Вакарчук І.О. Квантова механіка

Г Л А В А VII

РУХ ЧАСТИНКИ

ВЦЕНТРАЛЬНО-СИМЕТРИЧНОМУ ПОЛI

§39. Рух у полi центральної сили. Радiальне рiвняння

Шрединґера

При дослiдженнi руху частинок у силових полях вирiзняється важливий клас сферично-симетричних потенцiалiв, тобто потенцiалiв U = U(r), якi залежать лише вiд модуля радiус-вектора r = |r|. Наслiдком центральної симетрiї поля є те, що гамiльтонiан

що вiдповiднi величини є iнтеґралами руху. Отже, L2 = ~2l(l + 1), l = 0, 1, 2, 3, . . ., Lz = ~m, число m набуває (2l + 1) значень вiд −l до +l, а, як ми бачили в §34, парнiсть хвильової функцiї I = (−)l, тобто збiгається з парнiстю числа l. Крiм того, цi оператори кому-

тують мiж собою i отже, мають спiльну систему власних функцiй. Важливо в цьому мiсцi зазначити, що в класичнiй механiцi задача про рух двох взаємодiючих мiж собою частинок зводиться до проблеми одного тiла. Те ж є справедливим й у квантовiй механiцi. Нехай ми маємо двi частинки з координатами r1 та r2, маси яких є m1 та m2. Далi нехай потенцiальна енерґiя взаємодiї U = U(|r1 − r2|) залежить лише вiд вiдстанi мiж ними. Гамiльто-

де оператори iмпульсiв pˆ1 = −i~ 1, pˆ2 = −i~ 2.

Уведемо новi змiннi, а саме, радiус-вектори центра мас та взаємної вiдстанi:

R = m1r1 + m2r2 ,

m1 + m2

341

r = r2 − r1.

Перехiд до нових змiнних здiйснюється стандартно. Наприклад,

де X компонента радiус-вектора R, а x компонента вектора r.

Аналогiчно дiємо й для iнших компонент ґрадiєнта. У результатi маємо:

де ˆ = −i~ оператор iмпульсу центра мас, ˆ = −i~ опе-

P R p

ратор iмпульсу вiдносного руху частинок. Пiдставляючи цi вирази в гамiльтонiан, знаходимо

де повна маса системи

M= m1 + m2,

авеличину m, що визначається з рiвняння

1 = 1 + 1 , m m1 m2

називають зведеною масою. Отже, гамiльтонiан складається iз суми двох незалежних частин. Перший доданок є оператором кiнетичної енерґiї системи як цiлого й описує вiльний рух системи центра мас з хвильовою функцiєю вiльної частинки

ϕP(R) = 1 eiPR/~, (2π~)3/2

342

де P повний iмпульс системи. Два iншi доданки описують вiдносний рух частинок iз хвильовою функцiєю ψ(r). Повна хвильова

функцiя є їхнiм добутком:

ψ(R, r) = ϕP(R)ψ(r).

Пiдстановка цього виразу в стацiонарне рiвняння Шрединґера

ˆ

Hψ = Eψ

приводить до рiвняння для однiєї частинки маси m з координатою r, що рухається в полi U = U(r):

pˆ2 + U(r) ψ(r) = E′ψ(r), 2m

де E′ = E − P2/2M енерґiя вiдносного руху частинок. Нада-

лi, “сiдаючи” на центр мас системи, ми будемо цiкавитись лише вiдносним рухом, штрих з енерґiї E′ для спрощення запису знiма-

ємо. Як бачимо, це рiвняння збiгається з рiвнянням Шрединґера для однiєї частинки масою m з координатою r у полi центральної сили з потенцiальною енерґiєю U(r). Тобто проблема двох тiл i у

квантовiй механiцi зводиться до проблеми одного тiла. У рiвняннi Шрединґера

унаслiдок сферичної симетрiї потенцiалу, зручно перейти вiд декартових координат x, y, z до сферичних координат r, θ, ϕ за вi-

домими правилами. Випишемо в нових координатах вираз для

Легко побачити, що вираз у квадратних дужках iз точнiстю до множника (−~2) є не що iнше, як оператор квадрата моменту

кiлькостi руху ˆ2 у сферичних координатах. Тепер рiвняння Шре-

L

динґера, скориставшись тим, що оператор

343

запишемо так:

Змiннi в рiвняннi роздiляються, i, вiдповiдно до цього, хвильовi функцiї зображаються як добуток функцiї R(r), яка залежить лише вiд r, на хвильову функцiю Yl,m(θ, ϕ), що залежить лише вiд

кутових змiнних i є власною функцiєю операторiв ˆ2 та ˆ :

L Lz

ψ(r) = R(r)Yl,m(θ, ϕ).

Функцiю R = R(r) називають радiальною функцiєю, для якої

отримуємо рiвняння

Це рiвняння називають радiальним рiвнянням Шрединґера. Видно, що воно не мiстить власних значень Lz = ~m, отже, енерґiя не залежить вiд квантового числа m i ми маємо (2l + 1)-кратне

виродження енерґетичних рiвнiв.

