Вакарчук І.О. Квантова механіка

Отже, власне значення

J2 = ~2m1(m1 + 1).

На початку нашого розгляду ми домовились нумерувати цi власнi значення квантовим числом j. Природно виходить, що цим квантовим числом є максимальне значення квантового числа m:

j = m1.

Ми також бачили, що квантове число m може змiнюватись лише на цiле число, m = ±1. Зрозумiло, що i його максимальна змiна (Δm)max = m1 − (−m1) = 2m1 = 2j є також цiлим числом:

2j = цiле число.

Тому число j може набувати не лише цiлих, а й пiвцiлих значень (нагадаймо, що j = m1 ≥ 0):

j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . . .

Задача знаходження власних значень оператора квадрата моменту кiлькостi руху та його проекцiї розв’язана:

J2 = ~2j(j + 1),

Jz = ~m,

−j ≤ m ≤ j,

m = −j, −j + 1, −j + 2, . . . , j − 2, j − 1, j,

а квантове число j набуває цiлi та пiвцiлi значення.

Перейдемо до визначення власних функцiй |j, mi. Спочатку

встановимо вiдмiннi вiд нуля матричнi елементи операторiв ˆ+ та

J

ˆ−. Оскiльки

J

|λm|2 = j(j + 1) − m(m + 1),

то з точнiстю до несуттєвих для фiзичних результатiв фазових множникiв (фази ми покладаємо, як звично, рiвними нулевi) маємо

p

h | ˆ+| i h | ˆ−| i ~ −

j, m + 1 J j, m = j, m J j, m + 1 = j(j + 1) m(m + 1),

301

кцiї |j, mi:

p

J j, m = j(j + 1) m(m + 1) j, m + 1 ,

ˆ+| i ~ − | i

p

J j, m = j(j + 1) m(m 1) j, m 1 .

ˆ−| i ~ − − | − i

Ще раз пiдкреслимо аналогiю мiж дiєю цих операторiв i дiєю операторiв породження та знищення на власнi функцiї гамiльтонiана в теорiї гармонiчного осцилятора.

Зафiксуємо тепер основний стан рiвнянням, що обмежує спектр значень числа m:

Ми могли б узяти за основний i стан |j, −ji, дiя на який оператора

ˆ− також дає нуль. Але ми вибрали першу можливiсть. Тепер,

J

маючи стан | i, дiєю на нього оператором ˆ− побудуємо наступнi j, j J

стани за допомогою послiдовностi простих перетворень, яких ми не коментуємо:

302

Покладемо j − k = m,

Власнi стани квадрата моменту кiлькостi руху i справдi є виродженими: одному власному значенню J2 = ~2j(j + 1) вiдповiдає (2j + 1) хвильових функцiй. Цi рiвностi завершують поставлену

задачу знаходження власних функцiй та власних значень квадрата моменту кiлькостi руху i його проекцiй.

Насамкiнець цього параграфа розгляньмо питання про дода-

вання моментiв. Нехай маємо комутуючi оператори ˆ та ˆ i утво-

J1 J2

римо суму

ˆ = ˆ + ˆ .

J J1 J2

Власне значення квадрата повного моменту ˆ2 дорiвнює

J

J2 = ~2j(j + 1),

а власне значення його проекцiї

ˆ ˆ ˆ

Jz = J1z + J2z

дорiвнює

Jz = ~m,

причому очевидно

m = m1 + m2.

303

Квантовi числа m1 та m2 задають значення проекцiй: J1z = ~m1, J2z = ~m2 (числа m1 i m2 не плутаймо з тими числами, що бу-

ли на початку параграфа). Власнi значення квадратiв окремих моментiв дорiвнюють:

J12 = ~2j1(j1 + 1),

J22 = ~2j2(j2 + 1),

−j1 ≤ m1 ≤ j1, −j2 ≤ m2 ≤ j2;

усiх значень m1 є (2j1 + 1), усiх значень m2 є (2j2 + 1). Тепер виникає запитання: у яких межах змiнюється число j? Є двi мо-

жливостi вибору квантових чисел, якi повнiстю описують систе-

му. Перша це набiр чисел (j1, j2, m1, m2), друга (j, m, j1, j2).

