiв полiнома:

Уже не раз зазначалось, що стала нормування обчислюється з точнiстю до фазового множника eiα з принципово невизначеною фазою α, яка не впливає на фiзичнi результати. Тут нам зручно вибрати α = π, чим фiксується додатний знак хвильової функцiї

основного стану. Фактично знак “мiнус” у сталiй нормування тягнеться зi стандартного означення приєднаних полiномiв Лаґерра.

366

Закiнчуючи, нарештi, цю “мiстерiю формул”, знаходимо остаточний вираз для радiальної функцiї:

Цим виразом завершуємо розв’язок квантовомеханiчної задачi про рух електрона в полi кулонiвського потенцiалу для зв’язаних станiв (проблема Кеплера). Хвильова функцiя ψn,l,m(r) залежить вiд трьох квантових чисел: n головного квантового числа, l орбiтального квантового числа та квантового числа m, яке на-

зивають магнiтним квантовим числом з огляду на те, що воно визначає рiвнi енерґiї в магнiтному полi. Енерґiя En залежить лише вiд головного квантового числа n. Той факт, що En не залежить

вiд магнiтного квантового числа, пов’язаний iз симетрiєю гамiльтонiана стосовно поворотiв навколо довiльної осi у просторi. Про це вже йшла мова. А те, що енерґетичнi рiвнi виродженi й за орбiтальним квантовим числом l, є “випадковiстю”. Ця “випадковiсть”

указує на додаткову симетрiю гамiльтонiана водневої задачi, яка спричиняє iснування додаткового iнтеґрала руху, оператор яко-

го не комутує з операторами iнших iнтеґралiв руху ˆ2, ˆ . Цим

L Lz

цiкавим питанням ми займемось у §43. Кратнiсть виродження

Основному становi вiдповiдає такий набiр квантових чисел:

а хвильова функцiя

ψ1,0,0(r) = Y0,0(θ, ϕ)R1,0(r),

пiсля простих пiдстановок цих чисел у загальнi вирази

ψ1,0,0(r) = q1 e−ρ. πa3B

367

Вiдповiдно енерґiя основного стану

me4 E1 = − 2~2 .

Наступний, 4-кратно вироджений, збуджений стан характеризується такими квантовими числами:

Енерґiї

me4

E2 = − 8~2

вiдповiдають чотири хвильовi функцiї:

ψ2,0,0(r) = Y0,0(θ, ϕ)R2,0(r), ψ2,1,0(r) = Y1,0(θ, ϕ)R2,1(r), ψ2,1,1(r) = Y1,1(θ, ϕ)R2,1(r), ψ2,1,−1(r) = Y1,−1(θ, ϕ)R2,1(r).

Кутовi функцiї виписувались ранiше:

Радiальнi функцiї отримуємо iз загального виразу для Rn,l(r):

368

Для головного квантового числа n = 3:

Радiальнi функцiї Rn,l(r) визначають густину ймовiрностi

4πr2Rn,l2 (r) розподiлу “електронної хмари” вздовж радiуса r. На-

приклад, для основного стану густина ймовiрностi

r2R2 = 4r2 e−2r/aB

1,0 a3B

має максимальне значення при r = aB. Це означає, що найбiльш iмовiрне значення вiдстанi, на якiй в атомi водню знаходиться

електрон в основному станi, дорiвнює борiвському радiусу. Отже,

˚

величина aB 0.529 A дає прикиднi розмiри атома. Функцiї збу-

джених станiв мають бiльше число максимумiв, а отже, є бiльше значень найiмовiрнiших вiдстаней електрона вiд ядра. Це вiдповiдає класичним уявленням про орбiти в проблемi Кеплера.

Стани з рiзними значеннями орбiтального квантового числа l позначають спецiальними символами: s-стан вiдповiдає l = 0; p-стан l = 1, d-стан l = 2; f-стан l = 3. Цi позначення

походять вiд характеристики серiй спектральних лiнiй, що “висвiчуються” атомами при переходi з цих станiв на iншi. А саме, символи s, p, d, f це першi лiтери англiйських слiв sharp, principal, di use, fundamental, тобто “рiзка”, “головна”, “розмита”, “фундаментальна” серiї. Далi нумерацiя станiв (для l > 3) йде за латинським алфавiтом: g, h, . . . . Отже, стан ψ1,0,0 позначають як |1si, це означає, що n = 1, а l = 0. При n = 2 маємо стани |2si та |2pi, причому останнiх є три, вiдповiдно до m = 0, ±1. На рис. 43 зо-

браженi енерґетичнi рiвнi атома водню, а також переходи для спектральних серiй Лаймана, Бальмера та загальноприйнятi назви

369

Рис. 43. Енерґетичнi рiвнi атома водню. Числа бiля лiнiй, що з’єднують рiвнi, довжини хвиль свiтла в анґстремах, яке випромiнює або поглинає атом при переходi електрона мiж цими рiвнями.

спектральних лiнiй, таких, як Hα та Hβ. Лiнiя Hβ, яка є реперною лiнiєю, вiдповiдає частотi переходу ω = (E4 − E2)/~.

Цiкаво дослiдити також кутовий розподiл електронної густини. Стани з l = 0, тобто s-стани, характеризуються сферичносиметричним розподiлом, оскiльки функцiя |Y0,0(θ, ϕ)|2 = 1/4π не залежить вiд кутiв (див. рис. 44). Для p-станiв маємо кутовий розподiл, який залежить вiд полярного кута θ. Два можливi випадки з m = 0 та m = ±1 цiєї залежностi теж зображенi на рис. 44.

Зазначимо, що такий розподiл за кутами є характерним не лише для атома водню, а для будь-якого атома iз центрально-симет- ричним потенцiалом. Коли атоми вступають у хiмiчний зв’язок, то енерґiя молекулярної системи може набувати мiнiмально можливе значення i при iнших кутових розподiлах, хвильовi функцiї

370