З умови нормування функцiї ψ(r) та сферичної функцiї

Z2π Zπ

dϕ sin θ dθ|Yl,m(θ, ϕ)|2 = 1

00

отримаємо умову нормування для радiальної функцiї:

Z∞

r2R2(r) dr = 1.

0

Зауважимо, що оскiльки хвильовi функцiї нормуються з ваговою функцiєю, тобто з якобiаном переходу J = r2 sin θ, то оператори

фiзичних величин, зокрема й оператор Гамiльтона, можуть мати неермiтовий вигляд у звичайному сенсi. Це вiзуально видно з записаного вище виразу для гамiльтонiана як його радiальної частини, так i кутової, яку задає оператор квадрата моменту iм-

пульсу ˆ2. Причина цього проста неунiтарнiсть переходу вiд

L

344

декартових координат до сферичних, який не зберiгає норму вихiдної хвильової функцiї в декартових координатах. Як ми зазначали в §2, “справжньою” хвильовою функцiєю є вихiдна функцiя, помножена на корiнь квадратний з якобiана переходу. Зрозумiло, що з урахуванням вагової функцiї гамiльтонiан, як i iншi оператори фiзичних величин, повинен мати ермiтовий вигляд. Мiж iншим, з вимоги ермiтовостi цих операторiв можна обчислювати явний вигляд якобiана переходу (див. Приклад до цього параграфа).

“Iсторичний досвiд” i сам вигляд рiвняння пiдказують нам пiдстановку

rR(r) = χ(r).

Для функцiї χ = χ(r) одержуємо одновимiрне рiвняння Шредин-

ґера1

~2 d2

−2m dr2 + Ul(r) χ = Eχ

з ефективною потенцiальною енерґiєю

~2l(l + 1) Ul(r) = U(r) + 2mr2

за умови, що 0 ≤ r < ∞. Другий доданок у цьому виразi вiдцен-

трова енерґiя, яка має вiдштовхувальний характер i не дозволяє частинцi впасти на силовий центр. Функцiя χ нормується без ва-

гового множника:

Z∞

χ2(r) dr = 1.

0

Дослiдимо поведiнку функцiї χ на малих та великих вiдстанях. Почнемо з випадку r → 0 i приймемо, що при цьому r2U → 0. Залишаючи в рiвняннi для χ ведучi доданки, маємо

1Тепер стає зрозумiло, чому для коефiцiєнта прозоростi потенцiального бар’єра в теорiї α-розпаду, по сутi в тривимiрнiй задачi (див. §27), ми вико-

ристали вираз, який був знайдений для одновимiрного випадку.

345

Шукаємо функцiю χ у виглядi χ = const × rk. Будемо вимагати, щоб для l 6= 0 R = χ/r → 0 при r → 0. Рiвняння для показника k

−k(k − 1) + l(l + 1) = 0

дає два розв’язки k = −l та k = l + 1. Перший розв’язок нефiзи-

чний радiальна функцiя безмежно зростає при наближеннi до початку координат (частинка “падає” на центр)2. Отже, залишається лише друге значення k = l + 1:

Нехай тепер r → ∞, при цьому ми вважаємо, що потенцiальна енерґiя U(r) → 0. Залишаємо в рiвняннi для χ головнi члени:

~2 d2χ

−2m dr2 = Eχ.

Розв’язок цього рiвняння шукаємо у виглядi

У результатi

r

2mE α = ± − ~2 .

Якщо E > 0, маємо iнфiнiтний рух з неперервними значеннями енерґiї. Величина α є уявною, тобто

r

i хвильова функцiя має осциляцiйний характер. Знак “плюс” вiдповiдає сферичнiй хвилi, що поширюється вiд центра, знак “мiнус”хвилi, що збiгається до центра.

2Цiкавим прикладом падiння частинки на центр є рух нiчного метелика. Вiдомо, що нiчнi метелики рухаються так, що зберiгають сталим кут α

мiж напрямком на Мiсяць i напрямком польоту (така їхня навiгацiйна апаратура). Легко показати, що траєкторiєю польоту є логарифмiчна спiраль: r = ae−ϕctg α, a > 0. Звiдси за формулою Бiне знаходимо центральну силу, що дiє на метелика, i потенцiальну енерґiю: U = −L2 ctg2 α/2mr2, L момент

iмпульсу, а ефективна потенцiальна енерґiя: Ul(r) = −~2l(l + 1)/2mr2 sin2 α.

Очевидно, що зв’язаних станiв немає i бiдолашний метелик, який прийняв вуличний лiхтар за Мiсяць, падає на центр.

346

Для зв’язаних станiв E < 0, щоб забезпечити умову R → 0

при r → ∞, залишаємо одне значення r

Отже, для зв’язаних станiв з урахуванням поведiнки функцiї χ на

малих та великих вiдстанях радiальну функцiю записуємо у виглядi:

Такий запис забезпечує необхiдну поведiнку функцiї R на границях областi значень r, 0 ≤ r < ∞. Функцiя w(r) вiдповiдає за характер радiальної функцiї в областi промiжних значень r, який,

зрозумiло, диктується конкретним виглядом потенцiальної енерґiї

U = U(r).

