Вакарчук І.О. Квантова механіка

Як власнi функцiї ермiтових операторiв сферичнi функцiї є ортогональнi мiж собою

Z2π Zπ

dϕ sin θ Yl′,m′ (θ, ϕ)Yl,m(θ, ϕ) dθ = δl′,l δm′,m.

00

Випишемо у явному виглядi сферичнi функцiї для l = 0, 1, 2, 3:

311

Тепер декiлька слiв про перетворення знайдених функцiй при операцiї iнверсiї, яка полягає в замiнi (x, y, z) на (−x, −y, −z). Цю

операцiю здiйснює оператор iнверсiї ˆ. Легко бачити, що у сфе-

I

ричних координатах така операцiя еквiвалентна замiнi кутiв θ, ϕ на π − θ, ϕ + π. При цьому хвильова функцiя hπ − θ, ϕ + π|l, mi = (−)lhθ, ϕ, |l, mi. Отже, при операцiї iнверсiї хвильова функцiя для парних значень l не змiнює знака, а для непарних дiстає множник (−1), тобто хвильова функцiя є парною або непарною. Якщо опе-

ратор iнверсiї комутує з гамiльтонiаном, тобто потенцiальна енерґiя U(x, y, z) = U(−x, −y, −z), то ця властивiсть хвильової фун-

кцiї зберiгається. У цьому випадку говорять про закон збереження парностi. Операцiю iнверсiї можна розглядати як операцiю повороту навколо осi z на кут π з наступним дзеркальним вiдображенням у площинi xOy. Оскiльки вiд поворотiв не змiнюються

властивостi фiзичних систем, а iнтуїцiя та повсякденний досвiд нам пiдказують, що у дзеркалi закони також не змiнюються, то закон збереження парностi має абсолютний характер, як, наприклад, закон збереження енерґiї. Тобто “лiве” i “праве” в природi є еквiвалентними. Однак тут iнтуїцiя нас пiдводить цей закон порушується для слабких взаємодiй (див. наступний параграф)2.

§ 35. Спiн

Пiвцiлi значення квантового числа, що визначає квадрат кутового моменту, як ми бачили, не реалiзуються при орбiтальному русi частинки. Децимацiя пiвцiлих значень j це наслiдок однозна-

чностi хвильової функцiї частинки при повних поворотах. Якщо “сiсти” на частинку, тобто розглядати її в системi координат, у якiй вона як цiле не рухається, то її iмпульс, а отже, i момент iмпульсу, дорiвнюють нулевi. Момент кiлькостi руху частинки,

2Л. Пастер у 1848 роцi зауважив вiдсутнiсть симетрiї “правого” i “лiвого” на

деяких органiчних сполуках бiологiчних структур. Однак такi штучно синтезованi сполуки вiдтворюють цю симетрiю. Причина, отже, полягає не у фiзичних законах, зокрема, її не можна приписати електромагнiтним взаємодiям, якi вiдповiдають за структуру молекул, а в тому, що з самого Початку або були синтезованi лише “лiвi” структури, або в процесi еволюцiї вони флюктуацiйно виявились у вигiднiших умовах, а “правi” зникли, що й спостерiгаємо сьогоднi. Ще одним доказом цього є те, що первiснi художники для наскельних малюнкiв брали за трафарет свою руку, переважно лiву, тобто контури наводили правою.

312

зв’язаний з її рухом у просторi, як ми вже зазначали, називають орбiтальним моментом. У цiй системi координат частинка може мати лише “внутрiшнiй” момент кiлькостi руху. Цей внутрiшнiй, або “власний”, момент iмпульсу частинки називають її спiном. Механiзм формування власного моменту кiлькостi руху елементарних частинок невiдомий. Ще Р. Кронiґ розглядав власний механiчний момент електрона як обертання твердого тiла навколо осi. Однак, за порадою В. Паулi, В. Гайзенберґа i Г. А. Крамерса, вiн вiдкинув цю модель через те, що лiнiйна швидкiсть поверхнi такої дзиґи була бiльшою, нiж швидкiсть свiтла. Пiзнiше, у 1925 роцi, це уявлення знову ввiйшло до розгляду завдяки С. Ґаудсмiтовi та Дж. Уленбековi, якi висловили припущення про наявнiсть в електрона власного моменту кiлькостi руху. У квантову механiку спiн увiв у 1927 роцi В. Паулi3.

Уважається, що спiн елементарних частинок є такою ж властивiстю, як, наприклад, їхнiй заряд. Частинка може мати спiн, рiвний нулевi, j = 0 це мезони, а зi складних частинок ядро 4He, атом 4He та iншi. Про частинку, квадрат моменту кiлькостi руху якої визначається числом j = 1/2, говорять, що її спiн до-

рiвнює “однiй другiй”. Пiд цим розумiють максимальне значення проекцiї спiну на вiсь z в одиницях ~. Спiн ~/2 мають такi елемен-

тарнi частинки, як електрон, протон, нейтрон, мюон, нейтрино та iншi, а зi складних частинок атом 3He, наприклад.