Порядок матриць операторiв у першому випадку дорiвнює добутковi всiх значень m1 на кiлькiсть усiх значень m2, тобто дорiвнює (2j1 + 1)(2j2 + 1). У другому випадку порядок такий самий:

максимальне значення числа m = m1 + m2, тобто jmax = j1 + j2. Мiнiмальне значення jmin отримуємо з умови, що порядок мат-

риць у другому випадку рiвний порядковi матриць у першому випадку:

jXmax Xj

1 = (2j1 + 1)(2j2 + 1),

j=jmin m=−j

jXmax

(2j + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1).

j=jmin

Оскiльки j можна зобразити як

j = jmin + (n − 1),

де n = 1, 2, . . . , nmax, то

jmax = jmin + (nmax − 1),

304

або

=nmax(2jmin + nmax)

=(jmax + 1 − jmin)(jmax + 1 + jmin)

=(jmax + 1)2 − jmin2 = (j1 + j2 + 1)2 − jmin2 .

Таким чином, маємо рiвняння

(j1 + j2 + 1)2 − jmin2 = (2j1 + 1)(2j2 + 1),

з якого

jmin2 = (j1 − j2)2.

Звiдки jmin = |j1 − j2|, нагадаємо, що j величина додатна або

дорiвнює нулевi. Отже, остаточно

|j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2.

Це i є вiдповiдь на наше запитання щодо можливих значень квадрата моменту кiлькостi руху, який складається iз суми двох моментiв.

§ 34. Власнi функцiї операторiв квадрата й проекцiй

орбiтального моменту кiлькостi руху

Вирази для операторiв ˆ2 та ˆ у сферичних координатах, якi

L Lz

ми навели у §32, дають змогу розв’язати задачу на власнi функцiї

та власнi значення для них у явному виглядi. Для оператора ˆ

Lz

таку задачу ми розв’язали ранiше, як Приклад у §9, а в рiвняннi

305

для ˆ2 змiннi роздiляються, i приходимо до добре вiдомого рiв-

L

няння для приєднаних полiномiв Лежандра. Повчально, однак, розв’язати цю задачу, використавши результати попереднього па-

раграфа. Працюватимемо з операторами ˆ+ та ˆ− у представ-

L L

леннi сферичних координат. Квантове число j, що нумерує власнi

значення квадрата орбiтального моменту кiлькостi руху, прийнято позначати через l. У цих позначеннях залежнi вiд змiнних θ, ϕ

хвильовi функцiї

∂θ + i ctg θ ∂ϕ hθ, ϕ|l, li = 0.

Змiннi в цьому рiвняннi роздiляються,

hθ, ϕ|l, li = hϕ|lihθ|li,

причому h | i це власна функцiя оператора ˆ , вигляд якої ми

ϕ l Lz

знаємо:

hϕ|li = √1 eilϕ.

2π

Функцiя hθ, ϕ|l, li повинна залишатись незмiнною при поворотах на 360◦, а це означає, що

hϕ + 2π|li = hϕ|li,

тобто

ei2πl = 1,

i отже, l є цiлим числом. Ми отримали цiкавий результат. До-

даткова умова на однозначнiсть функцiї при повних поворотах “вирiзає” пiвцiлi значення квантового числа, що нумерує квадрат кутового моменту:

l = 0, 1, 2, 3, . . . .

306

Таким чином, використання лише комутацiйних спiввiдношень для компонент оператора моменту кiлькостi руху без звертання до їхнього конкретного зображення дало змогу виявити i зберегти пiвцiлi значення величини j.

Невiдома функцiя hθ|li задовольняє тепер рiвняння

dhθ|li

dθ

= lhθ|li ctg θ,

яке легко розв’язати:

lnhθ|li = l ln sin θ + const

або

hθ|li = Cl sinl θ,

Cl стала нормування. Отже, ми знайшли хвильову функцiю

основного стану:

eilϕ

hθ, ϕ|l, li = √ Cl sinl θ.

2π

Вона задовольняє умову нормування, яку з урахуванням якобiана переходу до сферичних координат записуємо так:

Пiсля замiни змiнних x = cos θ маємо

Z 1

|Cl|2 (1 − x2)ldx = 1.

−1

Цей iнтеґрал дорiвнює (з наступною замiною x2 = t)

Z 1 Z 1

2 (1 − x2)ldx = t−1/2(1 − t)ldt

0 0

=(l + 1) (1/2)(l + 1 + 1/2)

так звана B-функцiя Ейлера. Тепер стала

307

Збираючи отриманi результати разом, запишемо хвильову функцiю

тому

308

Тому остаточно власна функцiя квадрата орбiтального моменту кiлькостi руху та його z-проекцiї у сферичних координатах

Випишiмо декiлька перших функцiй:

309

Функцiї hθ, ϕ|l, mi можна записати через приєднанi полiноми

Лeжандра

Цi функцiї з точнiстю до знака (−)l збiгаються зi сферичними функцiями Yl,m(θ, ϕ), визначеними стандартно:

hθ, ϕ|l, mi = (−)lYl,m(θ, ϕ),

310