Приклад. Обчислити якобiан переходу вiд декартових координат (x, y, z) до сферичних (r, θ, ϕ) з вимоги ермiтовостi гамiльтонiана в (r, θ, ϕ)-

представленi.

Випишемо гамiльтонiан, наведений у текстi цього параграфа:

перший член у першiй круглiй дужцi i другий член у другiй круглiй дужцi

мають неермiтовий вигляд. Щоб звести оператор ˆ до ермiтового вигляду,

H

запишемо стацiонарне рiвняння Шрединґера для “справжнiх” функцiй ¯, якi

ψ

§2):

ˆ ˆ −1/2 ¯ −1/2 ¯

Hψ = Eψ, HJ ψ = EJ ψ,

або, домножуючи злiва на √J, маємо

ˆ ′ ¯

H ψ = Eψ,

347

де гамiльтонiан ˆ ′ 1/2 ˆ ˆ−1/2. З умови ермiтовостi оператора ˆ ′ знайде-

H = J HJ H

першими похiдними за r та θ, то якобiан J очевидно залежить лише вiд цих

змiнних.

Використовуючи явний вигляд оператора ˆ для ˆ ′, елементарно знахо-

H H

Будемо вимагати, щоб неермiтовi доданки в ˆ ′ (перший у першiй квадратнiй

H

дужцi i другий у другiй квадратнiй дужцi) дорiвнювали нулевi:

2 − ∂ ln J = 0, r ∂r

ctgθ − ∂ ln J = 0. ∂θ

З першого рiвняння маємо, що J = Cr2, C = C(θ), а з другого знаходимо

Неважко переконатись, що сферична функцiя Yl,m(θ, ϕ), помножена на √sin θ

є власною функцiєю оператора в круглих дужках, тобто кутової частини цьо-

результат її дiї на множник eimϕ вiд сферичної функцiї (m = 0, ±1, ±2, . . .

магнiтне квантове число) i далi зробити замiну змiнної θ = π/2 − x, −π/2 ≤ x ≤ π/2, то рiвняння на власнi значення оператора в круглих дуж-

ках, узятого зi знаком мiнус, формально зводиться до знаходження рiвнiв

348

енерґiї частинки, яка рухається в полi (m2 − 1/4)/ cos2 x − 1/4. Таку задачу

ми розв’язали у прикладi 1 до §23, звiдки зразу одержуємо, що шуканi власнi значення, як i повинно бути, дорiвнюють l(l+1), де квантове число l = |m|+n,

n = 0, 1, 2, . . .

§ 40. Просторовий осцилятор

Розглянемо рух частинки масою m в осциляторнiй сферичнiй

ямi, коли

U = mω2r2 = mω2 (x2 + y2 + z2).

2 2

Розв’язок цiєї задачi є важливим, тому що такий потенцiал достатньо добре описує структуру енерґетичних рiвнiв оболонкової моделi атомного ядра. Мова йде як про порядок заповнення оболонок нуклонами, так i про кiлькiснi енерґетичнi характеристики, якщо вдало пiдiбрати частоту ω: ~ω 41A−1/3 MeV, A масове

число.

Унаслiдок роздiлення змiнних у рiвняннi Шрединґера наше дослiдження зводиться до задачi про рух трьох незалежних гармонiчних осциляторiв. Енерґiя такої системи

En1,n2,n3 = ~ω(n1 + n2 + n3 + 3/2),

а хвильовi функцiї

ψn1,n2,n3 (x, y, z) = ψn1 (x)ψn2 (y)ψn3 (z),

де ψni хвильова функцiя для одновимiрного осцилятора, визначена в §21, а n1, n2, n3 = 0, 1, 2, . . . . Енерґетичнi рiвнi є еквiди-

стантними й виродженими.

У сферичних координатах розв’язок рiвняння Шрединґера ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Yl,m(θ, ϕ) можна отримати й як лiнiйну комбi-

349

Пiсля цих попереднiх зауважень далi пропонуємо розв’язувати задачу методом факторизацiї, розвинутим у §23. Це буде для нас додатковою вправою для опановування цього методу розв’язку задач на власнi значення та власнi функцiї.

Уведемо оператори

де суперсиметричний потенцiал

W= αρ + βρ ,

i запишемо радiальне рiвняння Шрединґера так:

де енерґiя факторизацiї

ε = α(1 − 2β),

причому

α2 = 1,

β(β + 1) = l(l + 1).

Звiдси маємо два можливi розв’язки для параметрiв α та β:

α1,2 = ±1; β1 = l, β2 = −(l + 1).

Згiдно з методом факторизацiї хвильову функцiю основного стану (при заданому l) визначаємо з рiвняння

ˆ

Aχ = 0,

350