Установимо вигляд матриць компонент оператора спiну для випадку j = 1/2, використовуючи результати §33. Пригадаймо, що матриця його z-компоненти є дiагональною:

3“Один фiлософ вештався завжди там, де гралися дiти. Як побачив хло-

пця з дзиґою, вiдразу насторожувався. I щойно дзиґа починала крутитися, фiлософ бiг до неї, щоб упiймати. Вiн не звертав уваги на те, що дiти кричать i гонять його вiд iграшки, i, вхопивши дзиґу, поки вона ще крутиться, був щасливий, але лише одну мить, потiм кидав її на землю й iшов геть. Власне, вiн вiрив, що пiзнання кожної дрiбницi, як-от, наприклад, дзиґи, що крутиться, вистачає, щоб розумiти взагалi все. . . I завжди, бачивши, як готуються запустити дзиґу, вiн був охоплений надiєю, що тепер йому пощастить, . . . ”

Франц Кафка. Перетворення. Оповiдання у перекладi Iвана Кошелiвця.

Лiтературна аґенцiя “Пiрамiда”. Львiв, 2005.

313

Легко переконатись, що алґебра цих операторiв така:

Щодо позначень, то звернемо увагу на те, що оператор власного моменту iмпульсу частинки часто позначають через ˆs, а квантове число j через s:

ˆs = ~2 σˆ .

315

4Видатний iрландський математик Вiльям Рован Гамiльтон (1805–1865)

намагався знайти нову систему комплексних чисел з такою ж наочною геометричною iнтерпретацiєю, як для звичайних комплексних чисел на площинi. Це привело його в 1843 роцi до винайдення кватернiонiв чотиричленних комплексних чисел t + ix + jy + kz, де основнi одиницi i, j, k пiдкоренi таким

умовам:

Величину t Гамiльтон назвав скалярною частиною кватернiона, а ix + jy + kz

векторною. Кватернiони займали виняткове мiсце в математичнiй творчостi Гамiльтона. Вiн та його школа вiрили в унiверсальне значення теорiї кватернiонiв, що викликало нерозумiння та спротив у математичному свiтi.

Легко зауважити, що основнi одиницi є матрицями Паулi, якi помноженi

√

на − −1:

√

Отже, кватернiон можна зобразити як t − −1(xσˆx + yσˆy + zσˆz ). Цим i ви-

значається мiсце та роль кватернiонiв у математицi.

316

У матричнiй формi цей кет-вектор

арiвняння для нього:

0 1 α = 0.

Звiдси β = 0, а з умови нормування

(α β ) α = |α|2 + |β|2 = 1,

β

знаходимо, що |α|2 = 1. Оскiльки хвильову функцiю визначаємо

з точнiстю до фазового множника, то, не зменшуючи загальностi, покладемо α = 1. Отже,

Ця хвильова функцiя описує стан, у якому проекцiя спiну на вiсь z дорiвнює ~/2. Часто її позначають скорочено як

| ↑i = 1 0

i говорять, що вона описує стан “спiн уверх”. Iз загальної формули знаходимо хвильову функцiю, яка описує стан “спiн униз”

317

Отже,

| ↓i = 0 .

1

Знайдемо явнi вирази для операторiв повороту. Почнемо з

318

Нарештi

Як iлюстрацiю застосування знайдених виразiв розглянемо розпад Λ0 частинок. Цей розпад є прикладом безлептонного роз-

паду адронiв за рахунок слабкої взаємодiї. Розглянемо реакцiї утворення i розпаду Λ0-частинки та K0-мезона:

π− + p → Λ0 + K0,

Λ0 → p + π−,

K0 → π+ + π−.

Рис. 36. Утворення i безлептонний розпад Λ0-частинки та K0-мезона. Стрiлками позначено напрямки руху частинок.

319

Схематично цi реакцiї зображенi на рис. 36. Суцiльнi лiнiї це слiди заряджених частинок у бульбашковiй камерi, штриховi лiнiї шлях нейтральних частинок Λ0 та K0, якi не залишають

слiдiв.

Перша реакцiя це народження Λ0-частинки та K0-мезона на протонi в бульбашковiй камерi з рiдким воднем пiд дiєю π−- мезона. Вона є прикладом сильних взаємодiй. Розпади Λ0- та K0-частинок вiдбуваються завдяки слабкiй взаємодiї. Зосередимо увагу на розпадi Λ0-частинки в системi центра мас (див. рис. 37).

Нехай її спiн, який дорiвнює 1/2, напрямлений уверх уздовж осi z. Оскiльки пiон частинка безспiнова, то iз закону збереже-

ння моменту кiлькостi руху пiсля розпаду спiн протона, рiвний 1/2, також напрямлений уверх. Нехай амплiтуда iмовiрностi такого розпаду дорiвнює a. Якщо спiн Λ0-частинки напрямлений униз,

то i спiн протона пiсля розпаду буде напрямлений униз. Приймаємо, що амплiтуда цього процесу дорiвнює b. Поставимо питання: яка ймовiрнiсть того, що протон вилетить пiд кутом θ до осi z? Для цього подiємо на хвильову функцiю Λ0-частинки

|Λ0i = | ↑i

Рис. 37. Розпад Λ0-частинки в системi центра мас. Суцiльними стрiлками позначено напрямки спiнiв частинок, а штрихованими напрямки iмпульсiв частинок.

320